einfache Ableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:17 Di 11.07.2006 | | Autor: | linder05 |
| Aufgabe | | Sei f: [mm] \IR^2 \to \IR, (x,y)\mapsto ln(\wurzel{x^2+y^2}) [/mm] gegeben. |
Hi Leute ich würde gerne [mm] \bruch{\partial f}{\partial x} [/mm] berechnen. Dabei stehe ich grad auf dem Schlauch: kann/muss ich ein- oder zweimal nachdifferenzieren? d.h. ist
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}=\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}} \* \bruch{1}{2 \wurzel{x^2+y^2}} [/mm]
oder muss ich das was unter der Wurzel steht auch noch mal nach x ableiten, was den zusätzlichen Faktor 2x bringen würde?
Wär für ne Antwort mit Begründung sehr dankbar!! 
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:07 Mi 12.07.2006 | | Autor: | shark4 |
Eigentlich müsstest du das wissen, aber nun gut nochmal zum mitmeiseln:
Es handelt sich hier ja um eine verkettete Funktion, d.h. [mm] f(x) =u(v(x)) [/mm] und deren Ableitung lautet nach der Kettenregel nun mal [mm] f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x) [/mm]
Nun zur Aufgabe:
[mm] f(x, y) = \ln(\sqrt{x^2+y^2}) [/mm]
[mm] \frac{\partial f}{\partial x} = \ln\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)' \cdot \left(\sqrt{x^2+y^2}\right)' = \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} \cdot \frac{1}{\not{2}\sqrt{x^2+y^2}} \cdot \not{2}x = \frac{x}{x^2+y^2} [/mm]
[mm] v = \sqrt{x^2+y^2} = \left(x^2+y^2\right)^\frac{1}{2}, v_x = \frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2x[/mm] ist im Prinzip ja wieder nur verkettet und kann somit durch äußere * innere Ableitung gebildet werden.
Alles klar?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:11 Mi 12.07.2006 | | Autor: | linder05 |
Super, vielen Dank! Ich habs mir schon gedacht, aber irgendwie hatte ich ne Blockade 
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Logarithmusgesetz