endlich erzeugter UVR < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:30 Mo 05.07.2004 | | Autor: | studentin |
Hallo Leute!
Ich komme bei dieser Aufgabe gar nicht weiter.
Sei U ein endlich erzeugter Untervektorraum des K-Vektorraumes V.
Z.z für f [mm] \in [/mm] Hom (V,W): dim f(U)=dim U-dim (U [mm] \cap [/mm] Kern f).
Morgen müssen wir den Übungszettel schon abgeben und mir fehlen nun so viele Punkte. Wäre schön, wenn jemand mir bei der Aufgabe helfen konnte.
Liebe Grüße und vielen Dank im voraus.
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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Aufgabe: Sei U ein endlich erzeugter Untervektorraum des K-Vektorraumes V.
Z.z für f [mm] \in [/mm] Hom (V,W): dim f(U)=dim U-dim (U [mm] \cap [/mm] Kern f).
Wenn du f einschränkst auf U, dann ist [mm] f|_U \in [/mm] Hom(U,W), Kern [mm] f|_U [/mm] = U [mm] \cap [/mm] Kern f und Bild [mm] f|_U [/mm] = f(U).
Dann kannst du den folgendes Satz anwenden, wobei g = [mm] f|_U [/mm] ist:
dim Bild g + dim Kern g = dim U.
Wenn du diesen Satz in der Vorlesung schon gehabt hast, bist du fertig. Wenn du den nicht hast, dann schreib nochmal.
Gruss,
SirJective
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Wir haben jetzt so versucht zu rechnen:
dim f(U)=dim f/u=dim Bild f/u
Es gilt: dim U = dim Bild f/u + dim Kern f/u
<=> dim Bild f/u = dim U - dim Kern f/u
<=> dim Bild f/u =dim U - dim (U gesnitten Kern f)
<=>dim f(U)=dim U - dim (U gesnitten Kern f)
ich hoffe es ist richtig. Kannst du, oder jemand anderer es überprüfen?
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Das ist soweit richtig, sofern Du mit dem Schrägstrich die Einschränkung von f auf den Unterraum U meinst. :)
Ist natürlich die Frage, ob Deinem Tutor diese Umformung so reicht, oder ob das noch ausführlicher geschehen muß... vielleicht wäre es z.B. hilfreich, noch etwas formaler zu zeigen, dass gilt:
[mm]ker \; f \cap U = ker \; f | _U [/mm]
Gnometech
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> Wir haben jetzt so versucht zu rechnen:
> dim f(U)=dim f/u=dim Bild f/u
Der mittlere Ausdruck ergibt keinen Sinn. Es ist aber dim f(U) = dim Bild [mm] f|_U, [/mm] weil nach Definition des Bildes gerade Bild [mm] f|_U [/mm] = f(U) ist.
> Es gilt: dim U = dim Bild f/u + dim Kern f/u
> <=> dim Bild f/u = dim U - dim Kern f/u
> <=> dim Bild f/u =dim U - dim (U gesnitten Kern f)
> <=>dim f(U)=dim U - dim (U gesnitten Kern f)
Diese Umformungen sind korrekt.
Wie gnometech schon schrieb, solltest du noch einen Gedanken darauf verwenden, warum U [mm] \cap [/mm] Kern f = Kern [mm] f|_U [/mm] ist.
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