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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:25 Sa 19.05.2007 | | Autor: | EasyLee |
Hallo!
Kann mir bitte jemand helfen [mm] \int_{-r}^{r} 6x^2\wurzel{r^2-x^2}dx [/mm] zu lösen?
Lieder komme ich nicht weiter. Hier mein Ansatz:
[mm] \int_{-r}^{r}6x^2\wurzel{r^2-x^2}dx [/mm] = [mm] 6\int_{-r}^{r}x^2\wurzel{r^2-x^2}dx [/mm] *
Substitution [mm] x=rsin(\phi) [/mm] , [mm] dx=rcos(\phi) d\phi [/mm] , [mm] \phi=sin\left(\bruch{x}{r}\right)^{-1}
[/mm]
*
= [mm] 6\int_{-r}^{r} r^2sin(\phi)^2*rcos(\phi)*rcos(\phi) d\phi [/mm] = [mm] 6r^4\int_{-r}^{r} sin(\phi)^2cos(\phi)^2 d\phi [/mm]
mit den Identitäten [mm] cos(x)^2=\left(\bruch{1+cos(2x)}{2}\right) [/mm] und [mm] six(x)^2=\left(\bruch{1-cos(2x)}{2}\right) [/mm] folgt dann
= [mm] 6r^4\int_{-r}^{r} \bruch{1-cos(2\phi)}{2} \bruch{1+cos(2\phi)}{2} d\phi [/mm] = [mm] \bruch{6r^4}{4}\int_{-r}^{r}\left(1- cos(2\phi)^2\right) d\phi
[/mm]
[mm] =\bruch{6r^4}{4} \left( \int_{-r}^{r} 1\ d\phi\ - \int_{-r}^{r} cos(2\phi)^2 d\phi\right) =\bruch{6r^4}{4} \left( \int_{-r}^{r} 1\ d\phi\ - \int_{-r}^{r} \bruch{1}{2}\left(1+cos(4\phi)\right) \ d\phi\right) [/mm]
Ich komm jetzt leider nicht weiter. Wäre schön wenn jemand helfen kann.
Stimmt es bisher überhaupt?
Danke!
EasyLee
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:40 Sa 19.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo EasyLee!
Außer dass Du hier auch noch die Grenzen substituieren solltest bzw. das Ganze als unbestimmtes Integral zu lösen, kann ich keinen Fehler entdecken.
Zerlege nun das letzte Integral:
[mm]... \ = \ \bruch{6r^4}{4} \left[ \ \integral{1\ d\varphi} \ - \ \integral{\bruch{1}{2}\left(1+\cos(4\varphi)\right) \ d\varphi} \ \right] \ = \ \bruch{6r^4}{4} \left[ \ \integral{1\ d\varphi} \ - \ \integral{\bruch{1}{2} \ d\varphi} - \integral{\cos(4\varphi) \ d\varphi} \ \right] \ = \ \bruch{6r^4}{4} \left[ \ \bruch{1}{2}*\integral{1 \ d\varphi} - \integral{\cos(4\varphi) \ d\varphi} \ \right] \ = \ ...[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:50 Sa 19.05.2007 | | Autor: | EasyLee |
Hallo!
Vielen Dank für die schnelle Hilfe. Unbestimmt habe ich es sogar
gelöst, doch jetz hab ich eben mit dem substituieren der Grenzen
Probleme.
Wie sehen denn meine neuen Grenzen aus?
$ [mm] \int_{-r}^{r}6x^2\wurzel{r^2-x^2}dx [/mm] $
$ [mm] x=rsin(\phi) [/mm] $ $ [mm] dx=rcos(\phi) d\phi [/mm] $
Weiß gar nicht wie? Muss doch meine alten Grenzen in $ [mm] x=rsin(\phi) [/mm] $
einsetzenoder? aber wie? Hab ich dann unten [mm] -r\sin(\phi) [/mm] oder wie?
Evtl. kann jemand ein paar Worte dazu schreiben. Merke schon länger
das ich da was nicht verstanden hab.
Vielen Dank
EasyLee
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:03 Sa 19.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo EasyLee!
Du hast doch oben selber geschrieben, dass gilt: $ [mm] \varphi [/mm] \ = \ [mm] \varphi(x) [/mm] \ = \ [mm] \sin\left(\bruch{x}{r}\right)^{-1} [/mm] \ = \ [mm] \arcsin\left(\bruch{x}{r}\right)$
[/mm]
Damit erhältst Du für Deine neuen Integrationsgrenzen:
$ [mm] \varphi_1 [/mm] \ = \ [mm] \varphi(-r) [/mm] \ = \ [mm] \arcsin\left(\bruch{-r}{r}\right) [/mm] \ = \ [mm] \arcsin(-1) [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{\pi}{2}$
[/mm]
$ [mm] \varphi_2 [/mm] \ = \ [mm] \varphi(+r) [/mm] \ = \ [mm] \arcsin\left(\bruch{r}{r}\right) [/mm] \ = \ [mm] \arcsin(+1) [/mm] \ = \ [mm] +\bruch{\pi}{2}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:18 Sa 19.05.2007 | | Autor: | EasyLee |
Hast mit sehr geholfen! Mal sehen ob mir das mit dem substituieren der
Grenzen beim nächsten mal noch Probleme mach.
Ciao
EasyLee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:24 Sa 19.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo EasyLee!
Alternativ kann man natürlich auch am Ende des Integrals wieder resubstituieren mit [mm] $\varphi [/mm] \ = \ [mm] \arcsin\left(\bruch{x}{r}\right)$ [/mm] .
Für Dein Integral habe ich in meiner Formelsammlung gefunden:
[mm] $\integral{x^2*\wurzel{r^2-x^2} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x}{8}*\wurzel{r^2-x^2}*\left(2x^2-r^2\right)+\bruch{r^4}{8}*\arcsin\left(\bruch{x}{r}\right) [/mm] + C$
Gruß
Loddar
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