endliche abelsche Gruppe < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:10 So 22.10.2006 | | Autor: | VHN |
| Aufgabe | Beweise bzw. widerlege folgende aussage:
A) alle endlichen gruppen mit weniger als 5 elemente sind abelsch.
B) Eine endliche gruppe mit 6 elementen ist abelsch. |
Hallo Forum!
die aufgabe sieht zwar sehr einfach aus, dennnoch ist mir nicht klar, wie ich die aussagen beweisen (widerlegen) soll.
könnt ihr mir bitte helfen und zeigen, wie ich die aufgabe löse?
ich denke, wenn ich das prinzip für die A verstanden habe, schaffe ich die B auch.
vielen dank für eure hilfe!
VHN
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> Beweise bzw. widerlege folgende aussage:
> A) alle endlichen gruppen mit weniger als 5 elemente sind
> abelsch.
> B) Eine endliche gruppe mit 6 elementen ist abelsch.
Hallo,
zu A.
Die Anzahl der Gruppen mit höchstens vier Elementen ist ja recht übersichtlich, und ich vermute, daß diese Gruppen bereits besprochen wurden.
Bis auf Isomorphie gibt es ja jeweils nur eine Gruppe mit 1,2,3 Elementen,
von Gruppen mit 4 Elementen haben wir zwei.
Da kannst Du ja einfach nachgucken, ob sie abelsch sind. In der Gruppentafel siehst Du es an der Symmetrie zur Diagonalen.
zu B) Es ist wohlgemerkt nicht jede sechselementige Gruppe abelsch.
Welche sechselementigen Gruppen kennst Du?
Wenn Du keine kennst, mach Dir selbst eine, z.B. mit den Restklassen mod 6 und der Addition, und prüfe, ob sie abelsch ist. Wenn ja, bist Du fertig, sonst: weitersuchen...
(Auch von den sechselementigen Gruppen gibt es bis auf Isomorphie nur zwei, was aber vielleicht noch nicht dran war.)
Gruß v. Angla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:04 Di 24.10.2006 | | Autor: | VHN |
hallo angela!
vielen dank für deine antwort.
allerdings hätte ich noch eine frage zur B:
ich hab jetzt festgestellt, dass die restgruppen von mod 6 eine abelsche gruppe ist.
da aber anscheinend nicht jede menge aus 6 elementen abelsch ist, muss es doch auch ein gegenbeispiel dafür geben.
kannst du mir vllt verraten, was so ein gegenbsp. wäre? ich komme einfach nicht drauf.
vielen dank nochmals!
VHN
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> kannst du mir vllt verraten, was so ein gegenbsp. wäre?
> ich komme einfach nicht drauf.
Das Standardbeispiel für die nichtabelsche Gruppe der Ordnung 6 ist Die Gruppe [mm] S_6. [/mm]
Die enthält die Abbildungen des Gleichseitigen Dreiecks auf sich (Verknüpfung: Hintereinanderausführung)
Die Abb. sind die Identität, Drehung um den Mittelpunkt um 120°, um 240°, und die drei Spiegelungen an den Winkelhalbierenden.
Es macht einen Unterschied, ob Du erst spiegelst und dann drehst, oder umgekehrt.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:38 Mi 25.10.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Angela,
> Das Standardbeispiel für die nichtabelsche Gruppe der
> Ordnung 6 ist Die Gruppe [mm]S_6.[/mm]
du meinst [mm] $S_3$, [/mm] da die gerade $3! = 3 [mm] \cdot [/mm] 2 = 6$ Elemente hat 
LG Felix
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