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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:47 Do 23.06.2005 | | Autor: | Manuela |
Wer kann mir Helfen???????
Seien p und q Primzahlen, seien 1<a<=p und r>=1. Beweise, dass Gruppen einer Ordnung [mm] p^2 [/mm] * q oder [mm] P^r [/mm] * a nicht einfach sein können.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:45 Do 23.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Manuela!
Für den ersten Teil erwarte ich zunächst mal eigene Ansätze von dir (beachte bitte auch die Forenregeln). Beim zweiten Teil helfe ich dir:
Nach Sylow gibt es eine Untergruppe $U$ mit $|G:U|=a$. Wegen $p>a$ und $p$ prim ist $p$ kein Teiler von $a!$.
Es gilt somit: $|G| [mm] \not\vert\, [/mm] |G:U|!$. Dann aber muss $U$ einen echten Normalteiler von $G$ enthalten, wie du dir ja vielleicht mal selber überlegen kannst.
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:58 Do 23.06.2005 | | Autor: | Manuela |
Hallo Julius,
für Ordnung [mm] P^2 [/mm] *q hatte ich mir überlegt:
Nach Sylow gibt es eine Untergruppe [mm] p^2
[/mm]
[mm] p^2 [/mm] ist aber immer abelsch und somit Normalteiler
1. Fall: p, q nicht 1
Es gibt Untergruppen der Ordung [mm] p,p^2, [/mm] q und ord U =p2 ist Normalteiler
also G nicht einfach
2.Fall q=1
Nach Sylow gibt es Untergurppen p und [mm] p^2, [/mm] Ordnung von G ist [mm] p^2 [/mm] und somit
ist G abelsch und damit auch alle Untergruppen. Alle Untergruppen sind Normalteiler. ord U=p ist somit Normalteiler und G damit nicht einfach
3.Fall p=1: ord G=q . Zykliche Gruppe. Es gibt nur Untergruppen von der Ordnung 1,q. Diese sind Normalteiler da G abelsch und somit ist diese Gruppe einfach
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