eigenwerte / eigenvektoren < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:03 Sa 06.10.2007 | | Autor: | hooover |
| Aufgabe | Sei [mm] B:=\pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 }.
[/mm]
Für [mm] \alpha\in\IR, [/mm] berechnen Sie [mm] e^{\alpha B}. [/mm] |
Hallo liebe Leute,
ich habe für diese Aufgabe auch ne Lsg., diese ist aber sehr knap gehalten.
Mein Problem ist das ich nicht nachvollziehen kann, wie man von den Eigenwerten auf die EIgenvektoren kommt.
Ich zeig euch mal meine Rechnung:
1. [mm] (B-\lambda E_{2})
[/mm]
[mm] =\pmat{ -\lambda & -1 \\ 1 & -\lambda }
[/mm]
[mm] |det(B-\lambda E_{2})|=\lambda^2+1
[/mm]
das char. Polynom ist [mm] p(x)=\lambda^2+1
[/mm]
p(x)=0
[mm] 0=\lambda^2+1
[/mm]
[mm] \lambda_{1}=i
[/mm]
[mm] \lambda_{2}=-i
[/mm]
also sind die Eigenwerte [mm] \lambda_{1}=i, \lambda_{2}=-i
[/mm]
2.
Die Eigenwerte jetzt einsetzen, macht:
[mm] (B-iE_{2})\vec{x}=\pmat{ i & -1 \\ 1 & i }\gdw(iII-I)\pmat{ i & -1 \\ 0 & 0 }
[/mm]
und ich erhale aus der ersten Zeile:
[mm] ix_{1}-x_{2}=0 [/mm] / + [mm] x_{2}
[/mm]
[mm] ix_{1}=x_{2} [/mm] / : i
[mm] x_{1}=\bruch{x_{2}}{i} [/mm] , das mit -i erweitern macht
[mm] x_{1}=x_{2}(-i)
[/mm]
[mm] \Rightarrow\vec{x}=\vektor{x_{2}(-i) \\ x_{2}}
[/mm]
das stimmt aber nicht mit meiner Lösung überein.
Wo hab ich den hier den Fehler gemacht?
Vielen Dank für eure Hilfe
mfg hooover
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:25 Sa 06.10.2007 | | Autor: | Ernie |
Hey, dass sieht schon ganz gut aus! Du hast nur nen kleinen Umformungsfehler bei der Bestimmung deiner Eigenvektoren gemacht
! Ich will Dir jetzt nicht alles explizit vorrechnen, nur so viel, es gibt unendlich viele solcher Eigenvektoren.
Einer ist z.B.:
x = [mm] \vektor{-1 \\ i}
[/mm]
LG
|
|
|
| |
|
Hallo hooover,
> Sei [mm]B:=\pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 }.[/mm]
>
> Für [mm]\alpha\in\IR,[/mm] berechnen Sie [mm]e^{\alpha B}.[/mm]
> Hallo liebe
> Leute,
>
> ich habe für diese Aufgabe auch ne Lsg., diese ist aber
> sehr knap gehalten.
>
> Mein Problem ist das ich nicht nachvollziehen kann, wie man
> von den Eigenwerten auf die EIgenvektoren kommt.
>
> Ich zeig euch mal meine Rechnung:
>
> 1. [mm](B-\lambda E_{2})[/mm]
>
> [mm]=\pmat{ -\lambda & -1 \\ 1 & -\lambda }[/mm]
>
> [mm]|det(B-\lambda E_{2})|=\lambda^2+1[/mm]
>
> das char. Polynom ist [mm]p(x)=\lambda^2+1[/mm]
>
> p(x)=0
>
> [mm]0=\lambda^2+1[/mm]
>
> [mm]\lambda_{1}=i[/mm]
> [mm]\lambda_{2}=-i[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
>
> also sind die Eigenwerte [mm]\lambda_{1}=i, \lambda_{2}=-i[/mm]
>
> 2.
>
> Die Eigenwerte jetzt einsetzen, macht:
>
> [mm] (B-iE_{2})\vec{x}=\pmat{ i & -1 \\ 1 & i } [/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das ist doch [mm] (B\red{+}iE_{2})=(B-(-i)E_2)
[/mm]
Du bestimmst hier also den Eigenraum $Eig(B,-i)$ bzw einen Eigenvektor zu [mm] $\lambda_2=-i$
[/mm]
[mm] \gdw(iII-I)\pmat{ i & -1 \\ 0 & 0 }
[/mm]
>
> und ich erhale aus der ersten Zeile:
>
> [mm]ix_{1}-x_{2}=0[/mm] / + [mm]x_{2}[/mm]
> [mm]ix_{1}=x_{2}[/mm] / : i
> [mm]x_{1}=\bruch{x_{2}}{i}[/mm] , das mit -i erweitern macht
> [mm]x_{1}=x_{2}(-i)[/mm]
>
> [mm] \Rightarrow\vec{x}=\vektor{x_{2}(-i) \\ x_{2}} [/mm]
Also [mm] $Eig(B,-i)=\left\langle\vektor{-i\\1}\right\rangle$
[/mm]
Und damit als Eigenvektor zu [mm] $\lambda_2=-i$: $v_2=\vektor{-i\\1}$
[/mm]
Analog erhälts du für den Eigenwert [mm] $\lambda_1=i$:
[/mm]
[mm] $Eig(B,i)=Kern(B-i\mathbb{E}_2)=Kern\pmat{ -i & -1 \\ 1 & -i }=...=\left\langle\vektor{i\\1}\right\rangle$
[/mm]
Also: Eigenvektor zu [mm] $\lambda_1=i$: $v_1=\vektor{i\\1}$
[/mm]
> das stimmt aber nicht mit meiner Lösung überein. ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Wie sieht denn deine Lsg aus? Diese hier ist schon mal sehr gut 
>
> Wo hab ich den hier den Fehler gemacht?
>
> Vielen Dank für eure Hilfe
>
> mfg hooover
$B$ ist also diagonalisierbar, also ähnlich zu einer Diagonalmatrix [mm] $D=\pmat{ i & 0 \\ 0 & -i }$
[/mm]
Es gilt also [mm] $B=T\cdot{}D\cdot{}T^{-1}$, [/mm] wobei $T$ die transformierende Matrix ist, deren Spalten die Eigenvektoren von $B$ sind
Dann ist also insgesamt [mm] $e^{\alpha B}=T\cdot{}e^{\alpha D}\cdot{}T^{-1}$
[/mm]
Und Potenzen einer Diagonalmatrix lassen sich doch relativ bequem berechnen
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 Sa 06.10.2007 | | Autor: | hooover |
Vielen Dank für die Antwort.
Meine Lösung sah genau so aus
also
Als Eigenvektoren zu den Eigenwerten i, -i erhält man: [mm] \vektor{i \\ 1},\vektor{-i \\ 1}
[/mm]
,auch wenn ich das Vorzeichen in der anderen Lösung vertauscht habe kommt ja auf diese Vektoren.
Meine Lösung sagt aber: [mm] \vektor{1 \\ i},\vektor{1 \\ -i}
[/mm]
ich hab das ja mehr mal nachgeprüft bin aber nie darauf gekommen.
Also folgt daraus das die angegebene Lösung wohl falsch ist???
Naja jeder macht mal Fehler, bin mir aber oft nicht sicher, das da ganze Thema noch richtig sitzt.
1001 Dank Gruß hooover
|
|
|
| |
|
Hallo hooover,
du hattest das schon richtig berechnet.
Die angegebene Lösung ergibt sich durch Multiplikation "deiner" Eigenvektoren mit $(-i)$ bzw. mit $i$
Wenn du nen Eigenvektor $v$ hast, so ist ein Vielfaches [mm] $k\cdot{}v$ [/mm] , [mm] $k\neq [/mm] 0$ davon ja auch ein Eigenvektor (hier [mm] $k\in\IC$)
[/mm]
zB. dein einer Eigenvektor ist [mm] $v_1=\vektor{i\\1}$
[/mm]
Dann ist auch [mm] $(-i)\cdot{}v_1=(-i)\cdot{}\vektor{i\\1}=\vektor{1\\-i}$ [/mm] ein EV zum EW [mm] $\lambda_1=i$
[/mm]
Ebenso bei [mm] $v_2=\vektor{-i\\1}\Rightarrow i\cdot{}v_2=\vektor{1\\-i}$ [/mm] ist auch ein EV zu [mm] $\lambda_2=-i$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
