euklid. Norm < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:44 Mo 11.04.2005 | | Autor: | Moe007 |
hallo,
ich hab eine Frage bzgl. dieser Aufgabe. Und zwar soll man zeigen, dass die matrix B = [mm] \pmat{ 2 & -1 \\ -1 & 1 } [/mm] durch [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] = [mm] (x^{t}Bx)^{ \bruch{1}{2}} [/mm] eine Norm auf [mm] \IR^{2} [/mm] definiert. bestimme Zahlen k, K [mm] \in \IR^{+} [/mm] mit der eigenschaft
k [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{2} \le \parallel [/mm] x [mm] \parallel \le [/mm] K [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{2}, [/mm] wobei [mm] \parallel [/mm] . [mm] \parallel_{2} [/mm] die euklid. Norm auf [mm] \IR^{2} [/mm] bezeichnet.
meine Frage ist, wie eine euklid. Norm definiert ist. wann ist eine matrix eine Norm? ich hab in der vorlesung noch nie etwas von Normen gehoert und hab deshalb keine ahnung wie ich die Aufgabe zu loesen hab. ist [mm] \parallel [/mm] x [mm] \paralleldie [/mm] Laenge von x? und was sagt der index 2 aus? Der Beweis soll mit der Analysis gemacht werden. das ganze sieht mir aber eher nach Lin. Algebra aus.
ich hoffe, dass mir jemand weiter helfen kann.
Danke, Moe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:29 Mo 11.04.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Es sei $X$ ein reeller Vektorraum. Dann heißt eine Abbildung [mm] $\Vert \, \Vert [/mm] :X [mm] \to \IR_+$ [/mm] eine Norm auf $X$, wenn die drei folgenden Eigenschaften gelten:
1) [mm] $\Vert [/mm] x [mm] \Vert [/mm] =0 [mm] \quad \Rightarrow \quad [/mm] x=0$,
2) [mm] $\Vert \lambda\cdot [/mm] x [mm] \Vert= \vert \lambda \vert \cdot \Vert [/mm] x [mm] \Vert$,
[/mm]
3) [mm] $\Vert [/mm] x+y [mm] \Vert \le \Vert [/mm] x [mm] \Vert [/mm] + [mm] \Vert [/mm] y [mm] \Vert$.
[/mm]
Hier bei dir ist [mm] $X=\IR^2$.
[/mm]
Du hast zwei Normen gegeben:
[mm] $\Vert [/mm] x [mm] \Vert_2:= \sqrt{x^Tx} [/mm] = [mm] \sqrt{x_1^2+x_2^2}$ [/mm] (die euklidische Norm)
[mm] $\Vert [/mm] x [mm] \Vert_A:= \sqrt{x^TAx}$ [/mm] (die von $A = [mm] \pmat{2 & -1 \\ -1 & 1}$ [/mm] erzeugte Norm).
Versuche nun mit diesen Definitionen mal selber die Aufgabe zu lösen.
Es ist nicht schlimm, wenn du sie nicht hinbekommst, aber wir wollen wenigstens ein paar eigene Ansätze sehen. Dann helfen wir dir weiter. 
Vielleicht zeigst du als erstes mal, dass [mm] $\Vert \cdot \Vert_A$ [/mm] eine Norm ist. Nutze dabei aus, dass $A$ symmetrisch und positiv definit ist.
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:05 Mo 11.04.2005 | | Autor: | Moe007 |
hallo,
danke erstmal für deine Hilfe. ich hab zuerst mal versucht, zu zeigen, dass || . [mm] ||_{B} [/mm] eine Norm ist.
1) Sei || x || = 0. Z.Z. x=0
|| . [mm] ||_{B}= \wurzel{x^{t}Bx} [/mm] Daraus folgt nach Skalarprodukt
[mm] \delta(\wurzel{x^{t}Bx},\wurzel{x^{t}Bx})=0 [/mm] gdw [mm] \wurzel{x^{t}Bx}=0 [/mm] und da B [mm] \not= [/mm] 0 folgt dass x = 0 ist.
2) z.z.: || [mm] \alpha [/mm] x|| = [mm] |\alpha| [/mm] ||x||
|| [mm] \alpha x||^{2}= \alpha(x^{t}Bx) [/mm] = [mm] \alphax^{t}Bx= \delta(\alphax^{t}Bx,\alphax^{t}Bx)= \alpha^{2} delta(\alphax^{t}Bx,\alphax^{t}Bx)= \alpha^{2} ||x||^{2} [/mm]
Zieht man die Wurzel, dann folgt die Beh.
3) Z.Z.: ||x+y|| [mm] \le [/mm] ||x|| + ||y||
[mm] ||x+y||^{2}= \delta(x+y,x+y) [/mm] = [mm] \delta(x^{t}Bx+y^{t}By,x^{t}Bx+y^{t}By) [/mm] = [mm] \delta(x^{t}Bx,x^{t}Bx) [/mm] + [mm] 2\delta(x^{t}Bx,y^{t}By) [/mm] + [mm] \delta(y^{t}By,y^{t}By) \le ||x||^{2} [/mm] + 2||x|| ||y|| + [mm] ||y||^{2} [/mm] nach Cauchy schwarz ungleichung = (||x|| + [mm] ||y||)^{2} [/mm] Also folgt die Behauptung nach wurzel ziehen.
Also ist [mm] ||.||_{B} [/mm] eine Norm.
Nun soll ich ja Zahlen k,K [mm] \in \IR^{2}mit [/mm] dieser Eigenschaft bestimmen. Wie geht man da vor? Es muss gelten:
k [mm] \wurzel{(x_{1})^{2}+(x_{2})^{2}} \le \wurzel{x^{t}Bx} \le [/mm] K [mm] \wurzel{(x_{1})^{2}+(x_{2})^{2}} [/mm] oder??
ich bitte um weitere Hilfe und um Korrektur, von dem was ich versucht hab.
Danke , Moe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:39 Di 12.04.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Leider ist dein Beweis komplett falsch, tut mir sehr leid. Es scheitert schon an der Definition:
> Daraus folgt nach
> Skalarprodukt
> [mm]\delta(\wurzel{x^{t}Bx},\wurzel{x^{t}Bx})=0[/mm]
Das macht keinen Sinn, denn [mm] $(x,y)\mapsto [/mm] x^tBy$ ist bereits ein Skalarprodukt, also: $x^tBx$ ein Skalar.
Ich habe aber an deinem Ansatz gesehen, dass ihr Skalarprodukte und die Cauchy-Schwarz-Ungleichung bereits hattet. Das beruhigt mich , denn damit kann man die Aufgabe eleganter lösen.
Zeige einfach, dass durch
[mm] $\delta_B(x,y) [/mm] := x^tBy$
ein Skalarprodukt auf [mm] $\IR^2$ [/mm] gegeben wird.
Dann folgt automatisch, dass
$x [mm] \mapsto \Vert [/mm] x [mm] \Vert_B [/mm] := [mm] \sqrt{\delta_B(x,x)}$
[/mm]
eine Norm gegeben wird. Frage: Hattet ihr diesen Satz schon, dass man auf diese Weise aus einem Skalarprodukt eine Norm gegeben wird? Oder müssen wir ihn noch schnell beweisen?
Auf jeden Fall zeigen wir jetzt erst einmal, dass durch
[mm] $\delta_B(x,y) [/mm] := x^tBy$
ein Skalarprodukt auf [mm] $\IR^2$ [/mm] gegeben wird.
Zu zeigen ist:
1) die Linearität von [mm] $\delta_B$ [/mm] im ersten Argument, also:
[mm] $\delta_B(\lambda_1x_1 [/mm] + [mm] \lambda_2x_2,y) [/mm] = [mm] \lambda_1\delta_B(x_1,y) [/mm] + [mm] \lambda_2 \delta_B(x_2,y)$
[/mm]
(dies ist sehr einfach zu zeigen, ich denke das schaffst du alleine; du kannst dich aber gerne mit deiner Lösung zur Kontrolle mal wieder hier melden )
2) [mm] $\delta_B(x,x) \ge [/mm] 0$ und [mm] $[\delta_B(x,x)=0 \quad \Leftrightarrow \quad [/mm] x=0]$
(dies folgt aber unmittelbar daraus, dass $B$ symmetrisch ist und nur positive Minoren (Unterdeterminanten, kennst du das?) besitzt und daher positiv definit ist; alternativ könntest du auch über die Symmetrie und die beiden positiven Eigenwerte von $B$ argumentieren).
3) [mm] $\delta_B(x,y) [/mm] = [mm] \delta_B(y,x)$
[/mm]
(dies ist klar: da $x^tBy$ ein Skalar ist, gilt (beachte die Symmetrie von $B$: [mm] $(x^tBy)^t [/mm] = x^tBy$ und daher: [mm] $\delta_B(x,y) [/mm] = x^tBy [mm] =(x^tBy)^t [/mm] = [mm] y^tB^t(x^t)^t [/mm] = [mm] y^t [/mm] Bx = [mm] \delta_B(y,x)$).
[/mm]
Versuche das jetzt erst einmal zu Ende zu führen bzw. nachzuvollziehen. Dann geht es weiter. Sage mir aber bitte erst einmal, ob ihr den obigen Satz hattet (wie man aus einem Skalarprodukt eine Norm gewinnen kann).
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:24 Di 12.04.2005 | | Autor: | Moe007 |
hallo julius,
erstmal danke für deine Hilfe. das braucht dir nicht leid zu tun, dass mein Beweis falsch war. ich bin das schon gewohnt, alles falsch zu machen
Also zur Aufgabe: Den Satz hatten wir noch nicht, dass man aus dem Skalarprodukt auf eine Norm schließen kann. Wir haben nur gelernt, dass man für eine Norm die Homogenität, Dreiecksungleichung, Positivdefinitheit und dass für alle x \ in V ||x|| [mm] \ge [/mm] 0 ist.
Diese Eigenschaften muss ich doch nachweisen für eine Norm oder? Also wie gesagt, dass mit dem skalarprodukt haben wir noch nicht.
Deinen Bewies für das Skalarprodukt hab ich verstanden, aber was hat das mit der Norm zu tun??
Ich danke dir für weitere Unterstützung.
Moe 007
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:55 Mi 13.04.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Okay, wir haben jetzt eingesehen, dass durch
[mm] $\delta_A(x,y) [/mm] = x^tAy$
ein Skalarprodukt gegeben ist. Sehr gut!!! ![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]")
Jetzt wollen wir allgemein zeigen, dass folgendes gilt:
Ist [mm] $\delta [/mm] : X [mm] \times [/mm] X [mm] \to \IR$ [/mm] ein Skalarprodukt, dann wird durch
[mm] $\Vert [/mm] x [mm] \Vert:= \sqrt{\delta(x,x)}$
[/mm]
eine Norm gegeben.
Bei uns wäre also speziell:
[mm] $\Vert [/mm] x [mm] \Vert_A:= \sqrt{\delta_A(x,x)} [/mm] = [mm] \sqrt{x^tAx}$
[/mm]
dann eine Norm.
Willst du das mal selber versuchen?
Du musst also folgendes nachweisen:
1) [mm] $\Vert x\Vert=0 \quad \Rightarrow \quad [/mm] x=0$,
2) [mm] $\Vert \lambda \cdot [/mm] x [mm] \Vert [/mm] = [mm] |\lambda| \cdot \Vert [/mm] x [mm] \Vert$,
[/mm]
3) [mm] $\Vert [/mm] x [mm] +y\Vert \le \Vert [/mm] x [mm] \Vert [/mm] + [mm] \Vert [/mm] y [mm] \Vert$.
[/mm]
1) und 2) folgen mehr oder weniger aus der Definition [mm] $\Vert [/mm] x [mm] \Vert [/mm] = [mm] \sqrt{\delta(x,x)}$ [/mm] und den Eigenschaften des Skalarproduktes, bei 3) musst du zusätzlich die Cauchy-Schwarz-Ungleichung verwenden.
Versuche es bitte einmal und melde dich mit deinem Versuch (plus Fragen?) wieder.
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:02 Mi 13.04.2005 | | Autor: | Moe007 |
Hallo,
ich hab versucht, die Eigenschaften für eine Norm zu beweisen für [mm] \parallelx \parallel_{B} [/mm] := [mm] \wurzel{ \delta_{B}(x,x)}= \wurzel{x^{t}Bx}
[/mm]
1) Z.Z: [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] V : [mm] \parallelx \parallel \ge [/mm] 0
[mm] \parallelx \parallel_{B} [/mm] ist definiert als die Länge von x, d.h. es gilt [mm] \parallelx \parallel_{B} [/mm] = [mm] \wurzel{x^{t}Bx} [/mm] = [mm] \wurzel{ \delta_{B}(x,x)} \ge [/mm] 0
Wenn [mm] \parallelx \parallel_{B} [/mm] = 0, dann folgt [mm] \delta_{B}(x,x) [/mm] = [mm] \parallelx \parallel_{B}^{2} [/mm] = [mm] 0^{2} [/mm] = 0, da [mm] \delta_{B} [/mm] Skalarprodukt ist, folgt aus positivdefinitheit dass x=0.
2) Homogenität: [mm] \parallel \alphax \parallel_{B}^{2}= \delta_{B}( \alphax,\alphax) [/mm] = [mm] \alpha^{2}\delta_{B}( [/mm] x,x)= [mm] \alpha^{2}(x^{t}Bx)^{2} [/mm] = [mm] \alpha^{2} \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{B}^{2} [/mm] Zieht man die Wurzel, erhält man die Beh.
3) Z.Z. [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] V \ {0} : [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{B} [/mm] > 0
Sei x [mm] \not= [/mm] 0. dann [mm] \delta_{B}(x,x) \not= [/mm] 0 (wg. positivdefinitheit von Skalarprodukt) Daraus folgt [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{B} \not= [/mm] 0, aus 1) folgt dann [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{B} [/mm] > 0.
4) [mm] \Delta-Ungleichung \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] V: [mm] \parallel [/mm] x+y [mm] \parallel \le \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] + [mm] \parallel [/mm] y [mm] \parallel
[/mm]
[mm] \parallel [/mm] x+y [mm] \parallel_{B}^{2} [/mm] = [mm] \delta_{B}(x+y,x+y) [/mm] = [mm] \delta_{B}(x,x) [/mm] + 2 [mm] \delta_{B}(x,y)+ \delta_{B}(y,y) \le \delta_{B}(x,x) [/mm] + 2 [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{B} \parallel [/mm] y [mm] \parallel_{B} [/mm] + [mm] \delta_{B}(y,y) [/mm] wg. Cauchy- schwartz- ungl. = ( [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{B} [/mm] + [mm] \parallel [/mm] y [mm] \parallel_{B})^{2} [/mm] Zieht man die Wurzel, erhält man die Beh.
Dann ist [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{B} [/mm] eine Norm. Stimmt das so???
Wenn ja, kannst du mir dann auch beim 2. Teil der Aufgabe helfen? Siehe dafür, das erste Posting von mir. ich soll ja noch k, K [mm] \in \IR^{+} [/mm] finden.
Danke, Moe 007
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:14 Do 14.04.2005 | | Autor: | Moe007 |
hallo Julius,
vielen dank für deine Hilfe. Gut, dass der Teil richtig ist
Ich hab aber jetzt eine Frage zum 2. Teil. Wieso hat B denn ein ON-Basis, wenn es symmetrisch und positiv definit ist? Den Zusammenhang versteh ich nicht so. Ein ON-System ist doch so deiniert, dass jeweils 2 versch. spalten von B senkrecht aufeinander stehen und das Skalarprodukt den den beiden Spalten 0 ist, und dass das Skalarprodukt von einer Spalte mit sich selbst gleich 1 ist. Falls die Vektoren (Spalten) noch zusätzlich lin. unah. ist, dann ist bilden die Vektoren eine ON-Basis. oder????
Den Rest deiner Antwort hab ich verstanden. Du hast einfach die Definition von der euklid. Norm angewendet und bist auf [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{2}^{2} [/mm] = [mm] \mu_{1}^{2} [/mm] + [mm] \mu_{2}^{2} [/mm] gekommen.
Wie du aber áuf [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel_{B}^{2}= \mu_{1}^{2} \lambda_{1} [/mm] + [mm] \mu_{2}^{2} \lambda_{2} [/mm] gekommen bist, versteh ich leider nicht. Was sind denn überhaupt positive Eigenwerte?? irgendwie hast du die Matrix B durch ihre Eigenwerte ersetzt, aber ich versteh nicht warum. und dass mit der Orthonormalität von ( [mm] \nu_{1}, \nu_{2}) [/mm] versteh ich auch nicht so.
Deshalb hab ich auch keine Idee, wie man die beiden Ausdrücke gegenseitig abschätzen kann. Ich hoffe, du kannst mir weiter helfen und mir nochmal erklären, was du da gemacht hast.
Vielen Dank nochmals für deine Hilfe.
Moe007
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:04 Do 14.04.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Hmmh, ui, ich fürchte dir fehlen ganz viele Grundlagen, ohne die du die Aufgabe nicht lösen kannst.
Es sei $A$ eine $(n [mm] \times [/mm] n)$-Matrix über einem Körper [mm] $\IK$. [/mm] Ein Skalar [mm] $\lambda \in \IK$ [/mm] heißt Eigenwert von $A$, wenn es ein $x [mm] \in \IK^n$ [/mm] , $x [mm] \ne [/mm] 0$, gibt mit $Ax = [mm] \lambda [/mm] x$. Dann heißt $x$ Eigenvektor von $A$.
Ist $A$ symmetrisch, dann gibt es eine ON-Basis des [mm] $\IK^n$, [/mm] die ausschließlich aus Eigenvektoren von $A$ besteht.
Sind bis dahin alle Begriffe klar? Verstehst du die Aussagen? Hast du schon einmal davon was gehört? Was ist dir unklar? (Außer dem Beweis des Satzes, wenn du ihn nicht kennst...)
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:30 Do 14.04.2005 | | Autor: | Moe007 |
Hallo,
also leider muss ich zugeben, dass mir der Satz völlig unbekannt ist. ich kann mich nicht dran erinnern, dass wir ihn schon in der Vorlesung gehabt haben. Sowohl in Analysis und in Lin. Algebra. ich hab noch nie etwas von eigenvektoren gehört.
kann man die Aufgabe vielleicht auch anders lösen? Ich komm von allein nicht auf die Lösung.
eigentlich dürfte der Assistent vom Professor doch keine Aufgabe stellen, wenn wir den stoff zum Beweis noch nicht gehabt haben. Wir nehmen momentan Norm uns Metrik durch.
Danke für deine Hilfe. Moe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:16 Fr 15.04.2005 | | Autor: | Moe007 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
hallo,
danke für deine Antwort. ich hab aber deine Lösung nicht so ganz verstanden. Wie kommt man denn darauf, so eine Funktion x \mapsto ( \bruch{x}{ \parallel x \parallel_{2}})^{t) B (\bruch{x}{ \parallel x \parallel_{2}}) zu definieren? ich wär nie da drauf gekommen.
Ich versteh auch nicht warum die euklidische Norm \parallel x \parallel_{2} = 1 ist. Ist es immer so? Den Rest konnte ich nachvollziehen.
Danke nochmals für deine Hilfe.
Moe007
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:25 Fr 15.04.2005 | | Autor: | Moe007 |
hallo,
ich wollt noch fragen, ob die Aufgabenstellung nicht so gemeint war, dass man konkrete Werte für k und K finden sollte, damit diese Doppelungleichung gilt? Ich mein, bei deiner Lösung haben wir ja k = [mm] \wurzel{m} [/mm] und K = [mm] \wurzel{M}.
[/mm]
Danke, Moe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:15 Di 19.04.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Wie man darauf kommt, kann ich dir jetzt schlecht sagen - es ist reine Routine.
Es gilt nicht immer: [mm] $\Vert [/mm] x [mm] \Vert_2=1$, [/mm] natürlich nicht.
Aber es gilt immer:
[mm] $\Vert \frac{x}{\Vert x \Vert_2} \Vert_2=1$.
[/mm]
Daher ist es egal, ob man in die Funktion $x [mm] \in \IR^d$ [/mm] oder [mm] $\frac{x}{\Vert x \Vert_2}$ [/mm] einsetzt. Es kommt das gleiche raus. Also kann man die Funktion direkt auf [mm] $S_1=\{x \in \IR^2\, : \Vert x \Vert_2 =1\}$ [/mm] einschränken.
Um die konkreten Zahlen herauszubekommen, musst du entweder mit Eigenvektoren arbeiten (was ihr ja nicht hattet) oder ganz grobe Abschätzungen der Funktion versuchen vorzunehmen, was aber relativ stumpfsinnig ist (würde ich an deiner Stelle nicht machen und auf die Punkte verzichten; wenn du im Hinterkopf hast, dass es mit Eigenvektoren/-werten ganz einfach geht).
Viele Grüße
Julius
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![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]"){kind=small}
Sehr schön!! 
), dann lösen wir die Aufgabe eben anders.
