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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:38 Mo 31.10.2011 | | Autor: | yonca |
| Aufgabe | Offenbar ist [mm] \Omega [/mm] := [mm] \IR [/mm] eine überabzählbare Menge. Durch F:= {A [mm] \in [/mm] Potenzmenge von [mm] \Omega [/mm] | A ist abzählbar oder [mm] A^c [/mm] ist abzählbar} wird ein Mengensystem auf [mm] \Omega [/mm] definiert.
Betrachtet wird nun das Mengensystem K:= [mm] \{ \{ \omega\}| \omega \in \Omega \}
[/mm]
.
Zeigen Sie bitte die Gültigkeit der folgenden Identität:
[mm] \sigma(K) [/mm] = F |
Hallo,
ich weiß leider nicht wie ich diese Aufgabe angehen soll.
Also [mm] \sigma(K) [/mm] ist ja die [mm] \sigma [/mm] -Algebra welche durch das Mengesystem K erzeugt wird bzw die kleinste [mm] \sigma [/mm] -Algebra, welche alle Mengen aus K enthält.
Mir fällt es schwer hier überhaupt einen Ansatz zu finden :(
Kann mir jemand vielleicht einen Tipp geben?
Das würde mir sehr weiterhelfen.
Vielen Dank schon mal,
Gruß yonca!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:49 Mo 31.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Offenbar ist [mm]\Omega[/mm] := [mm]\IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
eine überabzählbare Menge.
> Durch F:= {A [mm]\in[/mm] Potenzmenge von [mm]\Omega[/mm] | A ist abzählbar
> oder [mm]A^c[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ist abzählbar} wird ein Mengensystem auf [mm]\Omega[/mm]
> definiert.
>
> Betrachtet wird nun das Mengensystem K:= [mm]\{ \{ \omega\}| \omega \in \Omega \}[/mm]
>
> .
> Zeigen Sie bitte die Gültigkeit der folgenden
> Identität:
> [mm]\sigma(K)[/mm] = F
> Hallo,
>
> ich weiß leider nicht wie ich diese Aufgabe angehen soll.
> Also [mm]\sigma(K)[/mm] ist ja die [mm]\sigma[/mm] -Algebra welche durch das
> Mengesystem K erzeugt wird bzw die kleinste [mm]\sigma[/mm]
> -Algebra, welche alle Mengen aus K enthält.
> Mir fällt es schwer hier überhaupt einen Ansatz zu finden
> :(
>
> Kann mir jemand vielleicht einen Tipp geben?
Folgendes dürfte klar sein.
1. $K [mm] \subseteq \sigma(K)$.
[/mm]
2. $K [mm] \subseteq [/mm] F$ und damit auch [mm] \sigma [/mm] (K) [mm] \subseteq \sigma(F)=F
[/mm]
(das letzte "=" gilt , wei F eine [mm] \sigma- [/mm] Algebra ist)
Zu zeigen ist also noch:
$F [mm] \subseteq \sigma(K).$
[/mm]
Nimm also ein A [mm] \in [/mm] F her.
Fall 1: A ist abzählbar, also [mm] $A=\{w_1,w_2,...\}$. [/mm] Dann ist
[mm] $A=\bigcup_{i=1}^{\infty}\{w_i\}$
[/mm]
Ist Dir nun klar, dass $A [mm] \in \sigma(K)$ [/mm] ist ?
Fall 2: [mm] A^c [/mm] ist abzählbar. Wie in Fall 1 : [mm] A^c \in \sigma(K). [/mm] Warum folgt, daas dann auch $A [mm] \in \sigma(K)$ [/mm] ist ?
FRED
>
> Das würde mir sehr weiterhelfen.
> Vielen Dank schon mal,
> Gruß yonca!
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