epsilondelta stetigkeit von e < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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da dies eine hausaufgabe ist, bitte keine loesungen, sondern nur tips, wie ich es nun angehen kann ...
aufgabe :
Zeigen sie [mm] \epsilon \delta [/mm] stetigkeit von der exponentialfunktion...
koennt ihr mir dazu ein paar tips geben ?!??!
es muss zu jedem [mm] \epsilon [/mm] ein [mm] \delta [/mm] gefunden werden, so dass [mm] |x1-x2|<\delta [/mm] und [mm] |f(x1)-f(x2)|<\epsilon [/mm] ..
ich finde es schon schwer genug bei [mm] x^2 [/mm] dieses delta zu bestimmen, aber bei der e funktion fehlt mir noch mehr der ansatz, brauche ich die reihendarstellung ?!?!?
danke
p.s.: isch 'abe diese fraje nirjenswo anders jestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:35 Mo 18.04.2005 | | Autor: | moudi |
> da dies eine hausaufgabe ist, bitte keine loesungen,
> sondern nur tips, wie ich es nun angehen kann ...
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> aufgabe :
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> Zeigen sie [mm]\epsilon \delta[/mm] stetigkeit von der
> exponentialfunktion...
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> koennt ihr mir dazu ein paar tips geben ?!??!
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> es muss zu jedem [mm]\epsilon[/mm] ein [mm]\delta[/mm] gefunden werden, so
> dass [mm]|x1-x2|<\delta[/mm] und [mm]|f(x1)-f(x2)|<\epsilon[/mm] ..
Das [mm] $\delta$ [/mm] darf auch noch von [mm] $x_1$ [/mm] abhängen, sonst würdest du ja die gleichmässige Stetigkeit der Exponentialfunktion auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] zeigen, was sie nicht ist!
Für jedes [mm] $x_1\in \IR$ [/mm] und jedes [mm] $\epsilon>0$ [/mm] gibt es ein [mm] $\delta>0$, [/mm] so dass für alle [mm] $x_2$ [/mm] mit [mm] $|x_1-x_2|<\delta$ [/mm] gilt: [mm] $|e^{x_1}-e^{x_2}|<\epsilon$.
[/mm]
Das [mm] $\delta$ [/mm] muss ja nicht grösstmöglich sein, man muss nur sicher sein, wenn [mm] $|x_1-x_2|$, [/mm] dass dann auch [mm] $|e^{x_1}-e^{x_2}|<\epsilon$ [/mm] ist.
Aber eine gute Idee, habe ich gerade auch nicht.
Vielleicht: Wie zeigt man die Stetigkeit von z.B. [mm] $3^x$, [/mm] dann kann man das auf [mm] $e^x$ [/mm] übertragen, da ja [mm] $3^x$ [/mm] schneller wächst als [mm] $e^x$, [/mm] so hat man die Zahl e aus dem Spiel.
Aber vielleicht bringt das nicht viel.
mfG Moudi
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> ich finde es schon schwer genug bei [mm]x^2[/mm] dieses delta zu
> bestimmen, aber bei der e funktion fehlt mir noch mehr der
> ansatz, brauche ich die reihendarstellung ?!?!?
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> danke
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> p.s.: isch 'abe diese fraje nirjenswo anders jestellt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:09 Mo 18.04.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Wenn ihr die Exponentialreihe (und deren Konvergenz auf ganz [mm] $\IR$) [/mm] zur Verfügung habt, kannst du damit sehr leicht die Stetigkeit in $x=0$ zeigen.
[mm] $\left\vert \sum\limits_{n=0}^{\infty}x^n - 1 \right\vert [/mm] = [mm] \left\vert \sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n!} \right\vert [/mm] = |x| [mm] \cdot \left\vert \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{n!} \right\vert \le [/mm] |x| [mm] \cdot \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{|x|^{n-1}}{n!} \le [/mm] |x| [mm] \cdot \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} [/mm] = |x| [mm] \cdot [/mm] (e-1)$
für $|x| [mm] \le [/mm] 1$.
Anschließend zeigst du dann die Stetigkeit an einer beliebigen Stelle $x [mm] \in \IR$ [/mm] mit Hilfe der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion.
Viele Grüße
Julius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:27 Mo 18.04.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo!
Die Aufgabe kommt mir gerade sehr bekannt vor ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]") , erst vor kurzem habe ich mal Bastiane einen Tipp dazu gegeben, wie man an die Aufgabe rangehen könnte. Man muss sich dann zwar noch Gedanken zu einem Teil des Lösungsvorschlages machen (und bisher habe ich das auch noch nicht gemacht), aber trotzdem schreibe ich dir mal den Tipp, den ich damals gegeben habe, auch auf; vielleicht hat ja jemand (bzw. vielleicht hast du ja) Lust, sich das ganze auf diesem Wege weiter zu überlegen (ich nehme an, du meinst die reelle Exp.-Fkt. [mm] $\exp: \;\IR \to \IR_{>0}$):
[/mm]
(Bemerkung: Was man noch zu zeigen hat, ist, dass für bel., aber festes $a [mm] \in \IR [/mm] $, [mm] $\delta [/mm] > 0$ gilt:
$ [mm] (\star) [/mm] $ Für alle $ x [mm] \in \IR [/mm] $ mit $ [mm] |x-a|<\delta [/mm] $ gilt:
$ [mm] |\exp(x)-\exp(a)|\le \exp(a+\delta)-\exp(a) [/mm] $. Vermutlich geht das z.B. mit der Konvexität der Exp.-Fkt. (Ui, das streiche ich mal lieber, denn jede konvexe Funktion ist ja eh stetig, sofern ich mich gerade richtig erinnert habe bzw. das richtig nachgeschlagen habe;) Aber die Aussage ist auch "sofort ersichtlich" aus dem Graphen der Exp-Fkt. (aber das ist ja leider kein Beweis! )).
Ist nun $ [mm] \varepsilon [/mm] > 0 $ gegeben, so gilt dann für $ [mm] \delta:=\frac{\ln\left(\frac{\varepsilon}{\exp(a)}+1\right)}{2}\;\;(>0) [/mm] $:
Es gilt für alle x mit $ [mm] |x-a|<\delta [/mm] $:
$ [mm] |\exp(x)-\exp(a)| \stackrel{siehe\;(\star)}{\le} \exp(a+\delta)-\exp(a)\stackrel{\exp\;streng\;monoton\;wachsend}{<}\exp(a+2\delta)-\exp(a) =\exp(a)(\exp(2\delta)-1)=\exp(a)\left(\frac{\varepsilon}{\exp(a)}+1-1\right)=\varepsilon [/mm] $
Liebe Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:41 Mo 18.04.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal!
Also, auch, wenn das ganze jetzt evtl. für dich wie eine Komplettlösung aussieht: Es ist keine!
Du mußt nämlich zunächst einmal die Bemerkung beweisen, und zwar formal und ausführlich. Dazu habe ich dir einen Hinweis gegeben, der evtl. zum Ziel führt (sofern du schonmal den Begriff einer konvexen Funktion gehört hast und weißt oder beweisen kannst, dass die reelle Exp.-Fkt. konvex ist...).
(Das streiche ich hier auch einmal. An der Stelle besteht also sozusagen noch Handlungsbedarf, wie man die Bemerkung beweisen kann. Die Konvexität von [mm] $\exp$ [/mm] nachzurechnen wäre witzlos, denn wenn wir das wüßten, wüßten wir sowieso, dass [mm] $\exp$ [/mm] stetig ist, da dies aus der Konvexität folgen würde. Naja, war ja auch nur alles intuitiv ![[lol]](/images/smileys/lol.gif "[lol]") !)
Dann solltest du dir klarmachen, was die eigentliche Aussage der Bemerkung ist, und danach kannst du dir dann auch noch einmal überlegen, warum ich damit das [mm] $\delta$ [/mm] so definiert habe und warum für dieses [mm] $\delta$ [/mm] gilt, dass [mm] $\delta [/mm] >0$ ist. Also: Da gibt's noch einiges zu tun, und ich hatte bisher nicht die Zeit, mir das ganze selbst weiter zu überlegen. Aber vielleicht will sich ja mal jemand damit beschäftigen, ich denke jedenfalls, dass mein Ansatz schon in die richtige Richtung geht; nur habe ich es noch nicht zu Ende gedacht, aber vielleicht findet's ja jemand anderes ganz interessant und denkt mal weiter  !
Viele Grüße,
Marcel
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Hallo!
Ich glaube, es geht auch einfacher: Es gilt
[mm] $|e^{x_0}-e^y|=|e^{y-{x_0}}-1|*e^{x_0}$.
[/mm]
Jetzt musst du nur noch [mm] $y-x_0$ [/mm] nahe an Null bringen.
Versuch's mal über den Logarithmus...
Gruß, banachella
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