eindeutig, unendlich, leere Me < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:08 Di 26.10.2010 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Gegeben sei ein LGS durch folgende Matrix:
[mm] $\pmat{ 1 & 2 &3 &1 \\ 2 &3 &8 & 1 \\ 3&5&x&2\\-1&-1&-5&x }\cdot \pmat{x_{1}\\x_{2} \\x_{3} \\x_{4}}=\pmat{1\\1\\ y \\ 2}$
[/mm]
x und y [mm] $\in \IR$ [/mm] sollen so gewählt werden, dass gelte:
a) die Lösungsmenge besitzt nur ein Element
b) sei unendlich
c) sei eindeutig |
Hallo,
Die Bedingung für die Eindeutigkeit ist die lineare Unabhängigkeit der einzelnen Spaltenvektoren zueinander. Die Bedingung für die unendliche Lösungsmenge ist die lineare Abhängigkeit der Spaltenvektoren zueinander.
Die Bedingung für die leere Menge kenne ich noch nicht genau. Aber es muss so was wie $ 0=1 $ geben, dann kann es keine Lösung geben.
ich habe die lineare Abhängigkeit so versucht:
[mm] $r\vektor{1\\2\\3\\-1}+t\vektor{2\\3\\5\\-1}+q\vektor{3\\8\\x\\-5}+p\vektor{1\\1\\2\\x}=0$
[/mm]
r und t habe ich 1 gesetzt, doch ich sehe keine einzige lineare abhängige Kombination. Wie finde ich die?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und danke.
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Zu aller erst mal eine kleine Frage:
Wieso die SPALTENvektoren?
Deine Matrix da oben beschreibt ja im Endeffekt das LGS mit
[mm] 1$x_1$ 2$x_2$ 3$x_3$ 1$x_4$ [/mm] = 1
...
Wieso sollten da denn die Spalten, also die vier Faktoren vor dem einen x unabhängig zu den vor einem anderen x sein? oO
Meiner Meinung nach müssen nicht die Spalten sondern die Zeilen linear unabhängig sein.
Wenn zum Beispiel x=11 und y=2 gewählt wird so ist die dritte Zeile die Summe der beiden obrigen Zeilen.
Ein Auflösen und Ausrechnen des LGS ergibt, dass es in diesem Fall tatsächlich unendlich Lösungen besitzt.
Für die Eindeutigkeit würde ich persönlich das LGS erst einmal so weit wie möglich ausrechnen (Gauß und so) und dann x,y so wählen, dass die Lösungen eben eindeutig sind.
Zum Glück (für dich^^) ist in der Aufgabenstellung ja nicht gefragt für welche x,y das LGS... sondern du musst nur ein Paar x,y nennen, es kann dir egal sein ob es mehr gibt.
Da immer noch die Gefahr besteht, dass ich dich bzw. die Aufgabe absolut falsch verstanden habe (da mir einfach nicht in den Kopf will warum die Spalten unabhängig sein sollen und nicht die Zeilen) gebe ich diesen Post lieber erstmal nicht als Antwort an.
Also falls du dir 100%ig sicher bist, dass es die Spalten sein müssen warte lieber noch auf eine dritte Meinung; ich persönlich bin der Meinung da jede ZEILE eine Gleichung bedeutet müssen diese betrachtet werden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:40 Mi 27.10.2010 | | Autor: | kushkush |
Hey !
Es läuft schon daraus hinaus, dass man dann alle Lösungen finden muss. Aber mit deinem Ansatz kann ich jedenfalls mehr draus machen als mit meinem.
Deshalb danke!
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> Zu aller erst mal eine kleine Frage:
> Wieso die SPALTENvektoren?
> Deine Matrix da oben beschreibt ja im Endeffekt das LGS
> mit
> 1[mm]x_1[/mm][mm] \red{+}2[/mm] [mm]x_2[/mm] [mm] \red{+}3[/mm] [mm]x_3[/mm] [mm] \red{+}1[/mm] [mm]x_4[/mm] = 1
> ...
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Das ist der Unabhängigkeit der Spalten ist richtig.
Schauen wir mal ein kleines Gleichungssystem an:
A.
[mm] 1x_1+2x_2=3
[/mm]
[mm] 4x_1+5x_2=6.
[/mm]
In Matrix-Vektor-Schreibweise hätte man
B.
[mm] \pmat{1&2\\4&5}*\vektor{x_1\\x_2}=\vektor{3\\6}.
[/mm]
Es steht von Deiner Seite die Frage im raum, warum man anhand der Unabhängigkeit der Spalten entscheidet, ob die Lösung eindeutig ist.
Ich kann das GS A. auch schreiben als
C.
[mm] x_1*\vektor{1\\4}+x_2*\vektor{2\\5}=\vektor{3\\6}.
[/mm]
Nun fragt man sich: gibt es genau eine Lösung?
Genau eine Lösung gibt es, wenn erstens der Vektor [mm] \vektor{3\\6} [/mm] als Linearkombination von von [mm] \vektor{1\\4} [/mm] und [mm] \vektor{2\\5} [/mm] geschrieben werden kann und zweitens diese Darstellung als Linearkombination eindeutig ist. (Wäre sie nicht eindeutig, hätte man mindestens zwei Lösungen.). Eindeutig ist die darstellung aber gerade dann, wenn die beiden Vektoren [mm] \vektor{1\\4} [/mm] und [mm] \vektor{2\\5} [/mm] linear unabhängig sind, also eine Basis des von ihnen erzeugten Raumes.
Gruß v. Angela
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> Gegeben sei ein LGS durch folgende Matrix:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 &3 &1 \\
2 &3 &8 & 1 \\
3&5&x&2\\
-1&-1&-5&x }\cdot \pmat{x_{1}\\
x_{2} \\
x_{3} \\
x_{4}}=\pmat{1\\
1\\
y \\
2}[/mm]
>
> x und y [mm]\in \IR[/mm] sollen so gewählt werden, dass gelte:
>
> a) die Lösungsmenge besitzt nur ein Element
> b) sei unendlich
> c) sei eindeutig
> Hallo,
>
> Die Bedingung für die Eindeutigkeit ist die lineare
> Unabhängigkeit der einzelnen Spaltenvektoren zueinander.
Hallo,
ja.
> Die Bedingung für die unendliche Lösungsmenge ist die
> lineare Abhängigkeit der Spaltenvektoren zueinander.
Das ist eine notwendige Bedingung - hinreichend ist sie nicht.
>
> Die Bedingung für die leere Menge kenne ich noch nicht
> genau. Aber es muss so was wie [mm]0=1[/mm] geben, dann kann es
> keine Lösung geben.
Ja.
>
> ich habe die lineare Abhängigkeit so versucht:
>
> [mm]r\vektor{1\\
2\\
3\\
-1}+t\vektor{2\\
3\\
5\\
-1}+q\vektor{3\\
8\\
x\\
-5}+p\vektor{1\\
1\\
2\\
x}=0[/mm]
>
> r und t habe ich 1 gesetzt, doch ich sehe keine einzige
> lineare abhängige Kombination. Wie finde ich die?
r und t =1 zu setzen, ist nicht sehr verheißungsvoll...
Du müßtest dieses GS auflösen nach den Variablen r,t,q,p und schauen, für welches x r=t=q=p=0 die einzige Lösung ist und für welches x es noch eine andere Lösung gibt.
In dem Fall, in welchem es nur die triviale Lsg. gibt, sind die Vektoren unabhängig.
Für welches x die Vektoren linear unabhängig sind, erfährst Du auch durch die Betrachtung der Determinante der Koeffizientenmatrix.
Was hat die Det. mit Unabhängigkeit zu tun?
Da Du das Gaußverfahren kennst, bietet sich folgendes Vorgehensweise an:
stelle für das GS Ax=b die erweiterte Koeffizientenmatrix (A|b) auf und bringe sie auf Zeilenstufenform.
1. Ist der Rang der Koeffizientenmatrix A kleiner als der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix (A|b), so hat das System keine Lösung
2. Sind die Ränge von A und (A|b) gleich, so ist das GS lösbar.
2a. Ist der Rang = der Anzahl der Variablen (=Anzahl der Spalten), dann ist die Lösung eindeutig
2b. Ist der Rang kleiner als die Anzahl der Variablen, so gibt es mehrere Lösungen.
Bi Deienr Aufgabe wäre dies dann in Abhängigkeit von x und y zu untersuchen.
Gruß v. Angela
>
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> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und
> danke.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 Mi 27.10.2010 | | Autor: | kushkush |
Hallo angela,
es scheitert am umformen zur Dreiecksform. Sehe nicht was ich eliminieren muss.
Danke aber trotzdem für die Anleitung über die Ränge!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:58 Mi 27.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wieso kannst du nicht mit Gauss die Dreieckform erreichen?
wenn dich die x stören die behandelt man bei Gauss wie gewöhnliche Zahlen.
Gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:22 Mi 27.10.2010 | | Autor: | kushkush |
Koeffmatrix:
[mm] $\vektor{1& 2 &3 &1\\0& -1 & 2 & -1 \\0& 0 &x-11 &0\\0 & 0& 0 &x}$
[/mm]
die erw. koeffmatrix krieg ich aber nicht hin!
aber stimmt das denn?
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Hallo,
> Koeffmatrix:
>
> [mm]\vektor{1& 2 &3 &1\\
0& -1 & 2 & -1 \\
0& 0 &x-11 &0\\
0 & 0& 0 &x}[/mm]
>
> die erw. koeffmatrix krieg ich aber nicht hin!
Du schreibst einfach die rechte Seite der Matrixgleichung als Spalte mit in die Matrix und machst dieselben Umformungen wie hier (wenn denn erlaubt) ...
>
> aber stimmt das denn?
Zeige deine Rechnung, ich denke, du erwartest nicht wirklich, dass das einer aus Spaß an der Freude alles selber nochmal nachrechnet.
Poste deine Rechnung und wir sehen weiter ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:38 Mi 27.10.2010 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
ich habe hier:
Z=Zeile
zuerst (Z1-Z2)+Z4, dann (Z3)-(Z1+Z2) gerechnet und zum Schluss Z2-(2*Z1)
Ich denke auch, dass es gar nicht nötig ist, die erweiterte Koeffizientenmatrix zu bestimmen, weil diese sowieso immer den Rang 4 haben wird.
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Hallo nochmal,
> Hallo,
>
>
> ich habe hier:
> Z=Zeile
> zuerst (Z1-Z2)+Z4, dann (Z3)-(Z1+Z2) gerechnet und zum
> Schluss Z2-(2*Z1)
Ok, die ZSF passt dann so!
>
> Ich denke auch, dass es gar nicht nötig ist, die
> erweiterte Koeffizientenmatrix zu bestimmen, weil diese
> sowieso immer den Rang 4 haben wird.
Nein wieso das?
Wenn du das mal ausrechnest, ergibt die letzte Spalte (modulo Rechnenfehler)
[mm] $\vektor{1\\1\\y-1\\-2}$
[/mm]
Wenn also in Zeile 3 der erw. Koeffizientenmatrix $x=11$ und [mm] $y\neq [/mm] 1$ ist (oder umgekehrt) stimmen die Ränge nicht mehr überein.
Schreibe dir das erstmal hin, bevor wir hier weiter ins Blaue hinein reden ...
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:28 Do 28.10.2010 | | Autor: | kushkush |
Ok danke.
Ich dachte ich müsste das wieder auf Dreiecksform bringen.
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Hallo nochmal,
> Ok danke.
>
>
> Ich dachte ich müsste das wieder auf Dreiecksform bringen.
![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]")
Aber das ist es doch ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:42 Do 28.10.2010 | | Autor: | kushkush |
Ich bezeichne Dreiecksform nur solche LGS, die in der Form sind, so dass in der untersten Zeile nur eine Variable steht und man die Lösung ablesen kann.
Ist das nicht richtig???
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> Ich bezeichne Dreiecksform nur solche LGS, die in der Form
> sind, so dass in der untersten Zeile nur eine Variable
> steht und man die Lösung ablesen kann.
>
>
> Ist das nicht richtig???
Hallo,
Das erste Ziel bei Deiner Aufgabe ist das Erreichen der Zeilenstufenform.
eine obere Dreiecksmatrix ist sowas:
[mm] \pmat{\*&\*&\*&\*\\0&\*&\*&\*\\0&0&\*&\*\\0&0&0&\*},
[/mm]
egal, was bei den Sternchen steht. Es dürfen auch Nullen sein.
Du wirst schnell einsehen, daß das Bestreben, diese Form zu erreichen, bei nichtquadratischen Matrizen naturgemäß ins Leere laufen muß...
Ist ansonsten jetzt alles klar?
Falls nicht, poste die ZSF Deiner erweiterten Koeffizientenmatrix mit Deinen Überlegungen, so daß man Dir sinnvoll weiterhelfen kann.
Gruß v. Angela
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:11 Do 28.10.2010 | | Autor: | kushkush |
Hallo, die Aufgabe ist eigentlich gut abgedeckt. Das mit der Determinante habe ich zwar noch nicht probiert. und der Prof scheint diese Sorte genau gleich gelöst zu haben.
Danke angela.
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