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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:52 Fr 05.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Liebe Bastiane,
> Hallo!
>
> Würde nur gerne mal kurz wissen, was unser Prof mit
> folgender "Definition" gemeint hat:
> [mm]\IR':=[-\infty,\infty][/mm] (erweiterte Zahlengerade)
Naja, es ist ja [mm] $\IR=(-\infty,\infty)$, [/mm] und dein Prof meint so etwas wie:
[mm] $\IR'=\IR\cup\{-\infty,\infty\}=[-\infty,\infty]$.
[/mm]
Wenn ich mich recht erinnere, nennt man das die Zwei-Punkt-Kompaktifizierung von [mm] $\IR$, [/mm] denn in [mm] $\IR'$ [/mm] gilt, dass jede Folge eine konvergente Teilfolge hat, was ja in [mm] $\IR$ [/mm] nicht der Fall ist, da z.B. die Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] definiert durch [mm] $a_n:=n$ [/mm] gegen [mm] $\infty$ [/mm] geht (bei $n [mm] \to \infty$) [/mm] und auch jede Teilfolge [mm] $(a_{n_k})_{k \in \IN}$ [/mm] von [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] geht gegen [mm] $\infty$ [/mm] bei $k [mm] \to \infty$. [/mm] Es ist aber [mm] $\infty \notin \IR$.
[/mm]
Er hat bestimmt auch vorher Rechenregeln für [mm] $\infty$ [/mm] festgelegt, etwa:
[mm] $a+\infty=\infty$ $\forall [/mm] a [mm] \in \IR$, [/mm] nicht wahr?
> (Eigentlich hat er es [mm]\IR[/mm] mit nem Querstrich oben drauf
Also so: [mm] $\overline{\IR}$
[/mm]
> genannt, aber das ist ja wohl egal.)
Es soll vielleicht auch etwas andeuten:
Stelle dir [mm] $\IR$ [/mm] mal als offenes Intervall vor (so, wie du dir normalerweise ein offenes Intervall $(a,b)$ aus [mm] $\IR$ [/mm] auf dem Zahlenstrahl vorstellst). Wenn du das Intervall abschließt, so nimmst du ja den linken und den rechten Endpunkt hinzu. Bei [mm] $\IR$ [/mm] wären das [mm] $-\infty$ [/mm] und [mm] $+\infty$, [/mm] und wenn man diese bei [mm] $\IR$ [/mm] aufnimmt, dann erhält man [mm] $\IR'$. [/mm] Das ist, denke ich, die grobe Vorstellung (das ist nichts wirklich mathematisches, was ich da geschrieben habe). Und den Abschluß einer Menge bezeichnet man halt meist mit einem Querstrich drüber.
> Jedenfalls ist das Einzige, was mir dazu einfällt, dass
> man normalerweise [mm]\infty[/mm] nicht in einem Intervall
> einschließt, hier ist es aber schon mit drin. Aber was soll
> das bedeuten?
> ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Ich hoffe, es ist jetzt klarer geworden. Leider muss ich gleich weg. ![[mussweg]](/images/smileys/mussweg.gif "[mussweg]")
> Viele Grüße
> Bastiane
> ![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") ![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
Liebe Grüße,
Marcel
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
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