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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:39 Fr 10.11.2006 | | Autor: | tkone |
| Aufgabe | Gegeben ist eine Funktion y = [mm] a*x_1^{b}+c*x_2^{d}+e*x_3^{f}+g*x_4^{h}+i
[/mm]
Desweiteren ist eine Wertetabelle für y, [mm] x_1, x_2, x_3 [/mm] und [mm] x_4 [/mm] gegeben.
Wie lautet die Gleichung für y = f(x1;x2;x3;x4), die die Tabellenwerte erfüllt. |
Nunja, ich kenne mich ja mit linearen Gleichungen und dem linearen Gleichungssystem aus, aber ich weis nicht, wie man es löst, wenn es ein nicht linearer Zusammenhang ist.
Hat jemand einen Tipp ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:58 Fr 10.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Sind in der Aufgabe die exponenten der [mm] x_i [/mm] gegeben oder Unbekannte?
Wenn sie gegeben sind, dann nimmst du einfach 4 Sätze von Werte aus der Tabelle und hast ein lineares Gleichungssystem für a,c,g,i.
Wenn sie nicht gegeben sind kommt es auf die Länge der Tabelle an, ich glaub kaum, dass man das eindeutig mit einer endlichen Tabelle machen kann, es sei denn es gibt Einträge mit [mm] x_i [/mm] =0
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:21 Mo 13.11.2006 | | Autor: | tkone |
leider sind auch die exponenten unbekannt.
und es gibt keine [mm] x_i [/mm] = 0
die tabelle kann man ewig fortführen, da es sich um berechnete werte handelt. im moment habe ich 20 zeilen, kann diese aber auch bei bedarf erweitern.
wieviele werte braucht man den, bei so einer aufgabe?
wenn man es nicht analytisch lösen kann, dann hab ich mehr freizeit ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:54 Mi 15.11.2006 | | Autor: | tkone |
Ich habe mal einen Matheprofessor gefragt.
Vielleicht interessiert es ja einen von euch, wie man das lösen kann.
MfG Kay
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Hallo Herr Ullrich,
das von Ihnen geschilderte Problem ist ein "richtiges" nichtlineares Regressionsproblem und dazu noch mit mehreren Variablen (x1 bis x4) und damit i. Allg. nicht einfach zu lösen.
Was zunächst machbar ist, das ist der Ansatz der Methode der kleinsten Quadrate. Dort bilden Sie die Summe der Fehlerquadrate
d(a,b,...,i) = sum ( [mm] y_i [/mm] - f(a,b,...,i ; [mm] x1_i,...,x4_i [/mm] ) ^2
und versuchen diese durch Wahl der a,b,...,i zu minimieren.
Dabei ist die Funktion f die rechte Seite in Ihrem Ansatz.
Dies ist eine Extremwertaufgabe für die Funktion d von mehreren Variablen a,b,...,i. Üblicherweise setzt man die partiellen Ableitungen von d nach a,b,...,i gleich 0. Das führt aber in Ihrem Fall leider auf ein nichtlineares Gleichungssystem, das i. Allg nicht explizit gelöst werden kann.
Man kann aber die Extremwertaufgabe auch direkt angehen. Mathcad kennt die Funktion minfehl/minerr, die genau auf diese Situation zugeschnitten ist. Erwarten Sie aber keine Wunder, für verlässliche Lösungen braucht man meist gute Anfangsnäherungen und auch etwas Glück.
Helfen würde es, wenn Sie die Exponenten b,d,f,h in Ihrem Ansatz irgendwie anders beschaffen könnten. Dann verbleibt eine lineare Aufgabe der multiplen Regression.
Hat man nur ein x, also einen Ansatz der Form
y = a * (x1 ^ b)
dann wissen Sie vielleicht schon, dass durch Logarithmieren eine Linearisierung erreicht werden kann:
log(y) = log(a) + b * log(x)
Wir setzen X = log(x), Y = log(y), A = log(a) und erhalten
Y = A + b * X
Das ist der klassische Ansatz für die Ausgleichsgerade.
Viel Erfolg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Fr 17.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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