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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:24 So 06.04.2008 | | Autor: | der_puma |
hi
(x-y+1)/(x+y+1)=(1-y/x)/(1+y/x)
warum gilt diese umrechnung ? ich komme einfach nicht drauf?
y"+2y´+2y=0
ansatz zur lösung :
y=e^(vx)
als lösung des charakteristishcen polynoms erhalte ich
v1=-1+i v2=-1-i
lösung soll nun
y=e^(-x)(c1cosx+c2sinx)
sein
irgendwie brauch ma hier die euler´sche formel aber woher die konstanten und wie kommt man dann auf die lösung nach erreichen des charakteristischen polynoms??
gruß
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Hallo der_puma,
> hi
> (x-y+1)/(x+y+1)=(1-y/x)/(1+y/x)
> warum gilt diese umrechnung ? ich komme einfach nicht
> drauf?
Die Gleichung stimmt ja nicht.
Erweitert man die rechte Seite mit [mm]\bruch{x}{x}[/mm], so erhält man
[mm]\bruchx-y}{x+y}[/mm]
>
> y"+2y´+2y=0
> ansatz zur lösung :
> y=e^(vx)
>
> als lösung des charakteristishcen polynoms erhalte ich
> v1=-1+i v2=-1-i
>
> lösung soll nun
> y=e^(-x)(c1cosx+c2sinx)
> sein
> irgendwie brauch ma hier die euler´sche formel aber woher
> die konstanten und wie kommt man dann auf die lösung nach
> erreichen des charakteristischen polynoms??
Die Lösung ist ja
[mm]e^{\left(-1-i\right)*x}=e^{-x}*e^{-ix}=e^{x}*\left(\cos\left(x\right)-i*\sin\left(x\right)\right)[/mm]
Nun is das ja eine komplexe Lösung, wir brauchen ja reelle Lösungen.
Der Realteil als auch der Imaginärteil ist Lösung der DGL.
>
> gruß
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:39 So 06.04.2008 | | Autor: | der_puma |
aber wenn real und imaginärteil lösungen sind warum ersetze ich dann das i druch eine konstante ??
gruß
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Hallo der_puma,
> aber wenn real und imaginärteil lösungen sind warum ersetze
> ich dann das i druch eine konstante ??
Dann eben so rum:
Die Lösungen ergeben sich zu:
[mm]y\left(x\right)=C_{1}*e^{\left(-1+i\right)*x}+C_{2}*e^{\left(-1-i\right)*x}[/mm]
[mm]\gdw y\left(x\right)=C_{1}*e^{-x}*e^{i*x}+C_{2}*e^{-x}*e^{-i*x}[/mm]
Nach der ![[]](/images/popup.gif) Eulerschen Formel gilt nun:
[mm]e^{i*x}=\cos\left(x\right)+i*\sin\left(x\right)[/mm]
[mm]e^{-i*x}=\cos\left(x\right)-i*\sin\left(x\right)[/mm]
Eingesetzt ergibt:
[mm]\gdw y\left(x\right)=C_{1}*e^{-x}*\left(\cos\left(x\right)+i*\sin\left(x\right)\right)+C_{2}*e^{-x}*\left(\cos\left(x\right)-i*\sin\left(x\right)\right)[/mm]
[mm]\gdw y\left(x\right)=\left(C_{1}+C_{2}\right)*e^{-x}*\cos\left(x\right)+i*\left(C_{1}-C_{2}\right)*e^{-x}*\sin\left(x\right)[/mm]
mit [mm]C_{1},\ C_{2} \in \IC[/mm]
Wählen wir die Konstanten [mm]C_{1}, \ C_{2}[/mm], so daß
[mm]C_{1}+C_{2}, \ i*\left(C_{1}-C{2}\right) \in \IR[/mm],
dann erhalten wir eine reelle Lösung.
Dies ist genau dann der Fall, wenn [mm]C_{2}=\overline{C_{1}}[/mm] gewählt wird.
Hieraus ergibt sich:
[mm]C_{1}+C_{2}=C_{1}+\overline{C_{1}}=2*Re \ C_{1}[/mm]
[mm]i*\left(C_{1}-C_{2}\right)=i*\left(C_{1}-\overline{C_{1}}\right)=-2*Im \ C_{1}[/mm]
Somit erhalten wir
[mm]y\left(x\right)=2*Re \ C_{1} \ e^{-x}*\cos\left(x\right) - 2*Im \ C_{1} \ e^{-x}*\sin\left(x\right)[/mm]
Definieren wir nun noch
[mm]\tilde{C_{1}}:=2*Re \ C_{1}[/mm]
[mm]\tilde{C_{2}}:=-2*Im \ C_{1}[/mm]
Dann steht da:
[mm]y\left(x\right)=\tilde{C_{1}}* e^{-x}*\cos\left(x\right) + \tilde{C_{2}}*e^{-x}*\sin\left(x\right)[/mm]
>
> gruß
Gruß
MathePower
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