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Hallo da draußen!
Ich habe ein sehr einfaches Problem: Warum ist die Ableitung von f(x) = "[mm]\bruch{1}{2}[/mm] ln(2x) " und g(x)= "[mm]\bruch{1}{2}[/mm] lnx" die Gleiche? Also g(x)' = f(x)' = [mm]\bruch{1}{2x}[/mm] . Das sind doch zwei unterschiedliche Terme, oder übersehe ich da irgendetwas?
Das Ganze ist mir beim Integrieren aufgefallen, und ich habe mich gewundert, wie es sein kann, dass es keine eindeutige Lösung gibt...
Ich wäre für eine Antwort dankbar.
peace
Vitaminless
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Hallo Vitaminless,
> Ich habe ein sehr einfaches Problem: Warum ist die
> Ableitung von [m]f\left(x\right) = \bruch{1}{2}\ln\left(2x\right)[/m] und [m]g\left(x\right) = \bruch{1}{2} \ln x[/m] gleich? Also [m]g(x)' = f(x)' = \bruch{1}{2x}[/m]? Das sind doch zwei unterschiedliche Terme,
> oder übersehe ich da irgendetwas?
> Das Ganze ist mir beim Integrieren aufgefallen, und ich
> habe mich gewundert, wie es sein kann, dass es keine
> eindeutige Lösung gibt...
Die Lösung ist natürlich eindeutig, denn wegen der Kettenregel (innere Ableitung mal äußere Ableitung) gilt:
[m]\begin{gathered}
f'\left( x \right) = \frac{1}
{2}\ln '\left( {2x} \right) = \frac{1}
{2}*\left( {2x} \right)'*\frac{1}
{{2x}} = \frac{1}
{{2x}} \hfill \\
g'\left( x \right) = \frac{1}
{2}\ln '\left( x \right) = \frac{1}
{2}*\left( x \right)'*\frac{1}
{x} = \frac{1}
{{2x}} \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Das ist auch nicht weiter verwunderlich, denn:
[m]\frac{1}
{2}\ln \left( {2x} \right) = \ln \left( {\sqrt {2x} } \right) = \ln \left( {\sqrt 2 \sqrt x } \right) = \ln \left( {\sqrt 2 } \right) + \ln \left( {\sqrt x } \right)[/m]
Und wie wir wissen, fallen beim Ableiten die freien Summanden weg.
Z.B. (x+1)' = 1 und x' = 1. Schau dir dazu auch nochmal den Hauptsatz der Integralrechnung an. Da gibt es gerade deswegen auch eine sogenannte Integrationskonstante die beliebig gewählt werden darf.
Viele Grüße
Karl
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