einfache Induktionsaufgabe < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:42 Di 26.02.2008 | | Autor: | hydro |
| Aufgabe | Aufgabe6
Gegeben seien n Punkte. Wieviele Strecken gibt es, die je zwei Punkte verbinden?
S(n) sei die Anzahl solcher Strecken. Beweisen Sie durch vollständige Induktion: Für alle nN gilt: S(n)=(n(n-1))/2 |
Ich hab mit dem Thema Indutkion so meine Schwierigkeiten.
Hier mal mein Lösungsweg:
Induktionsanfang:
n=0
S(0)=0
Induktionsschritt:
so wie ich das verstanden habe muss ich zeigen das folgendes gilt:
S(n+1) = ((n+1)(n))/2
Rechne ich die Formel mit Beispielen aus stimmts auch, bei n=2 kommt z.b 3 raus, was korrekt ist.
Jetzt will ich das natürlich beweisen.
Also schreib ich jetzt hin:
S(n+1) = S(n) + (n+1)
= (n(n-1))/2 + (n+1)
ich müsste jetzt durch umstellen auf die obige Formel kommen. Aber zur Kontrolle hatte ich vorher bereits auch hier für n=2 eingesetzt.. und heraus kam leider nicht die 3 sondern die 4
Da ich immer eins mehr herauskommt als soll könnte ich anstatt ..+(n+1) einfach nur +n schreiben, dann würds zwar stimmen aber dann versteh ich das nicht mehr.
Bei einer ähnlichen Aufgabe habe ich auch +(n+1) geschrieben, und da hats funnktioniert.
Vielleicht merkt ja jemand meinen Denkfehler und kann mir helfen
Danke schonmal
...Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo hydro,
Dein Gedanke, +n zu schreiben, ist schon richtig. Wie man den Schritt von n auf n+1 vollzieht, das kann i.A. sehr unterschiedlich sein! Auch wenn es bei einer anderen Aufgabe mal +n+1 war.
Mach Dir eben klar, was passiert, wenn Du zu n Punkten einen weiteren Punkt hinzufügst: diesen Punkt kannst Du mit den bisherigen n Punkten verbinden, es kommen also n Strecken hinzu.
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 Di 26.02.2008 | | Autor: | hydro |
Ok, danke für die schnelle Antwort,
es wird schon klarer...
aber hier mal die Aufgabe die fast identisch ist, wo ich aber +n+1 schreiben muss:
[mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] *i = (n(n+1)/2
Induktionsanfang: bei n=0 =0
Induktionsschritt:
für (n+1) muss gelten:
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} [/mm] *i = ((n+1)(n+2))/2
der Beweis:
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} [/mm] *i = [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] *i +(n+1)
Bei der ersten Aufgabe wird +n gerechnet hier aber +(n+1)
Komme irgendwie nicht dahinter.....
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Hallo,
der Induktionsschritt ist eben unterschiedlich. Bei der Aufgabe mit Strecken kommen für den n+1-ten Punkt n weitere Strecken hinzu, denn der Punkt kann ja nur mit n Punkten und nicht mit sich selbst verbunden werden.
Bei der anderen Aufgabe werden ja die Zahlen von 1 bis n aufsummiert. Wenn man nun die Zahl n+1 hinzunimmt, addiert man natürlich n+1.
Wenn Du diese andere Aufgabe modifizieren würdest: summiere die Quadrate der Zahlen von 1 bis n, also berechne $ [mm] \sum_{i=1}^n i^2 [/mm] $, dann muss man im Induktionsschritt eben $ [mm] (n+1)^2 [/mm] $ addieren.
Bei Induktionsbeweisen kann es wie gesagt unterschiedlich sein, was passiert, wenn man von der Behauptung für n auf die Behauptung für n+1 übergehen möchte.
Viele Grüße,
Stefan
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