epsilon-Jordannormalform < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:31 Do 03.07.2008 | | Autor: | Harris |
Hallo!
Ich hab ein Problem, an dem ich schon länger knabber.
Mein Prof hat letztens mal die Frage in den Raum gestellt, warum bei der Jordan-Normalform Verkettungseinsen und keine Verkettungszweien stehen.
Natürlich wusste das von uns keiner und er hat uns erzählt, dass das nun Definitionssache wäre und dort auch epsilons stehen könnten. (was er daraufhin "epsilon-Jordannormalform taufte".
Meine Fragen nun: Wenn ich eine bereits Jordannormalform J habe, gibt es dann eine Matrix T, so dass ich mit
[mm] T^{-1} \dot [/mm] J [mm] \dot [/mm] T= [mm] J_{\epsilon}
[/mm]
meine Jordannormalform in die epsilon-Jordannormalform überführen kann.
Wenn ja, kann man diese allgemein angeben? Ich bin leider bereits bei 3x3 Matrizen daran gescheitert.
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> Hallo!
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> Ich hab ein Problem, an dem ich schon länger knabber.
> Mein Prof hat letztens mal die Frage in den Raum gestellt,
> warum bei der Jordan-Normalform Verkettungseinsen und keine
> Verkettungszweien stehen.
> Natürlich wusste das von uns keiner und er hat uns
> erzählt, dass das nun Definitionssache wäre und dort auch
> epsilons stehen könnten. (was er daraufhin
> "epsilon-Jordannormalform taufte".
>
> Meine Fragen nun: Wenn ich eine bereits Jordannormalform J
> habe, gibt es dann eine Matrix T, so dass ich mit
> [mm]T^{-1} \dot[/mm] J [mm]\dot[/mm] T= [mm]J_{\epsilon}[/mm]
> meine Jordannormalform in die epsilon-Jordannormalform
> überführen kann.
> Wenn ja, kann man diese allgemein angeben? Ich bin leider
> bereits bei 3x3 Matrizen daran gescheitert.
Hallo,
ich zeig's Dir mal an einem Beispiel.
Sei f eine lineare Abbildung, und [mm] (v_1, v_2, v_3) [/mm] eine jordanbasis.
Bzgl. dieser Basis habe f die darstellende Matrix
[mm] \pmat{ 4 & 1&0 \\ 0 & 4&1 \\ 0 & 0&4}.
[/mm]
Nun suchen wir eine Basis [mm] (b_1, b_2, b_3) [/mm] bzgl derer die darstellende Matrix die Gestalt [mm] \pmat{ 4 & \varepsilon&0 \\ 0 & 4&\varepsilon \\ 0 & 0&4} [/mm] hat.
Wie müssen die Basisvektoren beschaffen sein?
1. Es muß gelten [mm] f(b_1)=4*b_1, b_1 [/mm] ist also ei nEigenvektor zum Eigenwert 4.
Da nehmen wir doch gleich [mm] b_1:=v_1.
[/mm]
2. Es muß sein [mm] f(b_2)=\varepsilon b_1 [/mm] + [mm] 4b_2 [/mm] <==> [mm] (f-4*id)(b_2)=\varepsilon b_1=\varepsilon v_1
[/mm]
Aus der JNF wissen wir [mm] (f-4*id)(v_2)=v_1,
[/mm]
also wird unsere Gleichung von [mm] b_2=\varepsilon v_2 [/mm] gelöst, womit wir den zweiten Basisvektor haben.
3. Muß gelten [mm] f(b_3)=\varepsilon b_2 [/mm] + [mm] 4b_3 [/mm] <==> [mm] (f-4*id)(b_3)=\varepsilon b_2=\varepsilon^2 v_2,
[/mm]
und (wieder mit Blick auf die JNF) wir sehen: [mm] b_3:=\varepsilon^2 v_3 [/mm] löst die Gleichung.
Also ist [mm] (v_1, \varepsilon v_2, [/mm] varepsilon² [mm] v_3) [/mm] eine basis, bzgl derer die darstellungsmatrix die gewünschte gestalt hat.
Gruß v. Angela
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