matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-Lineare Algebraeindeutige Primfaktorzerlegung
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Uni-Lineare Algebra" - eindeutige Primfaktorzerlegung
eindeutige Primfaktorzerlegung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Lineare Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

eindeutige Primfaktorzerlegung: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:19 Di 15.02.2005
Autor: sternschnuppe

okay ich hab inzwischen noch ne frage und zwar inwiefern kann man den Staz über die eindeutige primfaktorzerlegung in [mm] IZ [/mm] auf andere Ringe z.B. [mm] IZ[\sqrt{1}[/mm] ]  oder Z[c [mm] \sqrt{2}[/mm] [/mm] ]  verallgemeinern ?
also der satz ist:
zu jeder natürlichen zahl  [mm] a \in IN [/mm] gibt es ein [mm] m \in IN \cup {o} [/mm]  und Primzahlen p1,...pm mit a = p1*...*pm. Eine solche Darstellung von a als Produkt von Primzahlen ist bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig durch a bestimmt.
Ich hab mir gedacht das ich dem vielleicht näher komme wenn ich anwende das [mm]IZ[/mm] ein Hauptidealring ist indem die eigenschaften prim und unzerlegbar gelich sind aber dann komm ich leider nciht mehr weiter also für hilfe wäre ich sehr dankbar....
und wenn das hier jemand liest vielleicht kommt er ja auch mit meiner anderen frage zurrecht da hab ich mich nämlich mit der zeit vertan die antwort bräuchte ich bis heute abend sorry....
jedenfalls vielen dank an alle die sich mit meinen problemen beschäftigen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
eindeutige Primfaktorzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:20 Di 15.02.2005
Autor: andreas

hi

die ringe mit der eigenschaft, die du hier nennst - nämlich, dass jedes von null verschiedene element, das keine einheit ist, als bis auf  reihenfolge (und assoziertheit) eindeutiges produkt von irreduziblen elementen schreiben lässt - nennt man faktoeriell. insbesondere ist auch [m] \mathbb{Z}[\sqrt{2}] [/m] faktoriell. was du mit [m] \mathbb{Z}[\sqrt{1}] [/m] meinst weiß ich nicht so genau, da ja [m] \sqrt{1} = 1 [/m] und somit [m] \mathbb{Z}[\sqrt{1}] = \mathbb{Z}[1] = \mathbb{Z}[/m], da hier eben nur die $1$ adjungiert wird und diese war ja sowieso schon im ring, macht diesen also nicht größer.

im allgemeien gilt für beliebige ringe $R$:

$R$ euklidisch [mm] $\Longrightarrow$ [/mm] $R$ hauptidealring [mm] $\Longrightarrow$ [/mm] $R$ faktoriell


und man kann z.b. zeigen, dass [m] \mathbb{Z}[\sqrt{2}] [/m],  [m] \mathbb{Z}[\sqrt{3}] [/m],  [m] \mathbb{Z}[\sqrt{-1}] = \mathbb{Z}[i] [/m] (und noch viele andere) euklidisch und damit insbesondere faktoriell sind und also die von dir geforderte eigenschaft haben.

ich hoffe das hilft weiter und du weißt was euklidische ringe sind.

grüße
andreas

Bezug
                
Bezug
eindeutige Primfaktorzerlegung: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:34 Di 15.02.2005
Autor: sternschnuppe

mit der 1 meinte ich eine -1 tut mir leid da hab ich mich vertippt, jedenfalls vielen dank für deine Antwort.... was genau ist ein euklidischer Ring? es wäre echt klasse wenn du mir das noch beantworten könntest
Danny

Bezug
                        
Bezug
eindeutige Primfaktorzerlegung: Definition Euklidischer Ring
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:11 Do 17.02.2005
Autor: AdvDiaboli

kein Problem,
Ein  Euklidischer Ring R ist ein Integritätsbereich mit Eins in dem eine Abbildung  [mm] f:R\setminus\{0\}\to\mathbb{N}_0 [/mm] mit
Zu  [mm] a,b\in [/mm] R mit  [mm] b\not=0 [/mm] existieren Elemente  [mm] q,r\in [/mm] R mit
[mm] a=q\cdot [/mm] b+r, wobei  r=0 oder  f(r)<f(b).
f heißt auch die Euklidische (Norm-)Abbildung von  R.

viele Grüße
Michael

Bezug
        
Bezug
eindeutige Primfaktorzerlegung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:10 Do 17.02.2005
Autor: HJKweseleit

Obwohl ich zu spät antworte, hier ein Zusatz:

In einem Ring ohne 1 ist die Primzerlegung nicht eindeutig. Beispiel: Betrachte 2 [mm] \IZ [/mm] = Menge aller ganzen geraden Zahlen. In diesem Ring gibt es keine 1.

Betrachte nun die Zahl 36 = 6*6 = 2*18.

Sowohl 2 als auch 6 als auch 18 sind in diesem Ring Primzahlen, da nicht weiter zerlegbar (6 = 2*3, aber eine 3 gibt es hier nicht. 18 = 2*9=3*6, aber 9 oder 3 gibt es hier nicht). 36 hat somit zwei verschiedene Primdarstellungen.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Lineare Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]