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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:18 So 18.09.2011 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Hallo, diesmal habe ich eine Frage zum Begriff "einfacher Zusammenhang bzw. einfach zusammenhängend". Und zwar geht es darum zu zeigen, daß die folgenden Beschreibungen äquivalent sind.
Es sei [mm]U\subseteq \mathbb R^n[/mm] Gebiet.
(1) Es existiert ein Punkt [mm]p_0\in U[/mm], so daß jede geschlossene stetige Kurve in U mit Anfangs- und Endpunkt [mm]p_0[/mm] nullhomotop ist.
(2) Jede geschlossene stetige Kurve in U ist nullhomotop.
(3) Jede geschlossene stetige Kurve in U ist frei nullhomotop in U. |
Ich habe ein paar Ideen, wäre aber äußerst dankbar für Hilfe.
[mm](1)\Rightarrow (2)[/mm]:
U ist Gebiet, d.h. offen, zusammenhängend und insbesondere auch wegzusammenhängend. Wenn man nun irgendeine geschlossene stetige Kurve [mm]\gamma[/mm] in U mit Anfangs- u. Endpunkt [mm]p_1[/mm] hat, so verbinde man zunächst [mm]p_0[/mm] mit [mm]p_1[/mm]. Dann starte man im Punkt [mm]p_0[/mm], wandere zum Punkt [mm]p_1[/mm], gehe dann den Weg [mm]\gamma[/mm] entlang und dann zurück zum Punkt [mm]p_0[/mm].
Dieser geschlossene stetige Weg ist nach Voraussetzung auf den Punkt [mm]p_0[/mm] zusammenziehbar.
Diese Konstruktion kann man für jede andere geschlossene Kurve durchführen, was zu zeigen war.
Dies müsste, sofern ich mich nicht total irre, ganz okay sein. Schwierigkeiten bereiten mir nun die Implikationen
[mm](2)\Rightarrow (3)\Rightarrow (1)[/mm].
Wer kann mir hier bitte weiterhelfen?
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(Frage) überfällig | | Datum: | 01:00 Mo 19.09.2011 | | Autor: | mikexx |
Ich weiß noch nicht genau, wie ich das mathematisch sauber formulieren kann, aber meine Idee ist folgende:
Das, was (2) von (3) unterscheidet, ist wohl:
Bei (2) verändert man eine geschlossene Kurve mit Anfangs- und Endpunkt q durch "immer kleiner" werdende geschlossene Kurven (die aber alle ebenfalls Anfangs- und Endpunkt q haben), bis schließlich alle diese Kurven im Punkt q landen.
Bei (3) "verkleinert" man eine geschlossene Kurve mit Anfangs- und Endpunkt q ebenfalls durch lauter Kurven, die jedoch jeweils andere Anfangs- und Endpunkte haben. Am Ende hat man die Ausganskurve auf irgendeinen Punkt zusammengezogen, der von mir aus p heißt.
Nun zum Schritt von (2) nach (3):
Wenn nun (2) die Ausgangssituation ist, so kann man allen Kurven, die die Ausgangskurve in q zusammenziehen (und ebenfalls Anfangs- und Endpunkt q haben) jeweils einen "neuen" Anfangs- und Endpunkt zuordnen, der jeweils auf einem stetigen Weg mit Anfangspunkt q und Endpunkt p liegt. Diesen Weg kann man ja bilden, weil U als Gebiet insbesondere wegzusammenhängend ist.
Dann hat man aber freie Nullhomotopie, was man gerade zeigen soll.
Jetzt noch von (3) nach (1):
Naja, das ist quasi sehr ähnlich!
Man verbinde alle Anfangs- bzw. Endpunkte der Kurven (incl. der Ausgangs- und Punktkurve), was wieder geht, weil U wegzusammenhängend ist. So kann man quasi jeden Anfangspunkt, der auf diesem Weg liegt an die äußerste Kurve "heranziehen" und hat einen Punkt [mm]p_0[/mm] wie verlangt gefunden.
Das ist meine Idee, zu der ich meine Skizzen (die ich versucht habe, in Worten zu beschreiben) leider nicht hier zeichnen kann.
Ist das die richtige Idee und wenn ja, wie könnte man sie "mathematisieren"?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Mi 21.09.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:23 Do 22.09.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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