endl. körper - irred. polynome < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Also zu zeigen ist, dass ein endlicher Körper unendlich viele irreduzible Polynome hat.
Ich frage mich nun, ob man es irgendwie zum Widerspruch führen kann, wenn man annimmt, dass es nur endlich viele gibt. Dann gibt es auch nur endlich viele Nullstellen dieser irreduziblen Polynome, wenn man die zum Körper dazuschmeißt, wäre dieser dann schon algebraisch abgeschlossen? Dann hätte man ja einen Widerspruch, denn der neue Körper wäre endlich, aber kein endlicher Körper ist algebraisch abgeschlossen. Oder gäbe es im neuen Körper dann noch Polynome ohne Nullstellen in diesem Körper, die man wieder hinzufügen müsste?
Oder allgemeiner gefragt, wie zeigt man, dass der Polynomring eines Körpers in einer Variablen unendlich irreduzible Polynome hat?
Ich meine, für einen unendlichen Körper ist die Aussage natürlich klar, denn die Polynome X+a sind irreduzibel, aber kann man sie irgendwie beweisen ohne eine Fallunterscheidung zu machen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:54 Di 18.10.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Also zu zeigen ist, dass ein endlicher Körper unendlich
> viele irreduzible Polynome hat.
> Ich frage mich nun, ob man es irgendwie zum Widerspruch
> führen kann, wenn man annimmt, dass es nur endlich viele
> gibt. Dann gibt es auch nur endlich viele Nullstellen
> dieser irreduziblen Polynome, wenn man die zum Körper
> dazuschmeißt, wäre dieser dann schon algebraisch
> abgeschlossen? Dann hätte man ja einen Widerspruch, denn
> der neue Körper wäre endlich, aber kein endlicher Körper
> ist algebraisch abgeschlossen. Oder gäbe es im neuen
> Körper dann noch Polynome ohne Nullstellen in diesem
> Körper, die man wieder hinzufügen müsste?
>
> Oder allgemeiner gefragt, wie zeigt man, dass der
> Polynomring eines Körpers in einer Variablen unendlich
> irreduzible Polynome hat?
> Ich meine, für einen unendlichen Körper ist die Aussage
> natürlich klar, denn die Polynome X+a sind irreduzibel,
> aber kann man sie irgendwie beweisen ohne eine
> Fallunterscheidung zu machen?
Kennst du das Argument von Euclid, warum es in [mm] $\IZ$ [/mm] unendlich viele Primzahlen gibt? Das laesst sich genauso in Polynomringen ueber Koerpern durchfuehren.
(In beliebigen Integritaetsbereichen funktioniert es dagegen nicht, da man durch das $+1$ ploetzlich eine Einheit erhalten kann - dies musst du hier ausschliessen.)
LG Felix
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