endliche, kommutative Gruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:08 Di 03.11.2009 | | Autor: | jokerose |
| Aufgabe | Sei G eine endliche kommutative Gruppe. Zeige, dass G genau dann zyklisch ist, wenn #G das kgV aller Ordnungen von Elementen in G ist.
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Kann ich sagen, dass wenn G zyklisch ist, dass die Ordnung von G eine Primzahl ist? Die Umkehrung stimmt ja, oder?
Oder kann ich hier die Sylowsätze gebrauchen?
Ich kann ja schreiben:
#G= [mm] p_1^{a_1}*p_2^{a_2}*...*p_k^{a_k}.
[/mm]
Danach wäre also z.B. H eine Untergruppe von G, eine [mm] p_1-Sylowgruppe. [/mm] Die Ordnung von H wäre [mm] p_1^{a_1}.
[/mm]
Doch wie kann ich nun genau weitermachen?
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Hallo
> Sei G eine endliche kommutative Gruppe. Zeige, dass G genau
> dann zyklisch ist, wenn #G das kgV aller Ordnungen von
> Elementen in G ist.
>
> Kann ich sagen, dass wenn G zyklisch ist, dass die Ordnung
> von G eine Primzahl ist? Die Umkehrung stimmt ja, oder?
????
Und was ist mit [mm] C_{6}, C_{8}, C_{100}...? [/mm] Was haben die für eine Ordnung?
Also diese Aussage stimmt mit Sicherheit nicht.. ;)
>
> Oder kann ich hier die Sylowsätze gebrauchen?
> Ich kann ja schreiben:
>
> #G= [mm]p_1^{a_1}*p_2^{a_2}*...*p_k^{a_k}.[/mm]
>
> Danach wäre also z.B. H eine Untergruppe von G, eine
> [mm]p_1-Sylowgruppe.[/mm] Die Ordnung von H wäre [mm]p_1^{a_1}.[/mm]
> Doch wie kann ich nun genau weitermachen?
Die Aussage ist, für eine endliche, abelsche Gruppe G:
G zyklisch [mm] \Leftrightarrow [/mm] #G kgV aller Ordnungen der Elemente in G
Du musst beide Richtungen zeigen.
Nehme also zuerst an, G sei zyklisch, und zeige, was die Ordnung sein muss.
Dann die andere Richtung.
Grüsse, Amaro
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:24 Di 03.11.2009 | | Autor: | jokerose |
Hallo,
> Die Aussage ist, für eine endliche, abelsche Gruppe G:
> G zyklisch [mm]\Leftrightarrow[/mm] #G kgV aller Ordnungen der
> Elemente in G
>
> Du musst beide Richtungen zeigen.
>
> Nehme also zuerst an, G sei zyklisch, und zeige, was die
> Ordnung sein muss.
> Dann die andere Richtung.
Ja das ist klar. Nur weiss ich nicht, wie ich vorgehen kann.
Kann ich irgendwas mit den Sylowsätzen machen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:52 Mi 04.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Die Aussage ist, für eine endliche, abelsche Gruppe G:
> > G zyklisch [mm]\Leftrightarrow[/mm] #G kgV aller Ordnungen der
> > Elemente in G
> >
> > Du musst beide Richtungen zeigen.
> >
> > Nehme also zuerst an, G sei zyklisch, und zeige, was die
> > Ordnung sein muss.
> > Dann die andere Richtung.
>
> Ja das ist klar. Nur weiss ich nicht, wie ich vorgehen
> kann.
> Kann ich irgendwas mit den Sylowsätzen machen?
Ja, die Sylowsaetze kannst du hier verwenden. Ist [mm] $p^\alpha$ [/mm] ein Teiler von $#G$ (so dass [mm] $p^{\alpha+1}$ [/mm] kein Teiler ist), dann gibt es ja eine Sylow-UG [mm] $U_p$ [/mm] der Ordnung [mm] $p^\alpha$. [/mm] Zeige, dass es in [mm] $U_p$ [/mm] ein Element der Ordnung [mm] $p^\alpha$ [/mm] gibt: daraus folgt dass [mm] $U_p$ [/mm] zyklisch ist.
Dann zeige, dass $G$ direktes Produkt seiner Sylow-UGen ist, und folgere dass $G$ zyklisch ist.
LG felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 So 08.11.2009 | | Autor: | jokerose |
Hallo,
> > Kann ich sagen, dass wenn G zyklisch ist, dass die Ordnung
> > von G eine Primzahl ist? Die Umkehrung stimmt ja, oder?
>
> ????
>
> Und was ist mit [mm]C_{6}, C_{8}, C_{100}...?[/mm] Was haben die
> für eine Ordnung?
> Also diese Aussage stimmt mit Sicherheit nicht.. ;)
Das verstehe ich immer noch nicht ganz. Wenn doch #G = p Prim,
dann folgt, dass G zyklisch ist.
Denn es gilt ja folgendes Korrolar:
Teilt eine Primzahl p die Ordnung einer endlichen Gruppe G, so enthält G ein Element der Ordnung p.
Also wär in diesem Beispiel hier mit #G=p Prim, dann G zyklisch, da G ein Element der Ordnung p enthält. Oder stimmt das nicht?
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Hallo
> Hallo,
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> > > Kann ich sagen, dass wenn G zyklisch ist, dass die Ordnung
> > > von G eine Primzahl ist? Die Umkehrung stimmt ja, oder?
> >
> > ????
> >
> > Und was ist mit [mm]C_{6}, C_{8}, C_{100}...?[/mm] Was haben die
> > für eine Ordnung?
> > Also diese Aussage stimmt mit Sicherheit nicht.. ;)
>
> Das verstehe ich immer noch nicht ganz. Wenn doch #G = p
> Prim,
> dann folgt, dass G zyklisch ist.
>
> Denn es gilt ja folgendes Korrolar:
>
> Teilt eine Primzahl p die Ordnung einer endlichen Gruppe G,
> so enthält G ein Element der Ordnung p.
>
> Also wär in diesem Beispiel hier mit #G=p Prim, dann G
> zyklisch, da G ein Element der Ordnung p enthält. Oder
> stimmt das nicht?
>
>
Deine Aussage war aber:
" Kann ich sagen, dass wenn G zyklisch ist, dass die Ordnung von G eine Primzahl ist?"
Und das stimmt ja nicht, darum die Gegenbeispiele.
Die Umkehrung stimmt dann wieder.
Grüsse, Amaro
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