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| Aufgabe | Es sei [mm] \IK [/mm] ein Körper und A [mm] \in [/mm] M (n x n, [mm] \IK [/mm] ). Wir haben im Zusammenhang mit dem Gauß-Algorithmus die Matrizen [mm] T_{lk} [/mm] , [mm] S_{l} (\lambda) [/mm] und [mm] R_{lk} (\lambda) [/mm] kennengelernt, die die elementaren Zeilenoperationen realisieren.
Beispiel zur Erinnerung: [mm] T_{lk} [/mm] * A entsteht aus A durch Vertauschen der l-ten Zeile mit der k-ten Zeile.
Zeigen Sie: A [mm] \in GL(n,\IK) [/mm] genau dann, wenn A ein Produkt von Matrizen der Form [mm] T_{lk} [/mm] , [mm] S_{l} (\lambda) [/mm] und [mm] R_{lk} (\lambda) [/mm] ist. |
Hallo!
Ich muss hier ja zeigen, dass wenn [mm] A=M_{1} \cdots M_{k} (M_{1}, [/mm] ... , [mm] M_{k} [/mm] sind in diesem Fall irgendwelche elementaren Zeilenoperationen) ist, A auch invertierbar ist, oder?
Aber wie stelle ich das an?
Ich wäre für jede Hilfe dankbar!
Grüßle
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:31 Mi 15.12.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Es sei [mm]\IK[/mm] ein Körper und A [mm]\in[/mm] M (n x n, [mm]\IK[/mm] ). Wir haben
> im Zusammenhang mit dem Gauß-Algorithmus die Matrizen
> [mm]T_{lk}[/mm] , [mm]S_{l} (\lambda)[/mm] und [mm]R_{lk} (\lambda)[/mm]
> kennengelernt, die die elementaren Zeilenoperationen
> realisieren.
>
> Beispiel zur Erinnerung: [mm]T_{lk}[/mm] * A entsteht aus A durch
> Vertauschen der l-ten Zeile mit der k-ten Zeile.
>
> Zeigen Sie: A [mm]\in GL(n,\IK)[/mm] genau dann, wenn A ein Produkt
> von Matrizen der Form [mm]T_{lk}[/mm] , [mm]S_{l} (\lambda)[/mm] und [mm]R_{lk} (\lambda)[/mm]
> ist.
> Hallo!
> Ich muss hier ja zeigen, dass wenn [mm]A=M_{1} \cdots M_{k} (M_{1},[/mm]
> ... , [mm]M_{k}[/mm] sind in diesem Fall irgendwelche elementaren
> Zeilenoperationen) ist, A auch invertierbar ist, oder?
Du musst eine "genau dann"-Aussage zeigen. Was du schreibst, ist die eine Richtung: wenn A ein Produkt der angegebenen Form ist, dann ist A invertierbar. Tipp dazu: das Produkt invertierbarer Matrizen ist invertierbar.
Aber dann musst du auch noch die Umkehrung zeigen: wenn A invertierbar ist, dann ist A als ein solches Produkt darstellbar. Tipp dazu: zeige, dass du A durch elementare Zeilenoperationen in eine Diagonalmatrix umwandeln kannst.
Viele Grüße
Rainer
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Also, Danke erstmal, die Richtung, dass A invertierbar ist, da A ein Produkt aus invertierbaren Matrizen ist, hab ich jetzt verstanden.
Aber die andere Richtung macht mit noch Probleme:
Wie soll ich das denn darstellen, dass A eine Diagonalmatrix wird?
Und was hilft mir das?
Grüßle
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:20 Do 16.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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