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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:06 Mi 08.02.2006 | | Autor: | Trivalik |
Eine folge konvergiert wenn [mm]|a_{n}-a| < \varepsilon[/mm] ?
Doch wie kann ich damit was anfangen?
z.B. für[mm] a_{n} = \bruch{1}{n}[/mm]
wäre das [mm]| \bruch{1}{n} - 0| < \varepsilon[/mm]
das wäre [mm]\bruch{1}{n} < \varepsilon[/mm]
das wäre [mm]\bruch{1}{\varepsilon} < n[/mm]
woran erkenne ich das das nun richtig ist?
wäre das [mm]| \bruch{1}{n} -5| < \varepsilon[/mm]
das wäre [mm]|\bruch{1-5n}{n}| < \varepsilon[/mm]
wie gehts nun weiter? Bruchstriche kann ich ja net einfach wegnehmen? woran erkenne ich das 5 kein Grenzwert ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:33 Mi 08.02.2006 | | Autor: | Janyary |
du hast ja umgestellt nach [mm] \bruch{1}{\varepsilon}
die definition besagt ja, fuer alle [mm] \varepsilon>0 [/mm] existiert ein n0, so dass gilt:
[mm] |a_{n}-a|<\varepsilon, [/mm] n>=n0
da deine ungleichung fuer jedes [mm] \varepsilon>0 [/mm] erfuellt ist, ist Null auch der Grenzwert deiner folge [mm] a_{n}
[/mm]
beim 2. teil bin ich mir nicht ganz sicher, aber du kannst ja deine gleichung umstellen nach:
[mm] n<\bruch{1}{-\varepsilon+5} [/mm]
somit waere ja dein n0 groesser n, das ist aber ein widerspruch zur vorraussetzung. damit ist 5 kein grenzwert.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:48 Mi 08.02.2006 | | Autor: | Trivalik |
Wie kommst du auf $ [mm] n<\bruch{1}{-\varepsilon+5} [/mm] $ ?
bzw. wie die betragsstriche weg? Wie mach ich das mit dem Minus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:07 Mi 08.02.2006 | | Autor: | Janyary |
also,
[mm] |\bruch{1}{n}-5|=-1(\bruch{1}{n}-5)<\varepsilon
[/mm]
dann multiplizierst du mit -1 und das ungleichheitszeichen dreht sich dabei um.
jetzt einfach nach [mm] \bruch{1}{n} [/mm] umstellen und das reziproke bilden, ungleichheitszeichen dreht sich wieder um.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:05 Mi 08.02.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Trivalik
Du bist eigetlich lan genug im Forum, um unsere paar Höflichkeitsregeln ui kennen! Man wirft hier nicht einfach ohne alles mal ne Frage vor die ...!
Aber trotzdem:
> Eine folge konvergiert wenn [mm]|a_{n}-a| < \varepsilon[/mm] ?
>
> Doch wie kann ich damit was anfangen?
Damit kannst du nix anfangen, weil es nicht die richtige Definition ist!
Die Def. heisst: Wenn es zu JEDEM [mm] \varepsilon>0 [/mm] ein N gibt, so dass für alle n>N gilt: [mm]|a_{n}-a| < \varepsilon[/mm]
> z.B. für[mm] a_{n} = \bruch{1}{n}[/mm]
>
> wäre das [mm]| \bruch{1}{n} - 0| < \varepsilon[/mm]
> das wäre
> [mm]\bruch{1}{n} < \varepsilon[/mm]
> das wäre [mm]\bruch{1}{\varepsilon} < n[/mm]
>
> woran erkenne ich das das nun richtig ist?
Weil du ein N angeben kannst, nämlich [mm] N=1/\varepsilon! [/mm]
> wäre das [mm]| \bruch{1}{n} -5| < \varepsilon[/mm]
> das wäre
> [mm]|\bruch{1-5n}{n}| < \varepsilon[/mm]
>
> wie gehts nun weiter? Bruchstriche kann ich ja net einfach
> wegnehmen? woran erkenne ich das 5 kein Grenzwert ist?
Einfach weil du kein N finden kannst, so dass ...siehe oben!
Dass DU keines finden kannst, heisst natürlich nicht, dass 5 nicht der GW ist, sondern nur, dass du das nicht zeigen kannst.
Wenn ich aber ein [mm] \varepsilon [/mm] angebe, zu dem es sicher kein N gibt, dann weiss ich, dass 5 nicht der GW ist.
Mein [mm] \varepsilon [/mm] ist 1,5, und es gilt für alle n 1/n [mm] \le [/mm] 1 und damit |1/n-5| [mm] \ge [/mm] 4>1,5 !
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 Mi 08.02.2006 | | Autor: | Trivalik |
Habe ne Frage mit ansätzen, wuste nicht das ich noch mehr brauche.
|1/n-5| >= 4>1,5
Das ist mir unklar? woher weist du das |1/n-5| >= 4 ist?
Wie hast du die Betragsstriche wegbekommen? bzw. ne formel für N bzw. n
Wäre aber wenn der Grenzwert 0 eingesetzt wird wäre doch n=N ?
Ist ja die gleiche Formel!
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Hallo!
Man kann die Dreiecksungleichung umschreiben in [mm] $|x-y|\ge \big||x|-|y|\big|$.
[/mm]
Setzt man nun [mm] $x=\bruch [/mm] 1n$ und $y=5$, und beachtet, dass [mm] $\bruch 1n\le [/mm] 1$, steht die Abschätzung im Prinzip da.
Kommst du jetzt damit zurecht?
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:52 Mi 08.02.2006 | | Autor: | Trivalik |
Ich bin erlich, ich versteh nur Bahnhof. Wie kommt man nun auf das N? Was hat das mit der Dreiecks Ungleichung zu tun?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:16 Mi 08.02.2006 | | Autor: | leduart |
|1/n-5|=|5-1/n|=5-1/n weil 1/n<5 5-1/n<4 weil 1/n<1
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