erste Kurvendiskussion < VK 54: Mathematik des 11. Jahrgangs < VK Abivorbereitungen < Schule < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:48 Fr 12.11.2010 | | Autor: | KarlMarx |
Gegeben ist die ganzrationale Funktion $f(x) = [mm] \frac{1}{2}x^3 [/mm] - [mm] 2\,x^2 [/mm] - [mm] \frac{1}{2}x [/mm] + 2$ mit $x [mm] \in \mathbb{R}$.
[/mm]
[mm] \textbf{a)} [/mm] Führen Sie eine vollständige Kurvendiskussion der Funktion $f(x)$ durch und zeichnen Sie den Graphen der Funktion im Intervall $I = [mm] \left[-1,5\,; 4,5\right]\,.$
[/mm]
[mm] \textbf{b)} [/mm] Die Tangente an die mittlere Nullstelle der Funktion schließt mit den Koordinatenachsen ein rechtwinkliges Dreieck ein. Welchen Flächeninhalt hat dieses und wie lang ist seine Hypotenuse?
Viel Erfolg!
[mm] \textit{Hinweis:} [/mm] Eine vollständige Kurvendiskussion ganzrationaler Funktionen beinhaltet:
- Definitions- und Wertebereich,
- Nullstellen und Ordinatenabschnitt,
- Symmetrie- und Monotoniebetrachtungen (Monotonie wird häufig auch weggelassen),
- mindestens die ersten beiden Ableitungen,
- Extrema und Wendepunkte,
- Untersuchung des Verhaltens im Unendlichen
- graphische Darstellung der Funktion (und gern auch ihrer Ableitungen).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:33 Fr 08.06.2012 | | Autor: | Giraffe |
abzuarbeitende Überschriften sind blau
[mm]f(x) = \frac{1}{2}x^3 - 2\,x^2 - \frac{1}{2}x + 2\,[/mm]
Skizze
reicht das oder nochmal auf Millimeterpap.?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Def.- u. Wertebereich
Es ist ein Elend, ich kriege es mit dem Formeleditor nicht hin, dass D mit dem Doppelstrich f. Def.menge u. das auch der Rest anständig erscheint.
[mm] $\mathbb{D}$ [/mm] = [mm]\IR\[/mm]
oder auch
[mm] $\mathbb{D}=\{ x :x\in\IR\}$
[/mm]
[mm] $\mathbb{W}=\IR$
[/mm]
Edit Marcel: Ich habe mir mal die Freiheit genommen, obiges für Giraffe "zu verschönern".
Nullstellen
f(x)=0
0=[mm]f(x) = \frac{1}{2}x^3 - 2\,x^2 - \frac{1}{2}x + 2\,.[/mm]
Nullst. gibt es max. soviele wie der höchste Exp., also 3.
Als Nullst. kommen nur die Teiler von 2 in Frage, also
-2
-1
0
1
2
Mit Poynom.Div. fand ich die erste Nullst. bei [mm] x_{N1}=1
[/mm]
Dann hatte ich keine Lust mehr mit Polynom.Div. weiterzumachen u. suchte mir von den in Frage kommenden Teilern, die aus der Skizze aus, wo der Graph Nullstellen hat.
Nämlich [mm] x_{N2}=-1 [/mm] und [mm] x_{N3}=4
[/mm]
Erlaubt oder hätte ich streng mit Polyn.Div. weitermachen müssen?
Ordinatenabschnitt (y-Achsenabschnitt)
x=0
f(0)=2
Der Schnittpkt. des Graphen an der y-Achse ist bei y=2
Symmetrie
wenn f(x)=f(-x) achs.-Sym.
wenn f(-x)=-f(x), dann pkt.-Sym.
Da der höchste Exp. ungerade ist habe ich f(-x)=-f(x) geprüft mit dem Ergebnis:
nein, die Flt. ist nicht pkt.-sym.
Hierzu bitte eine Frage:
War es nicht so, dass man eine Fkt. nur einem der beiden Eigenschaften zuordnen kann, wenn z.B. achs.sym f(x)=f(-x) alle Exp. der Fkt. gerade sind u. nicht nur der höchste? D.h. hat sie gerade u. ungerade Exponenten, dann ist sie weder achs- noch pkt.sym.? Ja, war das so?
Monotonie
Sowas habe ich noch nie gemacht. Muss man hierzu immer eine Fließtext-Antw. geben, wie:
"Die Fkt. ist nicht streng monoton steigend, da die Steig. der Kurve bei [0 / 2,5]
fallend ist."
Oder kann man das auch mit Zahlen u. Buchstaben, wie z.B. bei Sym. so f(x)=f(-x) untersuchen? Also gemeint ist, ob man das auch rechnerisch, ohne den Graph zu betrachten machen kann?
Oder zeichnet man dazu die Ableitg.?
Von einer kubischen Fkt. ist die Ableitg. immer ne Parabel, d.h. es gibt immer beides pos. u. neg. Steig., egal wie die kubische aufgebaut ist.
Aber was ist mit [mm] f(x)=x^3 [/mm] die ist doch streng monoton steigend!? Wie soll ich das am Graph der Ableitg. erkennen?
Verehrter Herr Marx, können Sie das bitte mitmachen, auch wenn´s gern weggelassen wird?
Ableitungen
alle
kein Probl.
Extrema
Extrema sind bei der Ableitg. Nullst., d.h.
f ´(x)=0
[mm] x_{E1}=3
[/mm]
[mm] x_{E2}=-0,3 [/mm] (Periode)
Welcher ist jetzt HP, welcher TP?
TP, wenn f´´(x)>0
HP, wenn f´´(x)<0
Min. (3/-4)
Max. (0,3333/1,6296)
Wendepunkt
WP ist bei der Ableitg. immer HP oder TP
D.h. vermutl. f´´(x)=0
[mm] 0=x^2-\bruch{8}{3}x-\bruch{1}{3} [/mm]
[mm] 0=(x-\bruch{4}{3})^2-\bruch{19}{9}-\bruch{3}{9}
[/mm]
Ich bekomme dummerweise 2 Wendepunkte raus, was ja wohl nicht stimmen kann
a) [mm] \bruch{19}{9}=3,4
[/mm]
b) [mm] \bruch{-19}{9}+\bruch{4}{3}=-0,7777 [/mm] wie kriege ich den Periodenstrich darüber?
graphische Darstellg. der Fkt. u. ihre Ableitg.
also doch nochmal auf Millimeterpap. mit f ´ und f ´´
> [mm]\textbf{b)}[/mm] Die Tangente an die mittlere Nullstelle der
> Funktion schließt mit den Koordinatenachsen ein
> rechtwinkliges Dreieck ein. Welchen Flächeninhalt hat
> dieses und wie lang ist seine Hypotenuse?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:56 Fr 08.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> abzuarbeitende Überschriften sind blau
> [mm]f(x) = \frac{1}{2}x^3 - 2\,x^2 - \frac{1}{2}x + 2\,[/mm]
>
> Skizze
> reicht das oder nochmal auf Millimeterpap.?
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Def.- u. Wertebereich
> Es ist ein Elend, ich kriege es mit dem Formeleditor nicht
> hin, dass D mit dem Doppelstrich f. Def.menge u. das auch
> der Rest anständig erscheint.
> [mm]\mathbb{D}[/mm] = [mm]\IR\[/mm]
> oder auch
> [mm]\mathbb{D}=\{ x :x\in\IR\}[/mm]
> [mm]\mathbb{W}=\IR[/mm]
>
> Edit Marcel: Ich habe mir mal die Freiheit genommen, obiges
> für Giraffe "zu verschönern".
>
> Nullstellen
> f(x)=0
> 0=[mm]f(x) = \frac{1}{2}x^3 - 2\,x^2 - \frac{1}{2}x + 2\,.[/mm]
>
> Nullst. gibt es max. soviele wie der höchste Exp., also
> 3.
> Als Nullst. kommen nur die Teiler von 2 in Frage,
Begründung? (Zumal mir die Aussage doch sehr gewagt erscheint, da Du am Ende doch selbst etwa [mm] $4\,$ [/mm] als Nullstelle angibst, welche aber kein Teiler der [mm] $2\,$ [/mm] ist!)
> also
> -2
> -1
> 0
> 1
> 2
> Mit Poynom.Div. fand ich die erste Nullst. bei [mm]x_{N1}=1[/mm]
Ja? Ich hätte das durch "Einsetzen und schauen, ob [mm] $f(1)=0\,$ [/mm] gilt", rausgefunden.
> Dann hatte ich keine Lust mehr mit Polynom.Div.
> weiterzumachen u. suchte mir von den in Frage kommenden
> Teilern, die aus der Skizze aus, wo der Graph Nullstellen
> hat.
> Nämlich [mm]x_{N2}=-1[/mm] und [mm]x_{N3}=4[/mm]
> Erlaubt oder hätte ich streng mit Polyn.Div. weitermachen
> müssen?
Es wäre besser gewesen, mit Polynomdivision weiterzumachen - oder noch besser: Nachdem Du $f(x):(x-1)=:g(x)$ berechnet hast, kannst Du die Nullstellen von [mm] $g\,$ [/mm] mittels Mitternachtsformel (oder pq-Formel) berechnen!!
Unerlaubt ist Dein Vorgehen nicht ganz, aber es fehlt eine Kleinigkeit:
Setze [mm] $x_{N_2}=-1\,$ [/mm] in [mm] $f(x)\,$ [/mm] ein, um [mm] $f(x_{N_2})=0$ [/mm] auch wirklich nachgerechnet zu haben. Analog mit der letzten Nullstelle.
Im Endeffekt: Wenn Du eh 3 Nullstellen "rätst", und weiß, dass die Funktion nur 3 Nullstellen haben kann, dann bist Du fertig, wenn Du auch durch Einsetzen nachrechnest, dass die 3 geratenen Stellen auch wirklich Nullstellen sind.
Also erlaubt ist folgende Argumentation (es ist ja sch...egal, wie Du zu den geratenen "Nullstellenkandidaten" gekommen bist):
1. Als Polynom 3en Grades hat [mm] $f\,$ [/mm] maximal 3 Nullstellen.
2. Die Nullstellen sind [mm] $1\,, [/mm] $ [mm] $-1\,$ [/mm] und [mm] $4\,,$ [/mm] denn (wir erinnern: $f(x) = [mm] \frac{1}{2}x^3 [/mm] - [mm] 2\,x^2 [/mm] - [mm] \frac{1}{2}x [/mm] + 2$) es gilt:
a) [mm] $f(1)=\frac{1}{2}1^3 [/mm] - [mm] 2\,1^2 [/mm] - [mm] \frac{1}{2}*1 [/mm] + 2=...=0$
b) [mm] $f(-1)=\frac{1}{2}(-1)^3 [/mm] - [mm] 2\,(-1)^2 [/mm] - [mm] \frac{1}{2}*(-1) [/mm] + 2=...=0$
c) [mm] $f(4)=\frac{1}{2}4^3 [/mm] - [mm] 2\,4^2 [/mm] - [mm] \frac{1}{2}*4 [/mm] + [mm] 2=2*16-2*16-2+2=0\,.$
[/mm]
Die [mm] $...\,$ [/mm] habe ich nicht genauer ausgeführt, weil die Rechnung dort ziemlich offensichtlich ist. Gut, könnte man auch genauer ergänzen...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 Fr 08.06.2012 | | Autor: | Giraffe |
Hallo Marcel,
es geht um die Nullst.-Ermittlg.
Du fragtest nach einer Begründg für die Aussage:
"wenn man kein x ausklam. kann, dann kommen nur die Teiler des absoluten Glieds in Frage, um mit ihnen Polyn.Div. zu machen"
Das hat Angela, die aus Kaiserslautern, mit den Pferden mal einem anderen hier im Matheraum, gesagt u. ich habe das gleich aufgeschnappt. Und da man leider vergisst habe ich es mir aufgeschrieben u. genau da habe ich nun nachgeschaut u. festgestellt, dass ich sie nicht korrekt wiedergegeben habe. Sie sagte nämlich, dass das nur ginge, wenn der Faktor vor der höchsten Potenz eine 1 ist, nur dann probiert man es mit den Teilern des konst. Gliedes.
So, ein Mist, denn jetzt steh ich da, denn der Faktor ist leider nicht 1 u.
ich kann die Nullstellen jetzt gar nicht mehr bestimmen.
Ich möchte deshalb folgendes von dir wissen. Du schriebst:
> Im Endeffekt: Wenn Du eh 3 Nullstellen "rätst"
Wirklich muss ich echt richtig raten?
Nee, du hast es in Anführungsstriche gesetzt.
Warum?
Kannst du es mir bitte ma richtig vormachen?
Um die gerateten zu testen, ob es wirkl. solche f. Nullst. sind, den Test mache ich mit Polyn.Div., ja so?
Mit welchen fängt man an zu raten? Sicher nicht 127 oder 32 oder ....
Vermutl. bleibt man bei 0, 1, 2, usw. oder?
Gruß
Sabine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:15 Fr 08.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
> es geht um die Nullst.-Ermittlg.
> Du fragtest nach einer Begründg für die Aussage:
> "wenn man kein x ausklam. kann, dann kommen nur die Teiler
> des absoluten Glieds in Frage, um mit ihnen Polyn.Div. zu
> machen"
> Das hat Angela, die aus Kaiserslautern, mit den Pferden
> mal einem anderen hier im Matheraum, gesagt u. ich habe das
> gleich aufgeschnappt. Und da man leider vergisst habe ich
> es mir aufgeschrieben u. genau da habe ich nun nachgeschaut
> u. festgestellt, dass ich sie nicht korrekt wiedergegeben
> habe. Sie sagte nämlich, dass das nur ginge, wenn der
> Faktor vor der höchsten Potenz eine 1 ist, nur dann
> probiert man es mit den Teilern des konst. Gliedes.
> So, ein Mist, denn jetzt steh ich da, denn der Faktor ist
> leider nicht 1 u.
>
> ich kann die Nullstellen jetzt gar nicht mehr bestimmen.
>
> Ich möchte deshalb folgendes von dir wissen. Du
> schriebst:
> > Im Endeffekt: Wenn Du eh 3 Nullstellen "rätst"
> Wirklich muss ich echt richtig raten?
> Nee, du hast es in Anführungsstriche gesetzt.
> Warum?
Du hast ja nicht wirklich geraten, sondern Du hast schon mehr mit Bedacht geraten. Natürlich hast Du Dich da von dem Graphen der Funktion leiten lassen. (Man kann auch auf anderem Wege versuchen, "strategisch" zu raten...)
> Kannst du es mir bitte ma richtig vormachen?
> Um die gerateten zu testen, ob es wirkl. solche f. Nullst.
> sind, den Test mache ich mit Polyn.Div., ja so?
Nein. Raten heißt einfach: Glück haben, und eine Nullstelle treffen. Man kann das, wie gesagt, auch versuchen, wenigstens ansatzweise strategisch zu machen. Man könnte auch mit Newtonverfahren etc. herangehen. Und bei Polynomen 3en Grades gibt es übrigens auch in der Tat noch eine Lösungsformel (Cardanische Formel). Aber es ist doch okay: Du vermutest (aus welchen Gründen auch immer), dass [mm] $1\,$ [/mm] eine Nullstelle der Funktion ist. Der skizzierte Graph von [mm] $f\,$ [/mm] legt dies' meinetwegen nahe. Aber um zu sehen, dass in der Tat [mm] $1\,$ [/mm] eine Nullstelle ist, brauchst Du nicht [mm] $f(x):(x-1)\,$ [/mm] zu berechnen und zu sehen, dass das "aufgeht" (in dem Sinne, dass da ein Polynom [mm] $2\,$en [/mm] Grades rauskommt). Es ist doch einfach, direkt [mm] $1\,$ [/mm] in [mm] $f(x)\,$ [/mm] einzusetzen und dann zu sehen, dass [mm] $f(1)=0\,$ [/mm] gilt.
Danach musst Du dann zwar in der Tat nochmal [mm] $f(x):(x-1)\,$ [/mm] per Polynomdivision berechnen, kannst Dir dabei dann aber sicher sein, dass [mm] $1\,$ [/mm] in der Tat auch eine Nullstelle von [mm] $f\,$ [/mm] ist und diese Polynomdivision dann ein Polynom 2en Grades liefert. (Was wäre etwa, wenn Du schlecht zeichnest und vermuten würdest, dass [mm] $5/4\,$ [/mm] eine Nullstelle von [mm] $f\,$ [/mm] wäre? Die Polynomdivision $f(x):(x-5/4)$ würde dann "nicht aufgehen" in dem Sinne, dass da dann nicht ein Polynom 2en Grades rauskommt, sondern es "irgendeinen Rest" gibt.)
Berechne nun mal [mm] $f(x):(x-1)\,$ [/mm] per Polynomdivison. Dadurch siehst Du dann, dass Du [mm] $f(x)=(x-1)*g(x)\,$ [/mm] schreiben kannst, wobei [mm] $g(x)\,$ [/mm] ein Polynom vom Grad [mm] $2\,$ [/mm] ist (ohne auch nur Polynomdivision betrieben zu haben, kann ich Dir auch aus den gefundenen Ergebnissen sagen, dass [mm] $g(x)=\text{Konstante}*(x-(-1))*(x-4)$ [/mm] sein wird, wobei die Konstante nicht Null sein wird). Und um dann die weiteren Nullstellen von [mm] $f\,$ [/mm] zu finden, muss man nur die Nullstellen von [mm] $g\,$ [/mm] finden. Und das geht hier dann relativ einfach, nach evtl. einer kleinen Umformung mit der pq-Formel etwa.
> Mit welchen fängt man an zu raten? Sicher nicht 127 oder
> 32 oder ....
> Vermutl. bleibt man bei 0, 1, 2, usw. oder?
Ja. Jedenfalls wenn es schulgerechte Aufgaben sind. Mein Mathelehrer hatte mal gesagt, wenn man zwischen [mm] $-12\,$ [/mm] und [mm] $12\,$ [/mm] keine ganzzahlige Nullstelle findet, dann rechnet man sicher irgendwo falsch. (Er meinte, normal würden die Lehrer immer eine zwischen [mm] $-5\,$ [/mm] und [mm] $5\,$ [/mm] legen. Aber das ist eine etwas gewagte Verallgemeinerung, wobei es gefühlsmäßig wohl meistens echt so sein sollte.)
P.S.
Also generell:
Bei Polynomen 3en Grades ist das Vorgehen, was "normalerweise in der Schule erwartet wird" (wenn man nicht gerade einfach nur schön faktorisieren kann), dass man eine Nullstelle rät und dann Polynomdivision betreibt. Der Rest geht dann mit der pq-Formel.
Bei Polynomen 4en Grades sollte man halt am besten zwei Nullstellen "raten".
Bei Polynomen 5en Grades sicher 3.
Bei Polynomen vom Grad [mm] $\ge [/mm] 6$ werden da sicher andere Tipps vom Lehrer mitgegeben.
P.P.S.
Oft sieht man auch sowas: [mm] $f(x)=x^4+3x^2+2\,,$ [/mm] und dann soll man von [mm] $f\,$ [/mm] die Nullstellen bestimmen. Mal abgesehen davon, dass das bei obigem [mm] $f\,$ [/mm] trivial wäre, wird dann wiederum weniger Polynomdivision erwartet, als vielmehr eine geeignete Substitution [mm] $z:=x^2\,,$ [/mm] um dann mit der pq-Formel weiterzuarbeiten.
Und eine Substitution würde man auch bei [mm] $f(x):=3x^{10}-5x^5+3$ [/mm] erwarten, wenn man dieses [mm] $f\,$ [/mm] auf Nullstellen untersuchen sollte...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:30 Sa 09.06.2012 | | Autor: | Giraffe |
Hi Marcel,
danke f. die ausführl. Antw. - ich werde es gleich mal versuchen nachzuvollziehen.
Zwischenzeitl. habe ich etwas anderes probiert:
[mm] f(x)=0,5x^3-2x^2-0,5x+2
[/mm]
f(x)=0
[mm] 0=0,5x^3-2x^2-0,5x+2
[/mm]
Ich kann doch den Faktor vor [mm] x^3 [/mm] mit mal 2 wegkriegen!?
dann
[mm] 0=x^3-4x^2-x+2
[/mm]
Und jetzt die Teiler von 2 als Nullst. ausprobieren.
Habe ich gemacht, aber es geht nicht auf.
Bei -1 sind wir uns einig, dass dort eine Nullst. ist, also
[mm] 0=(-1)^3-4(-1)^2-(-1)+2
[/mm]
0=-1-4+3 ist aber nicht gleich null.
Und das kapiere ich überhaupt nicht.
Du?
LG
Sabine
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:53 Sa 09.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sabine,
> Hi Marcel,
> danke f. die ausführl. Antw. - ich werde es gleich mal
> versuchen nachzuvollziehen.
> Zwischenzeitl. habe ich etwas anderes probiert:
> [mm]f(x)=0,5x^3-2x^2-0,5x+2[/mm]
> f(x)=0
> [mm]0=0,5x^3-2x^2-0,5x+2[/mm]
> Ich kann doch den Faktor vor [mm]x^3[/mm] mit mal 2 wegkriegen!?
klar!
> dann
> [mm]0=x^3-4x^2-x+\mathbf{\red{2}}[/mm]
Na, hier hast Du Dich doch verrechnet:
[mm] $$0=0,5x^3-2x^2-0,5x+2$$
[/mm]
[mm] $$\gdw 0=x^3-4x^2-x+\blue{\mathbf{4}}\,.$$
[/mm]
> Und jetzt die Teiler von 2 als Nullst. ausprobieren.
> Habe ich gemacht, aber es geht nicht auf.
> Bei -1 sind wir uns einig, dass dort eine Nullst. ist,
> also
> [mm]0=(-1)^3-4(-1)^2-(-1)+2[/mm]
> 0=-1-4+3 ist aber nicht gleich null.
Wenn Du Dir die Korrektur ansiehst, steht da dann auch
[mm] $$0=-1-4\mathbf{\blue{+5}}\,.$$
[/mm]
> Und das kapiere ich überhaupt nicht.
> Du?
Ja. Du jetzt auch?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:13 Sa 09.06.2012 | | Autor: | Giraffe |
das ärgert mich jetzt maßlos
wegen so einem blöden Fehler
kann ich nicht schlafen u. mache mir Gedanken über die Sachlage
u. komme mir großartig vor, über das Ergebnis:
Den Öffnungsfakt. wegmachen geht nur bei Parabeln. Denn, ob diese gestreckt oder weit geöffnet ist hat auf die Lage des Scheitelpkt. keinen Einfluss, d.h. der bleibt an Ort u. Stelle.
Bei [mm] x^3 [/mm] ern darf man diesen Fakt. aber nicth mehr wegmachen, weil diese Zahl den kompletten Graph ändert u. damit auch die Nullst.
Ich kam mir etwas besonders schlau vor
u. dann sowas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:55 Sa 09.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sabine,
> das ärgert mich jetzt maßlos
> wegen so einem blöden Fehler
> kann ich nicht schlafen u. mache mir Gedanken über die
> Sachlage
> u. komme mir großartig vor, über das Ergebnis:
> Den Öffnungsfakt. wegmachen geht nur bei Parabeln. Denn,
> ob diese gestreckt oder weit geöffnet ist hat auf die Lage
> des Scheitelpkt. keinen Einfluss, d.h. der bleibt an Ort u.
> Stelle.
> Bei [mm]x^3[/mm] ern darf man diesen Fakt. aber nicth mehr
> wegmachen, weil diese Zahl den kompletten Graph ändert u.
> damit auch die Nullst.
> Ich kam mir etwas besonders schlau vor
> u. dann sowas
naja, das Wort "Öffnungsfaktor" gibt's nicht. Du meinst sicher den Faktor vor dem höchsten Exponenten?
Aber auch sonst: Eine schöne Eigenschaft, die jede Funktion $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] hat:
Für jedes $r [mm] \in \IR \setminus \{0\}$ [/mm] hat die Funktion [mm] $f_r: \IR \to \IR$ [/mm] definiert durch [mm] $f_r(x):=r*f(x)$ [/mm] ($x [mm] \in \IR$) [/mm] genau die gleichen Nullstellen wie [mm] $f\,.$ [/mm] Jetzt kann man sich auch Gedanken machen, wie das mit Extremstellen ist (wenn [mm] $x_0$ [/mm] eine lokale Maximalstelle für [mm] $f\,$ [/mm] ist, dann auch für [mm] $f_r$ [/mm] - sofern $r [mm] \ge [/mm] 0$ (wobei ich auch $r > [mm] 0\,$ [/mm] schreiben könnte, weil wir [mm] $r=0\,$ [/mm] ja gar nicht zulassen) - und [mm] $x_0$ [/mm] ist dann eine lokale Minimalstelle für [mm] $f_r$, [/mm] wenn $r < [mm] 0\,$...)
[/mm]
Und interessant wird's auch, was die Funktion [mm] $f_s(x):=f(s*x)\,$ [/mm] ($x [mm] \in \IR$) [/mm] für $s [mm] \not=0$ [/mm] für Eigenschaften hätte, die man in Bezug zu [mm] $f\,$ [/mm] erhalten/bringen könnte.
In der Schule macht man das wenigstens ganz gerne bei den "Sinus-Funktionen" mal ein wenig genauer...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:00 Sa 09.06.2012 | | Autor: | Giraffe |
zu Marcels bedeutenden Hinweis
f(x) : (x-1) = g(x)
Dann nochmal nach den Nullst. von g(x) zu gucken.
Das musste ich mir erstmal erschließen mit
f(x)=g(x)*(x-1)
Wenn f(x)=0
dann muss entweder (x-1) null sein oder g(x)
Ah, u. insofern muss man g(x)=0 setzen u. mit der Mitternachtsformel oder der quadrat. Ergänzg. an die Nullst. zu kommen.
Okey, super DANKE erstmal dazu!!!
Mal gucken was bei
$ [mm] 0=0,5x^3-2x^2-0,5x+2 [/mm] $ rauskommt, wenn man mal 2 macht
$ [mm] 0=x^3-4x^2-x+4 [/mm] $
Die Teiler von 4 sind 1,2,3,4 u. auch alle neg. Zahlen.
Mein Gott, was für eine Aktion, jetzt wieder 8x Polyn.Div. zu machen.
Ganz ehrlich, das ist mir zu doof.
Da ich sowieso alles nochmal komplett überarbeitet habe u. es mit den Nullst. GANZ anders gemacht habe (man braucht gar keine Polyn.Div.!, ich glaube das hat auch Marcel angeregt)
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
zum Def.bereich
müssen, glaube ich, die beiden D´s in der Mitte auch noch den Dopp.strich bekommen oder?
Nullst.
etwas chaotisch, aber ich glaube, dass können wir jetzt erstmal so dabei belassen.
Sym.
Kann ich das so schreiben oder muss ich eine der beiden Prüfg. durchführen?
Und
$ [mm] \forall\,x\,\in\, ]-\infty;0[\,\,|\,x_1
Auf den ersten Blick ist es erstmal komplett Bhf. für mich.
Was bedeutet das A, das auf dem Kopf steht? Das Zeichen für Symmetrie?
dann weiter:
x ist Element in dem Intervall für das gilt [mm] x_1
Was sind das denn für x-Werte [mm] (x_1
Unter [mm] x_1
Ich möchte gern
$ [mm] \forall\,x\,\in\, ]-\infty;0[\,\,|\,x_1
verstehen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Karl schrieb: Wie das alles formal korrekt aussehen sollte, schreibe ich Dir am Wochenende.
Ich habe da zwar jetzt vorgegriffen, aber vielleicht ist jetzt nicht mehr soviel zu korrigieren.
Darf man schreiben wenn [mm] x_{E1}=2,7863
[/mm]
[mm] f(E_1)= [/mm] bla bla? oder muss da die Zahl rein?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Von Karl möchte ich gern wissen, ob die Zeichnung immer zum Schluss kommt (macht ja Sinn, wenn man alle Punkte zus. hat) oder am Anfang, dann kann man sie auch für div. Berechnungen nutzen. In der Aufg.stellg. wird zeichnen 2x genannt, gleich zu Beginn u. ganz zum Schluss.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 4 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 5 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:04 So 10.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sabine,
> zu Marcels bedeutenden Hinweis
> f(x) : (x-1) = g(x)
> Dann nochmal nach den Nullst. von g(x) zu gucken.
> Das musste ich mir erstmal erschließen mit
> f(x)=g(x)*(x-1)
> Wenn f(x)=0
> dann muss entweder (x-1) null sein oder g(x)
> Ah, u. insofern muss man g(x)=0 setzen u. mit der
> Mitternachtsformel oder der quadrat. Ergänzg. an die
> Nullst. zu kommen.
> Okey, super DANKE erstmal dazu!!!
>
> Mal gucken was bei
> [mm]0=0,5x^3-2x^2-0,5x+2[/mm] rauskommt, wenn man mal 2 macht
> [mm]0=x^3-4x^2-x+4[/mm]
> Die Teiler von 4 sind 1,2,3,4 u. auch alle neg. Zahlen.
> Mein Gott, was für eine Aktion, jetzt wieder 8x
> Polyn.Div. zu machen.
> Ganz ehrlich, das ist mir zu doof.
Du machst es Dir doch hier schon zu kompliziert. Also nochmal: Du kannst natürlich erstmal hergehen, und sagen, dass [mm] $f(x)=0\,$ [/mm] äquivalent ist zu
[mm] $$x^3-4x^2-x+4=0\,.$$
[/mm]
Jetzt machst Du meinetwegen diesen "Teilertest". Und dann siehst Du, dass [mm] $1\,$ [/mm] erfüllt
[mm] $$1^3-4*1^2-1+4=1-4-1+4=(1-1)+(-4+4)=0+0=0\,.$$
[/mm]
(Übertrieben ausführlich vorgerechnet.)
Wie kommst Du nun darauf, dass Du ständig nun Polynomdivision betreiben musst? Du kannst nun, anstatt [mm] $f(x):(x-1)\,$ [/mm] auszurechnen, natürlich auch gemäß Deinen Umformungen [mm] $2*f(x):(x-1)\,$ [/mm] (das ist Dir nun klar, oder?) per Polynomdivison berechnen. Wenn Du das tust, errechnest Du:
[mm] $$(x^3-4x^2-x+4):(x-1)=x^2-3x-4\,.$$
[/mm]
Also gilt $f(x)=0 [mm] \gdw [/mm] 2f(x)=0 [mm] \gdw x^3-4x^2-x+4=0 \gdw (x-1)*(x^2-3x-4)=0\,.$
[/mm]
Soweit okay?
Und nun wendest Du (etwa) die pq-Formel auf [mm] $x^2-3x-4=0$ [/mm] an, und siehst, dass [mm] $x_{N_2,N_3}=\frac{3}{2}\pm \sqrt{\frac{9}{4}+4}=\frac{3}{2} \pm \frac{5}{2}\,,$ [/mm] also [mm] $x_{N_2}=8/2=4$ [/mm] und [mm] $x_{N_3}=-2/2=-1$ [/mm] die anderen Nullstellen von [mm] $f\,$ [/mm] sind.
Irgendwie weiß ich nicht, warum Du Dich mit der Polynomdivision so schwer tust - aber vor allem nicht, warum Du sie laufend anwenden willst?
Ich meine, wenn man Lust hat, kann man auch bei [mm] $x^2-3x-4=0\,$ [/mm] die Nullstelle [mm] $x=-1\,$ [/mm] korrekt raten und dann mittels Polynomdivision rechnen
[mm] $$\left(\;\;(x^2-3x-4):(x-(-1))=\;\;\right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(x^2-3x-4):(x+1)=x-4\,,$$
[/mm]
aber selbst dann wende ich auch nur noch einmal "unnötigerweise" Polynomdivision an. (Zumal man bei quadratischen Gleichungen wiederum nicht ganzzahlige Nullstellen erwarten kann - dort wird jeder Lehrer auch gerne mal irgendwelche wählen...)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:03 So 10.06.2012 | | Autor: | Giraffe |
Mit Polyn.Div. kann man wunderbar sehen, ob der "geratene Teiler" auch wirkl. eine Nullst. ist. Das ist der Fall, wenn die Polyn.Div. "aufgeht". Aber das macht niemand. Wenn man vermutet, dass eine Stelle eine Nullst. ist, setzt man sie in die Ausgangs-Fkt. ein u. guckt, ob das Null ergibt.
Erst jetzt kommt die Polyn.Div. ins Spiel, mit der man die Ausgangs-Fkt. sozusagen "faktorisiert" f(x)=(x+ )*g(x)
Mit g(x) kann man nämlich nun wunderbar weitere Nullstellen berechnen,
weil g(x) ein Polynom kleineren Grades ist.
Der Sinn der Polyn.Div. ist es, nachdem man Nullst. "richtig geraten" hat, die Ausgangs.-Fkt. so zu reduzieren, dass man ein Polynom bekommt, dessen Nullst. man hoffentl. berechnen kann.
Die Polyn.Div. ist eher eine "Polynomgradreduzierg", um dann die Nullst. eines niedergradieren Polynoms zu berechnen.
Das habe ich von Marcel
DANKE Marcel!!!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:23 So 10.06.2012 | | Autor: | Giraffe |
Aufg. 1
b) Die Tangente an die mittlere Nullst. der Fkt bildet mit den Koordinatenachsen ein rechtwinkliges Dreieck. Welchen Flächeninhalt hat dieses und wie lang ist seine Hypotenuse?
Die Tangente hat die gleich Steig. wie der Graph bei der Nullst. x=1
[mm] f´(x)=3/2x^2-4x-0,5
[/mm]
[mm] f´(1)=3/2*1^2-4*1-0,5= [/mm] -3
Die Steig. der Tangente ist -3
Die Fkt. der Tangente lautet t(x)= - 3x+b
Wo schneidet t(x) die y-Achse?
d.h. b=?
(1/0) ist Nullst.
(1/0) ist auch Pkt. von t(x),
deswegen (1/0) einsetzten in t(x)
0=-3*1+b
b=3
[mm] A=\bruch{x*y}{2}=\bruch{1*3}{2}=1,5
[/mm]
Antw. 1,5 Einh. zum Quadrat ist das Dreieck groß.
Hypothenuse
Pythagoras [mm] a^2+b^2=c^2
[/mm]
9 Einh.^2 + 1 Einh.^2 =10 Einh.^2 oder
9+1=10
[mm] \wurzel{10}[/mm] [mm] \approx [/mm]3,16
3,16 ist die Hypothenuse lang
BERICHTIGUNG
Hypotenuse
Pythagoras [mm] a^2+b^2=c^2
[/mm]
9 [mm] LE^2 [/mm] + 1 [mm] LE^2 [/mm] = 10 [mm] LE^2 [/mm]
[mm] \wurzel{10}[/mm] [mm]LE \approx [/mm]3,16 LE
3,16 LE ist die Hypotenuse lang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:35 Mo 11.06.2012 | | Autor: | KarlMarx |
Moin Giraffe!
Rechnung und Ergebnisse zur Tangente sind richtig.
Zwei kleine Anmerkungen:
1. Wenn in der Aufgabenstellung nicht gegeben ist, wieviel Längeneinheiten eine Einheit im Koordinatensystem entsprechen, schreibt man LE für Längeneinheit. Analog schreibt man FE für Flächen- und VE für Volumeneinheit. Die Schreibweise "1,5 Einh. zum Quadrat" ist nicht nur ungewöhnlich, sie ist auch nicht hinreichend, weil Du ja nicht festlegst, welche Art Einheit da quadriert werden soll. Es könnte ja "Newton" oder Meter pro Sekunde sein.
2. Die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse - ohne h hinterm t.
Gruß - Marx.
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Zur Symmetrie
Soweit alles richtig
Ja, jeder Graph eines Polynoms kann (von den Standardsymmetrien) nur entweder Punkt- oder Achsensymmetrie haben. Bei Polynomen (diese Funktion ist ein Polynom dritten Grades) gilt, daß, wenn nur ungerade Exponenten vorkommen, der Graph punktsymmetrisch ist. Kommen hingegen nur gerade Exponenten vor, ist er achsensymmetrisch. Enthält der Funktionsterm sowohl ungerade als auch gerade Exponenten, liegt keine Symmetrie vor.
Zur Monotonie
Deine Ausführungen sind soweit richtig. Meist schreibt man zur Monotonie in der Tat ein oder zwei kurze Sätze aber unter Verwendung der Monotonie-Kriterien geht es natürlich auch formal-mathematisch. Für die stenge Monotonie von minus Unendlich bis (ausschließlich) Null z.B.:
[mm] $\forall\,x\,\in\, ]-\infty;0[\,\,|\,x_1
Zu den Extrempunkten
Deine Extremstellen sind nicht korrekt. Wenn Du den Graphen etwas genauer zeichnest, siehst Du, daß die eine Extremstelle bei [mm] $x_{E1}\approx [/mm] 2,79$ liegt. Oder noch einfacher: Setze doch mal $x=3$ in die erste Ableitung ein - da kommt nicht Null heraus. Für [mm] $x_{E2}$ [/mm] analog.
Die Entscheidung für Hoch- und Tiefpunkt ist prinzipiell richtig. Wie das alles formal korrekt aussehen sollte, schreibe ich Dir am Wochenende.
Zum Wendepunkt
Nicht nur vermutlich sondern ganz sicher ist das notwendige Kriterium für Wendestellen $f''(x) = 0$.
Aber wieso setzt Du dann die erste Ableitung gleich Null? Daran liegt es auch, daß Du zwei "Lösungen" erhältst.
Deine nachfolgenden Umformungen sind allerdings auch nicht ganz richtig. Teilweise wohl auch Schreibfehler.
Gruß und bis die Tage - Kalle.
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