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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:21 Fr 02.05.2014 | | Autor: | needmath |
| Aufgabe | a) berechnen Sie
[mm] \integral_{1}^{4}{\bruch{1}{\wurzel{x}+\wurzel{x+1}} dx}
[/mm]
[mm] \integral_{-1}^{0}{\bruch{x}{x-1} dx}
[/mm]
b)
Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, den die Sinus- und die Cosinus-Funktionüber dem Intervall [0; [mm] 2\pi] [/mm] einschließen. |
[mm] a)\integral_{1}^{4}{\bruch{1}{\wurzel{x}+\wurzel{x+1}} dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{1}^{4}{(\wurzel{x}^{-1})+(\wurzel{x+1})^{-1} dx} [/mm] = [mm] [2\wurzel{x}+2\wurzel{x+1}] [/mm] = [mm] (4+2\wurzel{5}) [/mm] - [mm] (2-2\wurzel{2}) [/mm] = 3,64
[mm] \integral_{-1}^{0}{\bruch{x}{x-1} dx} [/mm] = [mm] \integral_{-1}^{0}{1-x dx}
[/mm]
=[ [mm] x+\bruch{x^2}{2}] [/mm] = 0 - [mm] (-1+\bruch{-x^2}{2})= [/mm] 1,5
b)
Sinus: A = [mm] |\integral_{0}^{\pi}{sinus(x) dx}| [/mm] + [mm] |\integral_{\pi}^{2 \pi}{sinus(x) dx} [/mm] | = 4
cosinus: A = [mm] |\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{cos(x) dx}| [/mm] + [mm] |\integral_{\bruch{\pi}{2}}^{\bruch{3\pi}{2}}{cos(x) dx}| [/mm] + [mm] |\integral_{\bruch{3\pi}{2}}^{2 \pi}{cos(x) dx}| [/mm] = 4
kann jemand meine lösung bestätigen?
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Hallo,
a) Beides ist falsch, und zwar grob.
Es gilt im Allgemeinen [mm] $$\frac{1}{a+b} \neq \frac{1}{a} +\frac{1}{b}$$ [/mm] dennoch verwendest du diese Regel.
Verwende die dritte binomische Formel.
Was du beim Zweiten Integranden umformst -keine Ahnung. Es ist aber falsch.
Nutze [mm] $$\frac{x}{x-1} =1+\frac{1}{x-1}$$
[/mm]
b) Du beantwortest in deiner Lösung -korrekt - die Frage
Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, den die Sinus- und die Cosinus-Funktionüber dem Intervall $$[0; [mm] 2\pi]$$ $$\color{red}\text{jeweils mit der x-Achse} [/mm] $$ einschließen.
Die Frage in deinem Post ist aber bzgl. einer Fläche, die zwischen Sinus und Cosinus.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 Fr 02.05.2014 | | Autor: | needmath |
hallo,
ist die folgende Stammfunktion richtig?
f(x) = [mm] \bruch{1}{\wurzel{x}+\wurzel{x+1}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \bruch{1}{\wurzel{x}+\wurzel{x+1}} [/mm] * [mm] \bruch{\wurzel{x}-\wurzel{x+1}}{\wurzel{x}-\wurzel{x+1}} [/mm] = [mm] -\wurzel{x}+\wurzel{x+1}
[/mm]
F(x) = [mm] -\bruch{3}{2}x^\bruch{3}{2} [/mm] + [mm] \bruch{3}{2} (x+1)^\bruch{3}{2}
[/mm]
wie bestimme ich die stammfunktion der anderen funktion?
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Hallo,
> hallo,
>
> ist die folgende Stammfunktion richtig?
>
> f(x) = [mm]\bruch{1}{\wurzel{x}+\wurzel{x+1}}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{x}+\wurzel{x+1}}[/mm] *
> [mm]\bruch{\wurzel{x}-\wurzel{x+1}}{\wurzel{x}-\wurzel{x+1}}[/mm] =
> [mm]-\wurzel{x}+\wurzel{x+1}[/mm]
>
> F(x) = [mm]-\bruch{3}{2}x^\bruch{3}{2}[/mm] + [mm]\bruch{3}{2} (x+1)^\bruch{3}{2}[/mm]
>
Nein, da ist dir ein kleiner Flüchtigkeistfehler unterlaufen. Die Methode grundsätzlich war jedoch zielführend.
Dein Vorfaktor 3/2 bei den Stammfunktionen der beiden Wurzeln ist falsch. Mache dir nochmal die Regel
[mm] \int{x^r dx}= \frac{1}{r+1}*x^{r+1} [/mm] ; r [mm] \neq [/mm] -1
klar...
> wie bestimme ich die stammfunktion der anderen funktion?
Das hat MaslanyFanclub oben doch schon haarklein erläutert?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 Fr 02.05.2014 | | Autor: | needmath |
a)
[mm] \integral_{1}^{4}{\bruch{1}{\wurzel{x}+\wurzel{x+1}} dx} [/mm] = [mm] [\bruch{2}{3}x^\bruch{3}{2} [/mm] + [mm] \bruch{2}{3}(x+1)^\bruch{3}{2}]_{1}^{4}
[/mm]
f(x) = [mm] \bruch{x}{x-1} [/mm] = 1+ [mm] \bruch{1}{x-1}
[/mm]
wie kommt man auf diese äquivalenzumformung? wie kürzt sich x im zähler ?
wie leite ich [mm] \bruch{1}{x-1} [/mm] = [mm] (x-1)^{-1} [/mm] auf? wenn ich den xponenten um 1 erhöhe, kann ich ja nicht durch 0 teilen
muss ich die partielle integration benutzen?
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Hallo,
> a)
>
> [mm]\integral_{1}^{4}{\bruch{1}{\wurzel{x}+\wurzel{x+1}} dx}[/mm] =
> [mm][\bruch{2}{3}x^\bruch{3}{2}[/mm] +
> [mm]\bruch{2}{3}(x+1)^\bruch{3}{2}]_{1}^{4}[/mm]
>
Jetzt stimmt der Vorfaktor, aber die Vorzeichen nicht mehr. Die waren vorhin noch richtig!
>
> f(x) = [mm]\bruch{x}{x-1}[/mm] = 1+ [mm]\bruch{1}{x-1}[/mm]
>
> wie kommt man auf diese äquivalenzumformung? wie kürzt
> sich x im zähler ?
Nun, da gibt es ja meist mehrere Wege, die nach Rom führen. Mein Favorit:
[mm] \frac{x}{x-1}=\frac{x-1+1}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}+\frac{1}{x-1}=1+\frac{1}{x-1}
[/mm]
>
> wie leite ich [mm]\bruch{1}{x-1}[/mm] = [mm](x-1)^{-1}[/mm] auf?
Aufleiten tut man gar nicht in der Mathematik. Dieses Unwort ist krasser sprachlicher Nonsens, schlimm genug, dass das an den Schulen mittlerweile so gelehrt wird: im akademischen Bereich setzt man sich bei der Verwendung zu Recht in die Nesseln. Falls dir das nicht verständlich ist: mache dir mal die genaue Bedeutung der Vorsilbe ab in Ableiten klar...
Es sollte folgendes bekannt sein:
[mm] \int{ \frac{1}{x} dx}=ln|x|+C
[/mm]
und mehr sollte man dazu nicht sagen müssen!
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 Fr 02.05.2014 | | Autor: | needmath |
hi,
dann hätte ich bei der ersten funktion die 3 binomische formel gar nicht anwenden müssen
f(x) = [mm] \bruch{1}{\wurzel{x}+\wurzel{x+1}}
[/mm]
F(x) = [mm] ln(\wurzel{x}+\wurzel{x+1})
[/mm]
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Hallo,
> hi,
>
> dann hätte ich bei der ersten funktion die 3 binomische
> formel gar nicht anwenden müssen
>
> f(x) = [mm]\bruch{1}{\wurzel{x}+\wurzel{x+1}}[/mm]
>
> F(x) = [mm]ln(\wurzel{x}+\wurzel{x+1})[/mm]
Dein obiges Resultat wurde doch im Prinzip bis auf einen Vorzeichenfehler als richtig bewertet. Wie kommst du jetzt auf diese aberwitzige und völlig falsche Idee?
Die Sache mit den Stammfunktionen ist halt nicht so einfach. Wenn man die Regel für die Ableitung der Umkehrfunktion
[mm] \left[f^{(-1)}(y)\right]'=\bruch{1}{f'(x)}
[/mm]
beherrscht, dann kann man sich klarmachen, dass bei den Umkehrfunktionen der elementaren transzendenten Funktionen, also etwa für den ln und die Arkusfunktionen, als Stammfunktionen rationale Funktionen herauskommen. Weshalb das so ist - da muss man in die Materie viel, viel tiefer eindringen.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Fr 02.05.2014 | | Autor: | needmath |
hi,
ich muss nochmal nachfragen
wenn ich den grenzwert 0 für x einsetze, dann bekomme ich ln(-1). und das ist nicht definiert
F(x) = x+ ln(x-1)
ist die funktion nicht integrierbar für den grenzwert?
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Hallo,
> hi,
>
> ich muss nochmal nachfragen
>
> wenn ich den grenzwert 0 für x einsetze, dann bekomme ich
> ln(-1). und das ist nicht definiert
>
> F(x) = x+ ln(x-1)
Oben steht doch schon, dass [mm]\int{\frac{1}{x} \ dx} \ = \ \ln(\red|x\red|)[/mm] + Konstante
Warum ignorierst du das konsequent?
>
> ist die funktion nicht integrierbar für den grenzwert?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:51 Sa 03.05.2014 | | Autor: | needmath |
ist das die gesuchte fläche?
A = [mm] \integral_{a}^{b}{sin(x)-cos(x) dx} [/mm]
der schnittpunkt der beiden funktion sind die integrationsgrenzen
mit 0 = sin(x)-cos(x) bestimme ich die grenzen oder? wie bestimme ich bei dieser gleichung die variable x?
ich könnte die schnittpunkte hier ablesen, aber ich möchte wissen wie man es rechnerisch bestimmt
http://short4u.de/5364d78cacfa8
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> ist das die gesuchte fläche?
>
> A = [mm]\integral_{a}^{b}{sin(x)-cos(x) dx}[/mm]
>
> der schnittpunkt der beiden funktion sind die
> integrationsgrenzen
Hier hab ich schon ein grammatikalisches Problem: Wie soll ein Schnittpunkt (singular) Grenzen (plural) sein.
Mal ganz abgesehen davon, dass es zwei sind und die Integrationsgrenzen in der Aufgabenstellung bereits gegeben wurde, als 0 und $2 [mm] \pi$. [/mm]
> mit 0 = sin(x)-cos(x) bestimme ich die grenzen oder? wie
> bestimme ich bei dieser gleichung die variable x?
>
> ich könnte die schnittpunkte hier ablesen, aber ich
> möchte wissen wie man es rechnerisch bestimmt
>
> http://short4u.de/5364d78cacfa8
Man könnte es in eine Gleichung mit Tangens umformen. Oder mittels Additionsthereomen in eine G leichung in sinus bzw. cosinus umwandeln.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:42 Sa 03.05.2014 | | Autor: | needmath |
A = [mm] \integral_{a}^{b}{sin(x)-cos(x) dx} [/mm]
stammfunktion : [-cos(x) -sin(x)]
die fläche hätte ich jetzt so berechnet:
A = |[-cos(x) [mm] -sin(x)]_{0}^{\bruch{\pi}{4}}|+ [/mm] |[-cos(x) [mm] -sin(x)]_{\bruch{\pi}{4}}^{\pi} [/mm] |+ |[-cos(x) [mm] -sin(x)]_{\bruch{1\pi}{2}}^{\bruch{5\pi}{4}}| [/mm] + |[-cos(x) [mm] -sin(x)]_{\bruch{5\pi}{4}}^{2\pi}| [/mm] + |[-cos(x) [mm] -sin(x)]_{\bruch{3\pi}{2}}^{2\pi}|
[/mm]
das sollte die fläche sein, die ich im anhang gründ markiert habe
EDIT [Diophant]
Quelle Bild: ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:04 Sa 03.05.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast viele Intervalle doppelt! das Nächst Intervall, muss immer da anfangen wo das letzte auf hört. du fängst bei 0 an bis zur ersten Schnittstelle bei [mm] \pi/4, [/mm] von da bis zur nächsten Schnittstlle bei 5/4*Pi von da bis [mm] 2\pi
[/mm]
dass du noch die Nullstellen der einzelnen fkt dazunimmst ist überflüssig und führt zu deinen Fehlern.
die Gesamtfkt sinx-cosx ist 0 an den Schnittstellen der 2 fkt weil das sinx=cosx. und du musst zw, den Nullstellen der Gesamtfunktion integrieren.
die Nullstellen von sinx-cosx weiss man entweder, k, oder kann sie am kreis ablesen, oder man weiss wo tanx=1 ist
zur älteren Frage x/(x-1)=-x/(1-x) dann kommst du mit den grenzen klar
weiter zu den Wurzeln: wenn du denkst du hast eine Stammfunktion, dann leite sie ab und denke an Ketten und andere Regeln! damit musst du nie nachfragen, sondern kannst immer selbst fesstellen, ob du richtig integriert hast.
Gruss leduart
Gruß leduart
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