endlich viele Nullstellen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Funktion f sei differenzierbar in [a,b] und für alle x [mm] \in [/mm] [a,b]
| f(x) | +| f´(x) | ungleich 0
Beweisen Sie, dass f in [a,b] nur endlich viele Nullstellen hat. |
Hallo,
ist das richtig?
Es gilt ∣f(x)∣+∣f′(x)∣≠0. Angenommen, es gibt unendlich viele Nullstellen. Dann existiert auch eine Folge [mm] (x_n) [/mm] mit der Eigenschaft für alle x [mm] \in N):f(x_n)=0.
[/mm]
Da f differenzierbar ist, ist f auch stetig, und es folgt, dass das Bild von f ebenso ein Intervall ist. Damit ist Bild(f) stetig und beschränkt also existiert mind. ein Häufungspunkt c und es folgt f(c)=0.
Für die Ableitung f‘ ergibt sich daraus [mm] \limes_{x \to c} \bruch{f(x_n)-f(c)}{x_n-c}
[/mm]
Und es folgt f(x)+f′(x)=0 bzw. ∣f(x)∣+∣f′(x)∣=0 ein Widerspruch zu Annahme! Und es folgt, dass f in [a,b] nur endlich viele Nullstellen haben kann.
Mit freundlichen Grüßen
ellegance88
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:10 Mi 30.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Die Funktion f sei differenzierbar in [a,b] und für alle
> x [mm]\in[/mm] [a,b]
>
> | f(x) | +| f´(x) | ungleich 0
>
> Beweisen Sie, dass f in [a,b] nur endlich viele Nullstellen
> hat.
> Hallo,
> ist das richtig?
>
> Es gilt ∣f(x)∣+∣f′(x)∣≠0. Angenommen, es gibt
> unendlich viele Nullstellen. Dann existiert auch eine Folge
> [mm](x_n)[/mm] mit der Eigenschaft für alle x [mm]\in N):f(x_n)=0.[/mm]
du meinst: ... mit der Eigenschaft: [mm] f(x_n)=0 [/mm] für alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
Was Du auch noch brauchst: [mm] x_n \ne x_m [/mm] für alle n,m mit n [mm] \ne [/mm] m.
>
> Da f differenzierbar ist, ist f auch stetig, und es folgt,
> dass das Bild von f ebenso ein Intervall ist. Damit ist
> Bild(f) stetig
Unsinn ! Bild(f) ist eine Menge.
> und beschränkt also existiert mind. ein
> Häufungspunkt c und es folgt f(c)=0.
????
[mm] (x_n) [/mm] ist beschränkt. Also enthält [mm] (x_n) [/mm] eine konvergente Teilfolge [mm] (x_{n_k}) [/mm] mit Grenzwert c in [a,b]
Da f stetig ist , ist auch f(c)=0.
>
> Für die Ableitung f‘ ergibt sich daraus [mm]\limes_{x \to c} \bruch{f(x_n)-f(c)}{x_n-c}[/mm]
nein. Sondern
f'(c)=[mm]\limes_{k \to \infty} \bruch{f((x_{n_k})-f(c)}{(x_{n_k}-c}[/mm]
>
Damit ist auch f'(c)=0.
> Und es folgt f(x)+f′(x)=0 bzw. ∣f(x)∣+∣f′(x)∣=0
Nein. Sondern ∣f(c)∣+∣f′(c)∣=0
> ein Widerspruch zu Annahme!
Ja
FRED
> Und es folgt, dass f in [a,b]
> nur endlich viele Nullstellen haben kann.
>
>
> Mit freundlichen Grüßen
>
> ellegance88
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