epsilon-delta-Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Zusammen,
Ich versuche mir gerade die Definition zur [mm]\epsilon\texttt{-}\delta\texttt{-Stetigkeit}[/mm] an einigen Beispielen zu verdeutlichen.
Zuerst soll gezeigt werden, daß [mm]f(x):=\tfrac{1}{x}[/mm] für beliebige [mm]x_0\ne 0[/mm] mit [mm]x\ne 0[/mm] stetig ist.
Stimmen folgende Überlegungen?
Sei [mm]\epsilon > 0[/mm] beliebig. Wir betrachten ein [mm]\delta(\epsilon)[/mm], so daß [mm]\left|x-x_0\right|<\delta[/mm] ist. Dann gilt:
[mm]\left|x-x_0\right|<\delta \Rightarrow \frac{\left|x-x_0\right|}{\left|xx_0\right|}<\frac{\delta}{\left|xx_0\right|}.[/mm]
Wegen [mm]\tfrac{\left|x_0-x\right|}{\left|xx_0\right|}=\left|\tfrac{1}{x}-\tfrac{1}{x_0}\right|<\epsilon[/mm] folgt also aus [mm]\left|x-x_0\right|<\delta[/mm] :
[mm]\left|f(x)-f\left(x_0\right)\right|<\epsilon.[/mm]
Stimmt das so? Irgendwie glaube ich, daß meine Überlegungen am Schluß falsch sind, da ja [mm]\delta[/mm] von [mm]\epsilon[/mm] abhängen soll. Und selbst wenn der Beweis doch richtig sein sollte, wie würde man denn z.B. bei der konstanten Funktion [mm]f(x):=c\![/mm] vorgehen? Man kann ja schlecht aus [mm]\left|x-x_0\right| < \delta[/mm] auf [mm]\left|f(x)-f\left(x_0\right)\right|=\left|c-c\right|=0<\epsilon[/mm] schließen. Wie sollte das [mm]\delta[/mm] hier aussehen oder die Umformungen dazu?
Wie führt man normalerweise Beweise mit dieser Definition der Stetigkeit?
Vielen Dank für die Hilfe!
Grüße
Karl
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:47 Do 10.07.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Karl,
> Hallo Zusammen,
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> Ich versuche mir gerade die Definition zur
> [mm]\epsilon\texttt{-}\delta\texttt{-Stetigkeit}[/mm] an einigen
> Beispielen zu verdeutlichen.
> Zuerst soll gezeigt werden, daß [mm]f(x):=\tfrac{1}{x}[/mm] für
> beliebige [mm]x_0\ne 0[/mm] mit [mm]x\ne 0[/mm] stetig ist.
>
> Stimmen folgende Überlegungen?
>
> Sei [mm]\epsilon > 0[/mm] beliebig. Wir betrachten ein
> [mm]\delta(\epsilon)[/mm], so daß [mm]\left|x-x_0\right|<\delta[/mm] ist.
das macht logisch keinen Sinn. Du mußt ja die Existenz eines [mm] $\delta=\delta(\epsilon,x_0) [/mm] > 0$ zeigen, so dass aus [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] stets schon [mm] $\left|\frac{1}{x}-\frac{1}{x_0}\right| [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] folgt.
Außerdem würde ich Dir vorschlagen, dass wir bei obiger Funktion [mm] $f(x)=\frac{1}{x}$ [/mm] wegen $f(-x)=-f(x)$ (für alle $x [mm] \not=0$) [/mm] uns darauf beschränken, die Stetigkeit in [mm] $x_0 [/mm] > 0$ zu beweisen. Sei also [mm] $x_0 [/mm] > 0$ fest.
Du kannst nun folgendes machen:
Zunächst sei [mm] $\delta [/mm] > 0$ mal beliebig. Für alle $x > 0$ mit [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] gilt dann jedenfalls sicherlich:
[mm] $$(\star)\;\;\;\left|\frac{1}{x}-\frac{1}{x_0}\right|=\frac{|x-x_0|}{|x*x_0|} [/mm] < [mm] \frac{\delta}{x*x_0}$$
[/mm]
Jetzt ist die Frage, wie man in [mm] $(\star)$ [/mm] das [mm] $\delta$ [/mm] so definieren kann, dass [mm] $(\star)$ [/mm] schon impliziert, dass dort schon die linke Seite $< [mm] \epsilon$ [/mm] ist, wenn nur [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta$. [/mm] Dieses [mm] $\delta$ [/mm] darf dabei in Abhängigkeit von [mm] $x_0$ [/mm] und [mm] $\epsilon$ [/mm] definiert sein (aber z.B. macht es keinen Sinn, dass [mm] $\delta$ [/mm] in Abhängikeit auch von $x$ zu definieren, da das $x$ bei [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] ja variiert).
Ich schlage Dir folgendes vor:
Setze [mm] $\delta:=\min\left\{\frac{x_0}{2},\;\epsilon *\frac{x_0^2}{2}\right\}$
[/mm]
(Dass dort sowas wie [mm] $\frac{x_0}{2}$ [/mm] auftaucht, hat zwei Gründe: Zum einen erfüllen dann alle $x$ mit [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] insbesondere $x > [mm] \frac{x_0}{2}$ [/mm] und damit auch $x > 0$ (diese Voraussetzung brauchen wir ja in [mm] $(\star)$), [/mm] zum anderen folgt dadurch auch [mm] $\frac{\delta}{|x|*x_0} [/mm] < [mm] \frac{2\delta}{x_0^2}$. [/mm]
Nur als Hinweis:
Man könnte übrigens genausogut z.B.
[mm] $\delta:=\min\left\{\frac{x_0}{5},\;\epsilon *\frac{4}{5}x_0^2\right\}$ [/mm] wählen...)
Dieses [mm] $\delta$ [/mm] ist dann gewiss $ > 0$. (Warum? Beachte dabei auch, dass wir o.E. [mm] $x_0 [/mm] > 0$ angenommen haben.)
Wovon hängt das [mm] $\delta$ [/mm] denn nun alles ab?
Warum liefert dieses [mm] $\delta$ [/mm] nun
$$
[mm] \left|\frac{1}{x}-\frac{1}{x_0}\right| [/mm] < [mm] \epsilon
[/mm]
$$
wenn nur [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] ist?
> Stimmt das so? Irgendwie glaube ich, daß meine Überlegungen
> am Schluß falsch sind, da ja [mm]\delta[/mm] von [mm]\epsilon[/mm]
> abhängen soll.
Ähm, das darf/sollte man so nicht sagen. Bei der Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt [mm] $x_0$ [/mm] darf (und wird i.a. auch) ein zu [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ gehöriges [mm] $\delta [/mm] > 0$ von [mm] $\epsilon$ [/mm] und [mm] $x_0$ [/mm] abhängen. Es gibt durchaus Fälle, wo man ein [mm] $\delta$ [/mm] sogar nur abhängig von [mm] $\epsilon$ [/mm] findet (und unabhängig von [mm] $x_0$), [/mm] nämlich bei den gleichmäßig stetigen Funktionen, und es gibt durchaus auch Fälle, wo man das [mm] $\delta$ [/mm] sogar unabhängig von [mm] $\epsilon$ [/mm] und unabhängig von [mm] $x_0$ [/mm] angeben kann, sowas sehen wir später unten.
Bei der Funktion [mm] $f(x)=\frac{1}{x}$ [/mm] (auf [mm] $(0,\infty)$) [/mm] ist aber alleine schon durch angucken des Graphen zu erwarten, dass wir zu [mm] $\epsilon$ [/mm] und [mm] $x_0$ [/mm] gehörige [mm] $\delta$ [/mm] stets auch nur in Abhängigkeit sowohl von [mm] $\epsilon$ [/mm] als auch von [mm] $x_0$ [/mm] finden werden, d.h. dass diese "Abhängigkeit nicht verbesserbar" ist.
Die Funktion ist nämlich stetig, aber nicht gleichmäßig stetig (letzteres kann man auch leicht zeigen, man muss sich nur überlegen, dass wir für irgendein [mm] $\delta [/mm] > 0$ nur [mm] $x_0$ [/mm] genügend nahe an $0$ wählen müssen), und der Graph der Funktion läßt auch eben dies vermuten. Zudem erkennst Du in der obigen Definition meiner Wahl eines [mm] $\delta$'s [/mm] durchaus auch sofort die Abhängigkeit von [mm] $x_0$ [/mm] und [mm] $\epsilon$, [/mm] allerdings heißt das alleine ja nicht, dass wir das [mm] $\delta$ [/mm] in einem gewissen Sinne "optimal" gewählt haben. Es ist aber nicht verbesserbar in dem Sinne, dass man das [mm] $\delta$ [/mm] "nur" abhängig von [mm] $\epsilon$ [/mm] bekäme...
> Und selbst wenn der Beweis doch richtig sein sollte,
> wie würde man denn z.B. bei der konstanten Funktion
> [mm]f(x):=c\![/mm] vorgehen? Man kann ja schlecht aus
> [mm]\left|x-x_0\right| < \delta[/mm] auf
> [mm]\left|f(x)-f\left(x_0\right)\right|=\left|c-c\right|=0<\epsilon[/mm]
> schließen. Wie sollte das [mm]\delta[/mm] hier aussehen oder die
> Umformungen dazu?
Na, das ist doch eine Trivialität. Sei $f(x)=c$ für alle $x$ mit einer Konstanten $c$.
Wir zeigen die Stetigkeit von $f(x)=c$ in einem jeden Punkt mit drei möglichen Wegen:
Dazu seien nun [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ und [mm] $x_0$ [/mm] gegeben.
Erst mal der hier wohl umständlichste Weg:
(I) Wir definieren [mm] $\delta:=\max\{\epsilon, |x_0|\} [/mm] > 0$. Dann gilt für alle $x$ mit [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta$:
[/mm]
$$
[mm] |f(x)-f(x_0)|=|c-c|=0 [/mm] < [mm] \epsilon
[/mm]
$$
Alternativ der "leicht umständliche Weg":
(II) Setze [mm] $\delta:=\epsilon [/mm] > 0$. Auch damit gilt für alle $x$ mit [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta$:
[/mm]
$$
[mm] |f(x)-f(x_0)|=|c-c|=0 [/mm] < [mm] \epsilon
[/mm]
$$
Das würde insbesondere auch die glm. Stetigkeit von $f(x)=c$ zeigen.
(III) Und die banalste Möglichkeit in diesem einfachen Fall:
Setze [mm] $\delta:=1 [/mm] > 0$. Auch hier gilt für alle $x$ mit [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta$:
[/mm]
$$
[mm] |f(x)-f(x_0)|=|c-c|=0 [/mm] < [mm] \epsilon
[/mm]
$$
Hier siehst Du insbesondere:
In diesem "trivialen" Fall kann das [mm] $\delta$ [/mm] unabhängig von [mm] $x_0$ [/mm] gewählt werden, ja, es hängt sogar nicht mal von [mm] $\epsilon$ [/mm] ab. Weil man zu [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $\delta [/mm] > 0$, welches nicht von [mm] $x_0$ [/mm] abhängt, findet, zeigt dies auch wieder insbesondere die glm. Stetigkeit von $f(x)=c$.
Und nun eine Frage zum Verständnis für Dich:
Betrachte mal $f(x)=x$ ($x [mm] \in \IR$). [/mm] Ich behaupte:
Die Funktion ist stetig, denn man setze zu [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ einfach [mm] $\delta=\epsilon$. [/mm] Ist die Funktion $f(x)=x$ damit auch glm. stetig, oder doch "nur" stetig (in einem jedem Punkte)?
Und eine weitere Frage:
Betrachte mal die Funktion $f$, die so definiert sei:
Auf jedem Intervall [mm] $[n,\;n+1)$ [/mm] ($n [mm] \in \IZ$) [/mm] sei $f$ "eine Gerade mit Steigung $n$", und $f$ sei an den Randpunkten stetig zusammengeschweißt, wobei $f$ auf dem Intervall $[0,1)$ verschwinde
(d.h. z.B.:
- auf $[-3,-2)$ gilt:$f(x)=-3x-3$
- auf $[-2,-1)$ gilt:$f(x)=-2x-1$
- auf $[-1, 0)$ gilt: $f(x)= -x$
- auf $[0, 1)$ gilt: $f(x)=0$
- auf $[1, 2)$ gilt: $f(x)=x-1$
- auf $[2, 3)$ gilt: $f(x)=2x-3$
- auf $[3, 4)$ gilt: $f(x)=3x-6$
.
.
.)
Ist diese so definierte Funktion $f$ (überall) stetig? Ist sie auch glm. stetig? Tipp:
Zeichne Dir zunächst mal den Graphen von $f$ (meinetwegen auf dem Intervall $[-4,4]$) und überlege Dir, wie man zu gegebenem [mm] $x_0$ [/mm] und [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ ein passendes [mm] $\delta [/mm] > 0$ findet. Wann ist das einfach(er)? Warum ist das "schwerer", wenn [mm] $x_0$ [/mm] der $x$-Wert eines "Knickpunktes" des Graphen von $f$ ist?
Welche Aussage könnte man bzgl. der glm. Stetigkeit einer Funktion $g$ treffen, wenn man eine Funktion $g$ auf [-2,3] genau wie die obige Funktion $f$ definieren würde und dann periodisch fortssetzen würde?
(Insbesondere beachte, dass dabei dann $f(-2)=-2*(-2)-1=3=3*3-6=f(3)$.)
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel!
Danke für deine Antwort! Ich denke, ich habe die eps-delta-Definition der Stetigkeit mittlerweile zumindest im Kern verstanden. Ich tue zunächst so, als ob ich dieses [mm]\delta[/mm] mit der Eigenschaft [mm]\left|x-x_0\right|<\delta[/mm] (*) schon gefunden hätte. Danach muß man "nur" noch den Ausdruck [mm]\left|f(x)-f\left(x_0\right)\right|[/mm] unter Benutzung von (*) abschätzen, so daß man am Ende eine Abschätzung erhält, in deren Term kein [mm]x\![/mm] mehr vorkommt. Und dann setzt man [mm]\delta[/mm] in dem Term so, daß der Term [mm]\epsilon[/mm] ergibt. Ok, soviel erstmal zum "Kochrezept". ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]") Wäre schön, wenn du noch auf das folgende Beispiel eingehen könntest (-- also ob es so richtig gerechnet ist oder eher nicht ---); Ich habe leider nicht mehr so viel Zeit bis zur Klausur (und damit auch für andere Themen), so daß ich mir deine restliche Antwort vielleicht noch später anschaue, wenn noch Zeit übrigbleibt! ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") (Aber [mm]f(x):=x\![/mm] ist, denke ich, gleichmäßig stetig.  )
Also gut ein Beispiel ....
Z.Z.: [mm]\textstyle f(x):=\sum_{k=0}^n{a_kx^k}[/mm] mit [mm]a_k,x\in\mathbb{R}[/mm] ist stetig in [mm]x_0[/mm].
Wir schätzen ab:
[mm]\left|\sum_{k=0}^n{a_kx^k}-\sum_{k=0}^n{a_kx_0^k}\right|\le\sum_{k=0}^n{\left|a_k\right|\left|x^k-x_0^k\right|}=\sum_{k=0}^n{\left|a_k\right|\left|\left(x-x_0\right)\sum_{j=1}^k{x^{k-j}x_0^{j-1}}\right|}<\delta\sum_{k=0}^n{\left|a_k\right|\sum_{j=1}^k{\left|x\right|^{k-j}\left|x_0\right|^{j-1}}}[/mm]
Es existieren sicherlich folgendes Maxima, da [mm]\left|x_0\right|[/mm] und [mm]\left|a_k\right|[/mm] Konstanten sind:
[mm]\chi_0^{(k)} := \max_{j=1}^k\left\{\left|x_0\right|^{j-1}\right\}[/mm].
[mm]\alpha := \max_{k=0}^n\left\{\left|a_k\right|\right\}[/mm]
Und das "Spielchen" mit den Maxima kann man sicherlich noch fortsetzen, denke ich:
[mm]\chi_0 := \max_{k=0}^n\left\{\chi_0^{(k)}\right\}[/mm]
Also:
[mm]\left|\sum_{k=0}^n{a_kx^k}-\sum_{k=0}^n{a_kx_0^k}\right|<\delta\alpha\sum_{k=0}^n{\chi_0^{(k)}\sum_{j=1}^k{\left|x\right|^{k-j}}}\le\delta\alpha\chi_0\sum_{k=0}^n{\sum_{j=1}^k{\left|x\right|^{k-j}}}=\delta\alpha\chi_0\sum_{k=0}^n{\sum_{j=0}^{k-1}{\left|x\right|^j}}=\delta\alpha\chi_0\sum_{k=0}^n{\frac{\left|x\right|^k-1}{\left|x\right|-1}}[/mm]
[mm]=\delta\alpha\chi_0\frac{1}{\left|x\right|-1}\sum_{k=0}^n{\left(\left|x\right|^k-1\right)}=\delta\alpha\chi_0\frac{1}{\left|x\right|-1}\left(\frac{\left|x\right|^{n+1}-1}{\left|x\right|-1}-n-1\right)=\delta\alpha\chi_0\frac{\left|x\right|^{n+1}-\left|x\right|n-\left|x\right|+n}{\left(\left|x\right|-1\right)^2}[/mm]
Ok, das scheint sehr kompliziert zu werden, aber vielleicht kann ich das Ganze noch retten. Ich fange mal an, wo es noch überschaubar war:
[mm]\left|\sum_{k=0}^n{a_kx^k}-\sum_{k=0}^n{a_kx_0^k}\right|<\delta\alpha\chi_0\sum_{k=0}^n{\sum_{j=0}^{k-1}{\left|x\right|^j}}[/mm]
Geht eigentlich auch folgende Fallunterscheidung? :
Fall 1 - [mm]\left|x\right| \in \left[0,1\right[[/mm]:
Dann gilt:
[mm]\max_{j=0}^{k-1}\left\{\left|x\right|^j\right\}=\left|x\right|^0=1[/mm]
Fall 2 - [mm]\left|x\right| \in \mathbb{R}_{\ge 0}\setminus\left[0,1\right[[/mm]:
Dann gilt:
[mm]\max_{j=0}^{k-1}\left\{\left|x\right|^j\right\}=\left|x\right|^{k-1}[/mm]
Dann gilt nämlich:
[mm]\left|\sum_{k=0}^n{a_kx^k}-\sum_{k=0}^n{a_kx_0^k}\right|<\delta\alpha\chi_0\sum_{k=0}^n{\sum_{j=0}^{k-1}{\left|x\right|^j}}\le\delta\alpha\chi_0\sum_{k=\textcolor{red}{1}}^n{k\max\left\{1,\left|x\right|^{k-1}\right\}}\le\delta\alpha\chi_0\sum_{k=1}^n{k\left(1+\left|x\right|^{k-1}\right)}[/mm]
[mm]= \delta\alpha\chi_0\left(\frac{n(n+1)}{2}+\sum_{k=1}^n{k\left|x\right|^{k-1}}\right)\le\delta\alpha\chi_0\left(\frac{n(n+1)}{2}+n\sum_{k=0}^{n-1}{\left|x\right|^k}\right)\le\delta\alpha\chi_0\left(\frac{n(n+1)}{2}+n\cdot{}n\left(1+\left|x\right|^{n-1}\right)\right)[/mm]
[mm]= \delta\alpha\chi_0\left(\frac{n(n+1)}{2}+n^2\left(1+\left|x-x_0+x_0\right|^{n-1}\right)\right)\le\delta\alpha\chi_0\left(\frac{n(n+1)}{2}+n^2\left(1+\left(\left|x-x_0\right|+\left|x_0\right|\right)^{n-1}\right)\right)[/mm]
[mm]< \delta\alpha\chi_0\left(\frac{n(n+1)}{2}+n^2\left(1+\left(\delta+\left|x_0\right|\right)^{n-1}\right)\right)[/mm]
Und jetzt müßte man "nur" noch (auf einem Schmierblatt) die Gleichung
[mm]\delta\alpha\chi_0\left(\frac{n(n+1)}{2}+n^2\left(1+\left(\delta+\left|x_0\right|\right)^{n-1}\right)\right)=\epsilon[/mm]
nach [mm]\delta[/mm] auflösen und erhält somit [mm]\forall \epsilon > 0[/mm] das zugehörige [mm]\delta > 0[/mm].
(Vorausgesetzt ich habe überhaupt richtig gerechnet; Ich hätte mein Beispiel nicht so kompliziert wählen sollen. Überhaupt scheint die eps-delta-Definition mit einem höheren Rechenaufwand verbunden zu sein und verlangt wie mir scheint meistens sehr viel "Kreativität" vom Anwender(und das sogar schon bei Funktionen wie [mm]f(x):=\tfrac{1}{x}[/mm] :-( ) )
Grüße
Karl
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Hallo!
Musst du denn unbedingt mit dem [mm] $\epsilon$-$\delta$-Kriterium [/mm] arbeiten? Dies benutzt man doch eher für abstrakte Beweise. Um harmlose Funktionen auf Stetigkeit zu überprüfen, bedient man sich doch anderen Kriterien wie
Summen, Produke usw. von stetigen Funktionen sind stetig
Z.B. weiß man, dass x stetig ist. Also ist auch [mm] $x^2=x\cdot [/mm] x$ stetig und induktiv folgt dann, dass [mm] $x^n$ [/mm] stetig ist. Außerdem sind konstante Funktionen stetig. Also ist [mm] $a_k x^k$ [/mm] stetig für jedes k. Da Summen stetiger Funktionen wieder stetig sind, ist dann auch [mm] $\sum^n_{k=1}a_k x^k$ [/mm] stetig.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:47 Mi 16.07.2008 | | Autor: | pelzig |
Das Beispiel war wirklich ziemlich kompliziert gewählt, schließe mich meinem vorredner an, beweis lieber die folgenden vier sachen:
1) die Funktion f(x)=x ist stetig (sehr leicht)
2) die konstanten Funktionen f(x)=c sind stetig (sehr leicht)
3) die Summe zweier stetiger Funktionen ist stetig (leicht)
4) das Produkt zweier stetiger Funktionen ist stetig
(das Vierte ist relativ schwierig ohne Folgenstetigkeit, falls jemand einen sehr einfachen Weg kennt würd ich den gern mal sehen...)
Wenn du das alles richtig gemacht hast, hast du Stetigkeit auf jeden Fall verstanden...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:25 Mi 16.07.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> 4) das Produkt zweier stetiger Funktionen ist stetig
>
> (das Vierte ist relativ schwierig ohne Folgenstetigkeit,
> falls jemand einen sehr einfachen Weg kennt würd ich den
> gern mal sehen...)
ich weiß auch gerade nicht, warum das schwer sein sollte. Seien $f$ und $g$ stetig in [mm] $x_0$. [/mm] Dann gibt es zu jedem [mm] $\varepsilon' [/mm] > 0$ ein [mm] $\delta_1 [/mm] > 0$ und ein [mm] $\delta_2 [/mm] > 0$ (jeweils von [mm] $x_0$ [/mm] und [mm] $\varepsilon'$ [/mm] abhängig), so dass
$$
[mm] |f(x)-f(x_0)| [/mm] < [mm] \varepsilon'
[/mm]
$$
und
$$
[mm] |g(y)-g(x_0)| [/mm] < [mm] \varepsilon'
[/mm]
$$
für alle [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta_1$ [/mm] und [mm] $|y-x_0| [/mm] < [mm] \delta_2$.
[/mm]
Es folgt:
[mm] $(\star)$ $|f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)|=$
[/mm]
[mm] $|(f(x)-f(x_0))g(x)+f(x_0)g(x)-f(x_0)g(x_0)| \le |f(x)-f(x_0)||g(x)|+|f(x_0)||g(x)-g(x_0)|$
[/mm]
Ist nun [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ vorgegeben, so kann man, wenn man sich klarmacht, dass, weil $g$ stetig in [mm] $x_0$, [/mm] damit $g$ insbesondere beschränkt auf einer genügend kleinen [mm] $\delta_0$-Umgebung [/mm] (mit [mm] $\delta_0 [/mm] > 0$) von [mm] $x_0$ [/mm] ist, [mm] $\varepsilon' [/mm] > 0$ in Abhängigkeit von [mm] $\varepsilon$ [/mm] so angeben, dass man aus [mm] $(\star)$ [/mm] dann entnimmt, dass
$$
[mm] |f(x)g(x)-f(x_0)g(x_0)| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
$$
für alle $x$ mit [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta$, [/mm] wobei [mm] $\delta:=\min\{\delta_0,\;\delta_1,\;\delta_2\}$ [/mm] (insbesondere ist [mm] $\delta [/mm] > 0$ dabei i.a. abhängig von [mm] $\varepsilon$ [/mm] und [mm] $x_0$).
[/mm]
Im Prinzip ist der ganze Beweis vollkommen analog zu dem, warum das Produkt zweier konvergenter Folgen wieder konvergiert und zwar gegen das Produkt der Grenzwerte. Dort benutzt man an einer Stelle die Beschränktheit einer konvergenten Folge, hier muss man sich klarmachen, dass eine stetige Funktion in einer genügend kleinen Umgebung eines Stetigkeitspunktes beschränkt ist (sofern der Stetigkeitspunkt kein isolierter Punkt ist, denn das macht das ganze trivial).
(Das wäre sozusagen das Lemma, das den obigen Beweis vervollständigte. Das braucht man, denn bei [mm] $(\star)$ [/mm] braucht man, um [mm] $\varepsilon'$ [/mm] in Abhängigkeit von [mm] $\varepsilon$ [/mm] zu definieren, auch eine Konstante $0 < M < [mm] \infty$ [/mm] mit $|g(z)| [mm] \le [/mm] M$ für alle $z$ mit [mm] $|z-x_0| [/mm] < [mm] \delta_0$. [/mm] Das [mm] $\varepsilon'$ [/mm] wird also sowohl von [mm] $\varepsilon$ [/mm] also auch von $M$ abhängig sein.)
Und, ohne dass ich das weiter durchdacht habe: Bei Quotienten stetiger Funktionen (sofern der Quotient der Funktionen wohldefiniert ist) ginge das vermutlich auch ähnlich. Also:
Das Rechnen mit Folgen, auch das Verständnis der Beweise dazu, kann durchaus auch, ohne dass man das Folgenkriterium direkt anwendet, hilfreich sein zum Verständnis, wenn man mit [mm] $\varepsilon-\delta$-Kriterium [/mm] an Stetigkeitsaussagen herangeht.
Und ich empfehle es durchaus auch, mal Stetigkeitsbeweise nur mit [mm] $\varepsilon-\delta$ [/mm] zu beweisen, denn dann bekommt man auch ein Gefühl dafür, wie das topologisch ausschaut und versteht damit auch eigentlich erst wirklich die "topologische Definition der Stetigkeit einer Funktion", bzw. es ist mit Sicherheit hilfreich zum Verständnis dafür.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:19 Do 17.07.2008 | | Autor: | pelzig |
> ich weiß auch gerade nicht, warum das schwer sein sollte.
Also ich finde den Beweis verhältnismäßig schwierig, für jemanden der gerade erst angefangen hat sich damit zu beschäftigen.
> Im Prinzip ist der ganze Beweis vollkommen analog zu dem,
> warum das Produkt zweier konvergenter Folgen wieder
> konvergiert und zwar gegen das Produkt der Grenzwerte.
Ja... irgendwie nett.
> Das Rechnen mit Folgen, auch das Verständnis der Beweise
> dazu, kann durchaus auch, ohne dass man das Folgenkriterium
> direkt anwendet, hilfreich sein zum Verständnis, wenn man
> mit [mm]\varepsilon-\delta[/mm]-Kriterium an Stetigkeitsaussagen
> herangeht.
Das Folgenkriterium hat in diesem Fall den Makel, dass man dabei das Auswahlaxiom verwendet, obwohl es hier (wie wir gesehen haben) nicht gebraucht wird. Ich finde es ziemlich erstaunlich, dass die Beweise trotzdem vollkommen analog zu den Folgenbeweisen laufen. Andererseits legt das natürlich die Frage nahe wozu man die Implikation [mm] "folgenstetig$\Rightarrow\varepsilon-\delta$-stetig" [/mm] überhaupt braucht, denn m.E. wird man niemals die Stetigkeit mit Folgenstetigkeit nachweisen. Meistens benutzt man das doch nur um zu zeigen, dass eine Funktion in einem Punkt nicht stetig ist, indem man halt sone "pathologische Folge" konstruiert (und dafür braucht man AC nicht)...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:12 Do 17.07.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo pelzig,
> > ich weiß auch gerade nicht, warum das schwer sein sollte.
> Also ich finde den Beweis verhältnismäßig schwierig, für
> jemanden der gerade erst angefangen hat sich damit zu
> beschäftigen.
>
> > Im Prinzip ist der ganze Beweis vollkommen analog zu dem,
> > warum das Produkt zweier konvergenter Folgen wieder
> > konvergiert und zwar gegen das Produkt der Grenzwerte.
> Ja... irgendwie nett.
>
> > Das Rechnen mit Folgen, auch das Verständnis der Beweise
> > dazu, kann durchaus auch, ohne dass man das Folgenkriterium
> > direkt anwendet, hilfreich sein zum Verständnis, wenn man
> > mit [mm]\varepsilon-\delta[/mm]-Kriterium an Stetigkeitsaussagen
> > herangeht.
> Das Folgenkriterium hat in diesem Fall den Makel, dass man
> dabei das Auswahlaxiom verwendet, obwohl es hier (wie wir
> gesehen haben) nicht gebraucht wird. Ich finde es ziemlich
> erstaunlich, dass die Beweise trotzdem vollkommen analog zu
> den Folgenbeweisen laufen. Andererseits legt das natürlich
> die Frage nahe wozu man die Implikation
> "folgenstetig[mm]\Rightarrow\varepsilon-\delta[/mm]-stetig"
> überhaupt braucht, denn m.E. wird man niemals die
> Stetigkeit mit Folgenstetigkeit nachweisen. Meistens
> benutzt man das doch nur um zu zeigen, dass eine Funktion
> in einem Punkt nicht stetig ist, indem man halt sone
> "pathologische Folge" konstruiert (und dafür braucht man AC
> nicht)...
ach, wenn Du eine konkrete Funktion [mm] $\IR^m \to \IR^n$ [/mm] hast, dann kann Dir das Folgenkriterium schon einiges an Arbeit ersparen. Auch siehst Du das alleine schon bei Polynomfunktionen, dass das einiges an Arbeit ersparen kann:
So ist doch z.B. die Stetigkeit der Funktion $x [mm] \mapsto \sum_{k=0}^n a_k x^k$ [/mm] mithilfe der "Folgenstetigkeit" relativ einfach nachzuweisen (unter Benutzung der Grenzwertsätze für konvergente Folgen), während man mit dem [mm] $\varepsilon-\delta$-Kriterium [/mm] mühsam abschätzen muss.
Und von brauchen zu reden, naja, die Äquivalenz zwischen Stetigkeit und Folgenstetigkeit gilt ja nun auch nicht überall. Bei Funktionen [mm] $\IR^m \to \IR^n$ [/mm] gilt sie z.B., weil man da eine Abbildung zwischen metrischen Räumen hat (wenn man [mm] $\IR^n,\IR^m$ [/mm] z.B. jeweils mit der euklidischen Metrik versieht)...
Und auch ansonsten:
Es gilt ja z.B., dass das Zornsche Lemma äquivalent zu dem Auswahlaxiom ist. Ich selber finde das Auswahlaxiom sehr plausibel, das Zornsche Lemma eher weniger. Andere Leute finden das Zornsche Lemma plausibel, das Auswahlaxiom eher weniger. (Manche verzichten ja auch ganz auf das Auswahlaxiom.)
Naja, solange zwei Aussagen äquivalent sind, sollte man eigentlich mit beiden Dingen arbeiten können (das ist schlecht formuliert meinerseits, aber ich denke, Du verstehst, wie ich das meine). Notfalls muss man halt in den Beweis, der die Äquivalenz der beiden Aussagen liefert, reingucken und die Dinge daraus dann für die aktuelle Arbeit verwenden. Wobei das natürlich dann mehr oder weniger getrickst wäre, aber ich sag's mal so:
Man beweist ja nicht umsonst die Äquivalenz gewisser Aussagen, sondern meist ist es einfach so, dass man damit natürlich einfach mehr Handwerkszeug zur Verfügung hat. Und ein guter Handwerker bekommt im Laufe der Zeit einen Blick dafür (bzw. es kommt mit der Erfahrung), wann er am besten mit welchem Werkzeug arbeitet und wann er sich mit welchem Werkzeug die Arbeit unnötig schwermacht.
Wie gesagt:
Die Stetigkeit einer Polynomfunktion [mm] $\IR \to \IK$ [/mm] (mit [mm] $\IK=\IR$ [/mm] oder [mm] $\IK=\IC$) [/mm] mit [mm] $\varepsilon-\delta$-Kriterium [/mm] nachzuweisen, ist nicht gerade die schönste Methode. Nun kann man auch mal überlegen, wie das aussähe mit "stetig genau dann, wenn Urbilder offener Mengen wieder offen sind" etc., da muss man schon ein wenig überlegen.
Aber die Stetigkeit einer solchen Polynomfunktion mit "Folgenstetigkeit" einzusehen, wenn man z.B. in der Schule die Stetigkeit als "Folgenstetigkeit" definierte und dort die Grenzwertsätze beweist, ist meines Erachtens durchaus dann sogar für Schüler eine zugängliche Methode. Natürlich fehlt in der Schule ein gewisses Wissen über abstrakte Dinge, aber diese Methode ist z.B. für Schüler meiner Ansicht nach eigentlich sicher leicht zu verstehen.
Also: Wenn man einem Schüler sagte, er solle die Stetigkeit einer Polynomfunktion mit dem Folgenkriterium beweisen, dann bin ich mir sicher, dass das einige hinbekämem. Würde man ihnen sagen, sie sollten das mit dem [mm] $\varepsilon-\delta$-Kriterium: [/mm] Naja, da habe ich so meine Zweifel, dass man das schnell hinbekäme. Selbst, wenn man mit den Schülern vorher das ganze schon wochenlang durchgekaut hätte, das ist einfach in diesem Falle (unnötig) mühselig...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:13 Do 17.07.2008 | | Autor: | pelzig |
> ach, wenn Du eine konkrete Funktion [mm]\IR^m \to \IR^n[/mm] hast,
> dann kann Dir das Folgenkriterium schon einiges an Arbeit
> ersparen. Auch siehst Du das alleine schon bei
> Polynomfunktionen, dass das einiges an Arbeit ersparen
> kann:
> So ist doch z.B. die Stetigkeit der Funktion [mm]x \mapsto \sum_{k=0}^n a_k x^k[/mm]
> mithilfe der "Folgenstetigkeit" relativ einfach
> nachzuweisen (unter Benutzung der Grenzwertsätze für
> konvergente Folgen), während man mit dem
> [mm]\varepsilon-\delta[/mm]-Kriterium mühsam abschätzen muss.
Ja aber auch nur weil man da massiv auf die Grenzwertsätze zurückgreift, deren Beweise genauso schwierig sind wie die Stetigkeit direkt mit [mm] $\varepsilon-\delta$-Defintion [/mm] nachzuweisen. Oder wie mein Prof sagen würde: "Die Summe der Schwierigkeiten bleibt konstant.". Und das Beispiel mit den Schülern reduziert sich dann im Grunde auch darauf, dass man den Kern der Arbeit, in Form der Grenzwertsätze, vor ihnen versteckt. Aus didaktischer Sicht mag es schon Sinn haben, kenn mich da nicht aus, aber aus mathematischer hat man rein gar nichts gewonnen.
> Und von brauchen zu reden, naja, die Äquivalenz zwischen
> Stetigkeit und Folgenstetigkeit gilt ja nun auch nicht
> überall.
Ja die Defintion der [mm] $\varepsilon-\delta$-Stetigkeit [/mm] macht ja auch nur in metrischen Räumen Sinn, und da ist das immer äquivalent zur Folgenstetigkeit. Was mit Folgenstetigkeit in topologischen Räumen passiert ist ne ganz andere Kiste...
> Bei Funktionen [mm]\IR^m \to \IR^n[/mm] gilt sie z.B., weil
> man da eine Abbildung zwischen metrischen Räumen hat (wenn
> man [mm]\IR^n,\IR^m[/mm] z.B. jeweils mit der euklidischen Metrik
> versieht)...
Ok, formulier ich das mal anders: Gibt es ein Beispiel für eine Funktion, die nach dem Folgenkriterium stetig, aber unter dem [mm] $\varepsilon-\delta$-Kriterium [/mm] (ohne Auswahlaxiom!) unstetig ist?
Gruß, Robert
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:52 Do 17.07.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Robert,
> > ach, wenn Du eine konkrete Funktion [mm]\IR^m \to \IR^n[/mm] hast,
> > dann kann Dir das Folgenkriterium schon einiges an Arbeit
> > ersparen. Auch siehst Du das alleine schon bei
> > Polynomfunktionen, dass das einiges an Arbeit ersparen
> > kann:
> > So ist doch z.B. die Stetigkeit der Funktion [mm]x \mapsto \sum_{k=0}^n a_k x^k[/mm]
> > mithilfe der "Folgenstetigkeit" relativ einfach
> > nachzuweisen (unter Benutzung der Grenzwertsätze für
> > konvergente Folgen), während man mit dem
> > [mm]\varepsilon-\delta[/mm]-Kriterium mühsam abschätzen muss.
> Ja aber auch nur weil man da massiv auf die Grenzwertsätze
> zurückgreift, deren Beweise genauso schwierig sind wie die
> Stetigkeit direkt mit [mm]\varepsilon-\delta[/mm]-Defintion
> nachzuweisen. Oder wie mein Prof sagen würde: "Die Summe
> der Schwierigkeiten bleibt konstant.". Und das Beispiel mit
> den Schülern reduziert sich dann im Grunde auch darauf,
> dass man den Kern der Arbeit, in Form der Grenzwertsätze,
> vor ihnen versteckt. Aus didaktischer Sicht mag es schon
> Sinn haben, kenn mich da nicht aus, aber aus mathematischer
> hat man rein gar nichts gewonnen.
Aus didaktischer Sicht weiß ich nicht, aus mathematischer Sicht ist das so eine Sache: Es hindert Dich doch in metrischen Räumen keiner daran, Stetigkeit als Folgenstetigkeit zu definieren. Die (Äquivalenz zur) [mm] $\varepsilon-\delta-$Stetigkeit [/mm] kann man ja nebenbei behandeln und sie weitesgehend vermeiden. Das ist vll. ein wenig Geschmackssache.
> > Und von brauchen zu reden, naja, die Äquivalenz zwischen
> > Stetigkeit und Folgenstetigkeit gilt ja nun auch nicht
> > überall.
> Ja die Defintion der [mm]\varepsilon-\delta[/mm]-Stetigkeit macht
> ja auch nur in metrischen Räumen Sinn, und da ist das immer
> äquivalent zur Folgenstetigkeit. Was mit Folgenstetigkeit
> in topologischen Räumen passiert ist ne ganz andere
> Kiste...
Ähm ja, da hatte ich gar nicht mehr drauf geachtet, weil ich bei der [mm] $\varepsilon-\delta$-Stetigkeit [/mm] eigentlich schon immer die topologische Interpretation im Sinne habe. Ich spreche auch meist dann von [mm] $\varepsilon$ [/mm] und [mm] $\delta$-Umgebungen [/mm] um [mm] $f(x_0)$ [/mm] bzw. [mm] $x_0$, [/mm] man kann sich ja doch einiges an topologischen Räumen mit metrischen Räumen "verinnerlichen" (das ist wieder nicht ganz präzise formuliert, aber auch hier denke ich, Du weißt, wie ich das meine  ). Sorry, das ist natürlich ein guter Einwand.
Und naja:
Ich glaube, manch' einem liegen die Beweise der Grenzwertsätze für Folgen doch mehr als Stetigkeitsbeweise, wobei die sich alle doch sehr ähneln. Aber okay, dann sagen wir es mal so:
Wenn man sich schon die Mühe macht und Stetigkeitsbeweise durchzieht, dann finde ich es schon sinnvoll, in metrischen Räumen z.B. zu Beweisen, dass stetig und folgenstetig das gleiche bedeuten. Einfach aus dem Grunde: Es ist ja nur ein "kleiner" Aufwand und man hat einfach weiteres Handwerkszeug, und der eine kann vielleicht besser mit diesem, der andere besser mit einem anderen Werkzeug hantieren. Wichtig ist nur, dass beide auch das richtige Werkzeug benutzen
Das macht man doch in der Mathematik eigentlich auch laufend, und manchmal macht das manche Beweise ästhetischer/schöner/übersichtlicher/zugänglicher (wie auch immer...)
Und so vom Gefühl her würde ich mal schätzen, dass so manch einer durchaus kein Problem mit dem Verständnis "Stetigkeit=Folgenstetigkeit" hat und die Beweise der Grenzwertsätze für Folgen versteht, aber dennoch Probleme bei der [mm] $\varepsilon-\delta-$Stetigkeit [/mm] hat, so etwas wie "Ein endliches Produkt stetiger Funktionen ist stetig" zu beweisen. Aber im Endeffekt ist's natürlich richtig:
Wenn man letztgenanntes mit der "Folgenstetigkeit" beweist, braucht man dabei dann natürlich die "Beweise für konvergente Folgen". Also wirklich gewonnen hat man da, aus mathematischer Sicht, nichts (wäre ja auch noch schöner, wo es doch keinen Königsweg zur Mathematik gibt ), vielleicht behält der ein oder andere bei dem einen Beweis einen besseren Überblick, der andere bei dem anderen, aber wenn man die beiden Beweise - mit allem drum und dran - notiert, sind sie aufwandsmäßig gleich, schätze ich mal.
> > Bei Funktionen [mm]\IR^m \to \IR^n[/mm] gilt sie z.B., weil
> > man da eine Abbildung zwischen metrischen Räumen hat (wenn
> > man [mm]\IR^n,\IR^m[/mm] z.B. jeweils mit der euklidischen Metrik
> > versieht)...
> Ok, formulier ich das mal anders: Gibt es ein Beispiel für
> eine Funktion, die nach dem Folgenkriterium stetig, aber
> unter dem [mm]\varepsilon-\delta[/mm]-Kriterium (ohne Auswahlaxiom!)
> unstetig ist?
Wüßte ich jetzt auf Anhieb - ehrlich gesagt - keines... Keine Ahnung, ehrlich gesagt (wobei man die Frage vielleicht auch präziser formulieren müßte)...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:36 Do 17.07.2008 | | Autor: | Merle23 |
> > Ok, formulier ich das mal anders: Gibt es ein Beispiel für
> > eine Funktion, die nach dem Folgenkriterium stetig, aber
> > unter dem [mm]\varepsilon-\delta[/mm]-Kriterium (ohne Auswahlaxiom!)
> > unstetig ist?
>
> Wüßte ich jetzt auf Anhieb - ehrlich gesagt - keines...
> Keine Ahnung, ehrlich gesagt (wobei man die Frage
> vielleicht auch präziser formulieren müßte)...
Ich hab mir mal ein paar Gedanken dazu gemacht und bin zu dem Schluss gekommen, dass es auch gut sein könnte, dass das Problem [mm] folgenstetig \Rightarrow stetig [/mm] ohne [mm] AC_\omega [/mm] unentscheidbar ist.
Also ich meine... es wird uns vielleicht nie gelingen so eine Funktion anzugeben, das heisst aber noch lange nicht, dass die Implikation [mm] folgenstetig \Rightarrow stetig [/mm] deswegen gilt.
Um das, was ich meine, etwas deutlicher zu machen, vergleiche ich das mal mit der Kontinuumshypothese: Gibt es eine Teilmenge der reellen Zahlen, deren Mächtigkeit zwischen der der natürlichen Zahlen und der des Kontinuums liegt? Das AC beantwortet und diese Frage eindeutig mit "Nein". Aber wenn man nur ZF zugrunde legt, also ohne AC, dann ist die Frage unentscheidbar. Es wird uns zwar nie gelingen eine solche Teilmengen anzugeben, aber das heisst eben noch lange nicht, dass dadurch die Antwort auf die Kontinuumshypothese "Nein" ist.
Das dumme ist, dass ich eigentlich keine Ahnung von dem Ganzen hab, und das es deswegen bloß ein paar wilde, in den Raum geworfene Gedanken von mir sind.
Falls hier jemand im Forum ist, der mehr Ahnung hat, der solle sich bitte äußern! ^^
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:04 Do 17.07.2008 | | Autor: | pelzig |
> > > Ok, formulier ich das mal anders: Gibt es ein Beispiel für
> > > eine Funktion, die nach dem Folgenkriterium stetig, aber
> > > unter dem [mm]\varepsilon-\delta[/mm]-Kriterium (ohne Auswahlaxiom!)
> > > unstetig ist?
> Um das, was ich meine, etwas deutlicher zu machen,
> vergleiche ich das mal mit der Kontinuumshypothese: Gibt es
> eine Teilmenge der reellen Zahlen, deren Mächtigkeit
> zwischen der der natürlichen Zahlen und der des Kontinuums
> liegt? Das AC beantwortet und diese Frage eindeutig mit
> "Nein". Aber wenn man nur ZF zugrunde legt, also ohne AC,
> dann ist die Frage unentscheidbar.
Meines Wissens ist doch CH unabhängig von ZFC... (wiki), aber das ist hier auch nicht wirklich wichtig.
Die Idee ist aber trotzdem sehr interessant in Bezug auf die Rolle von AC zu ZF:
> Ich hab mir mal ein paar Gedanken dazu gemacht und bin zu
> dem Schluss gekommen, dass es auch gut sein könnte, dass
> das Problem [mm]folgenstetig \Rightarrow stetig[/mm] ohne [mm]AC_\omega[/mm]
> unentscheidbar ist.
Angenommen es gäbe so eine Funktion, dann wäre [mm] "Folgenstetigkeit$\Rightarrow$e-d-Stetigkeit" [/mm] falsch in ZF, aber richtig in ZFC, d.h. (wenn ZF widerspruchsfrei ist...) dann muss [mm] ZF$\Rightarrow [/mm] AC$ falsch sein, d.h. (?!?) in ZF ist AC falsch und somit ein Widerspruch zur Unabhängigkeit von ZF und AC... ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
(Das soll keinen Beweis darstellen, eher als ne Spielerei vielleicht kann sich ja mal jemand zu äußern der mehr von Logik, Modelltheorie what-so-ever versteht)
Gruß, Robert
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:59 Do 17.07.2008 | | Autor: | Merle23 |
> > > > Ok, formulier ich das mal anders: Gibt es ein Beispiel für
> > > > eine Funktion, die nach dem Folgenkriterium stetig, aber
> > > > unter dem [mm]\varepsilon-\delta[/mm]-Kriterium (ohne Auswahlaxiom!)
> > > > unstetig ist?
>
>
> > Um das, was ich meine, etwas deutlicher zu machen,
> > vergleiche ich das mal mit der Kontinuumshypothese: Gibt es
> > eine Teilmenge der reellen Zahlen, deren Mächtigkeit
> > zwischen der der natürlichen Zahlen und der des Kontinuums
> > liegt? Das AC beantwortet und diese Frage eindeutig mit
> > "Nein". Aber wenn man nur ZF zugrunde legt, also ohne AC,
> > dann ist die Frage unentscheidbar.
> Meines Wissens ist doch CH unabhängig von ZFC... (wiki),
> aber das ist hier auch nicht wirklich wichtig.
> Die Idee ist aber trotzdem sehr interessant in Bezug auf
> die Rolle von AC zu ZF:
>
Hab ich da etwa was verwechselt? Kann sein. Ist auch nicht so wichtig hier.
> > Ich hab mir mal ein paar Gedanken dazu gemacht und bin zu
> > dem Schluss gekommen, dass es auch gut sein könnte, dass
> > das Problem [mm]folgenstetig \Rightarrow stetig[/mm] ohne [mm]AC_\omega[/mm]
> > unentscheidbar ist.
> Angenommen es gäbe so eine Funktion, dann wäre
> "Folgenstetigkeit[mm]\Rightarrow[/mm]e-d-Stetigkeit" falsch in ZF,
> aber richtig in ZFC, d.h. (wenn ZF widerspruchsfrei ist...)
> dann muss ZF[mm]\Rightarrow AC[/mm] falsch sein, d.h. (?!?) in ZF
> ist AC falsch und somit ein Widerspruch zur Unabhängigkeit
> von ZF und AC...
Yeah ^^ Das ist doch mal krass.
>
> (Das soll keinen Beweis darstellen, eher als ne Spielerei
> vielleicht kann sich ja mal jemand zu äußern der mehr von
> Logik, Modelltheorie what-so-ever versteht)
Also ich find diese Spielerei toll ^^ Ist ja schon quasi ein Beweis.
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> Gruß, Robert
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