eigentlich diskont. Wirkung < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:35 Do 05.01.2012 | | Autor: | clee |
| Aufgabe | Sei $X$ metrischer Raum und $G$ eine Gruppe von Homöomorphismen auf $X$. Dann sind äquivalent:
$(i)$ $G$ wirkt eigentlich diskontinuierlich auf $X$ (d.h. [mm] $\forall x\in [/mm] X [mm] \forall K\subset [/mm] X$ kompakt: [mm] $\{T\in G | T(x)\cap K \not= \emptyset \}$ [/mm] ist endlich )
$(ii)$ [mm] $\forall x\in [/mm] X$: Die Bahn $Gx$ ist diskret und der Stabilisator [mm] $G_x$ [/mm] ist endlich.
$(iii)$ [mm] $\forall K\subset [/mm] X$ kompakt: [mm] $\{T\in G | T(K)\cap K \not= \emptyset \}$ [/mm] ist endlich.
$(iv)$ [mm] $\forall x\in [/mm] X [mm] \exists [/mm] V$ Umgebung von $x$: [mm] $\left( T(V)\cap V \not= \emptyset \Rightarrow T(x)=x \right)$. [/mm] |
Das ganze ist eine Übung im Buch 'Fuchsian Groups' von S.Katok. Da diese Übung recht wichtig für meinen Seminarsvortrag ist wäre ich über alle tipps und hinweise dankbar.
mein plan wäre zu zeigen: $(i) [mm] \Rightarrow [/mm] (ii) [mm] \Rightarrow [/mm] (iv) [mm] \Rightarrow [/mm] (iii) [mm] \Rightarrow [/mm] (i)$
$(i) [mm] \Rightarrow [/mm] (ii)$ (und $(ii) [mm] \Rightarrow [/mm] (i)$) habe ich.
$(ii) [mm] \Rightarrow [/mm] (iv)$ sollte irgendwie so gehen:
$Gx$ ist diskret [mm] $\Rightarrow$ $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] X [mm] \exists \epsilon [/mm] >0 : [mm] Gx\cap B_\epsilon (x)=\{x\}$ [/mm] . Wähle dann [mm] $V\subset B_{\epsilon /2} [/mm] (x)$ mit [mm] $x\in [/mm] V$ und die behauptung folgt was ich leider überhaupt nicht sehe...
lg clee
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:24 Do 05.01.2012 | | Autor: | hippias |
> Sei [mm]X[/mm] metrischer Raum und [mm]G[/mm] eine Gruppe von
> Homöomorphismen auf [mm]X[/mm]. Dann sind äquivalent:
>
> [mm](i)[/mm] [mm]G[/mm] wirkt eigentlich diskontinuierlich auf [mm]X[/mm] (d.h.
> [mm]\forall x\in X \forall K\subset X[/mm] kompakt: [mm]\{T\in G | T(x)\cap K \not= \emptyset \}[/mm]
> ist endlich )
> [mm](ii)[/mm] [mm]\forall x\in X[/mm]: Die Bahn [mm]Gx[/mm] ist diskret und der
> Stabilisator [mm]G_x[/mm] ist endlich.
> [mm](iii)[/mm] [mm]\forall K\subset X[/mm] kompakt: [mm]\{T\in G | T(K)\cap K \not= \emptyset \}[/mm]
> ist endlich.
> [mm](iv)[/mm] [mm]\forall x\in X \exists V[/mm] Umgebung von [mm]x[/mm]: [mm]\left( T(V)\cap V \not= \emptyset \Rightarrow T(x)=x \right)[/mm].
>
> Das ganze ist eine Übung im Buch 'Fuchsian Groups' von
> S.Katok. Da diese Übung recht wichtig für meinen
> Seminarsvortrag ist wäre ich über alle tipps und hinweise
> dankbar.
>
> mein plan wäre zu zeigen: [mm](i) \Rightarrow (ii) \Rightarrow (iv) \Rightarrow (iii) \Rightarrow (i)[/mm]
>
> [mm](i) \Rightarrow (ii)[/mm] (und [mm](ii) \Rightarrow (i)[/mm]) habe ich.
>
> [mm](ii) \Rightarrow (iv)[/mm] sollte irgendwie so gehen:
> [mm]Gx[/mm] ist diskret [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]\forall x \in X \exists \epsilon >0 : Gx\cap B_\epsilon (x)=\{x\}[/mm]
> . Wähle dann [mm]V\subset B_{\epsilon /2} (x)[/mm] mit [mm]x\in V[/mm] und
> die behauptung folgt was ich leider überhaupt nicht
> sehe...
>
> lg clee
Sei [mm] $T\in [/mm] G$ und [mm] $y\in T(V)\cap [/mm] V$. Dann ist $y= T(y')$ mit [mm] $y,y'\in B_{\frac{\varepsilon}{2}}(x)$. [/mm] Es folgt [mm] $d(T(x),x)\leq [/mm] d(T(x),y)+ d(x,y)= d(T(x),T(y'))+ d(x,y)= d(x,y')+ d(x,y)< ...$ und damit [mm] $T(x)\in Gx\cap B_{\varepsilon}(x)$, [/mm] sodass nach Voraussetzung usw. usf.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:03 Fr 06.01.2012 | | Autor: | clee |
vielen dank für die schöne erklärung :)
damit würden dann nur noch [mm] $(iv)\rightarrow [/mm] (iii)$ und [mm] $(iii)\rightarrow [/mm] (i)$ fehlen.
für [mm] $(iii)\rightarrow [/mm] (i)$ ist der fall [mm] $x\in [/mm] K$ ja trivial, was aber mache für die [mm] $x\not\in [/mm] K$?
wäre weiter für alle tipps und hinweise dankbar.
lg clee
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:58 Fr 06.01.2012 | | Autor: | hippias |
Sei [mm] $x\in [/mm] X$, $K$ kompakt und $H:= [mm] \{T\in G: T(x)\in K\}$. [/mm] OBdA [mm] $H\neq \emptyset$, [/mm] sodass etwa [mm] $R\in [/mm] H$. Dann ist $k:= [mm] R(x)\in [/mm] K$ und fuer alle [mm] $T\in [/mm] H$ gilt [mm] $TR^{-1}\in [/mm] G$ und [mm] $TR^{-1}(k)= T(x)\in [/mm] K$. Wende jetzt die Voraussetzung an.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:07 Fr 06.01.2012 | | Autor: | clee |
nochmals danke :)
der rest von [mm] $(iii)\rightarrow [/mm] (i)$ wäre dann doch in entwa so:
nach voraussetzung ist [mm] $\{U\in G:U(K)\cap K \not=\emptyset \}$ [/mm] endlich, also erst recht die mengen [mm] $\{U\in G:U(k)\in K\}\supset\{T\in G:TR^{-1}(k)=T(x)\in K\}$ [/mm] für feste $R$ und $k$.
fehlt also nur noch [mm] $(iv)\rightarrow [/mm] (iii)$ wo ich leider auch völlig hilflos bin :(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:39 Sa 07.01.2012 | | Autor: | hippias |
Poste einmal Deinen Ansatz; schliesslich ist es ja Deine Arbeit 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:35 Sa 07.01.2012 | | Autor: | clee |
naja ... um ehrlich zu sein bin ich jedesmal sehr früh gescheitert. mein bester ansatz war:
Sei [mm] $K\subset [/mm] X$ kompakt und [mm] $T(K)\cap K\not=\emptyset \Rightarrow \exists y,y'\in T(K)\cap [/mm] K: T(y')=y$. Nach vor. [mm] $\exists$ [/mm] Umgebung $V$ von $y'$: [mm] ($T(V)\cap V\not= \emptyset \Rightarrow [/mm] y'=T(y')=y$)
aber wie komme ich von da aus dahin, dass es nur für endlich viele [mm] $T\in [/mm] G$ möglich sein kann und vor allem wie verwende ich die Kompaktheit?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:20 Sa 14.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:14 Fr 20.01.2012 | | Autor: | clee |
Ich hab mich jetzt nochmal drangehockt und hätte gerne eure meinung ob es so richtig ist.
[mm] $(iv)\Rightarrow [/mm] (iii)$: Sei $K$ kompakt [mm] $x\in [/mm] X$ und sei [mm] $R\in \{T|T(x)\in K\}$.
[/mm]
[mm] $\Rightarrow R(x)\in [/mm] K$. Sei nun [mm] $R^{-1}(K):=K'$. [/mm] Es gilt $K'$ kompakt und [mm] $x\in [/mm] K'$.
[mm] $\Rightarrow T(K')\cap [/mm] K' [mm] \neq\emptyset$ [/mm] für endlich viele [mm] $T\in [/mm] G$ nach Vor.
[mm] $\Rightarrow T(x)\in K'=R^{-1}(K)$ [/mm] für endlich viele [mm] $T\in [/mm] G$.
[mm] $\Rightarrow RT(x)\in [/mm] K$ für endlich viele [mm] $T\in [/mm] G$. Aber da $G$ Gruppe ist existiert für jedes $U$ ein $T$ mit $U=RT$.
[mm] $\Rightarrow U(x)\in [/mm] K$ für endlich viele [mm] $T\in [/mm] G$.
zu [mm] $(iii)\Rightarrow [/mm] (i)$ hab ich mir auch nochmal gedanken gemacht komme aber nicht auf den entscheidenden widerspruch:
Sei $K$ kompakt, dann [mm] $\exists x_1,...,x_n\in [/mm] K [mm] \exists V_1,...,V_n: V_1,...,V_n$ [/mm] eine Überdeckung von $K$ sind und $(iii)$ gilt.
Sei nun [mm] $T(K)\cap K$\neq \emptyset$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \exists [/mm] Teilfolge [mm] (l_1,...,l_m): T(V_{l_1})\cap(V_{l_1})\neq\emptyset,...,T(V_{l_m})\cap(V_{l_m})\neq\emptyset.
[/mm]
[mm] $\Rightarrow T(x_{l_1})=x_{l_1},...,T(x_{l_m})=x_{l_m}.
[/mm]
Würde das nun für unendlich viele $T$ gehen müsste ja ein widerspruch entstehen. Aber wo ist er???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:31 Sa 21.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich hab mich jetzt nochmal drangehockt und hätte gerne
> eure meinung ob es so richtig ist.
>
> [mm](iv)\Rightarrow (iii)[/mm]: Sei [mm]K[/mm] kompakt [mm]x\in X[/mm] und sei [mm]R\in \{T|T(x)\in K\}[/mm].
>
> [mm]\Rightarrow R(x)\in K[/mm]. Sei nun [mm]R^{-1}(K):=K'[/mm]. Es gilt [mm]K'[/mm]
Du meinst [mm] $R^{-1}(K)=:K'$ [/mm] oder $K' := [mm] R^{-1}(K)$.
[/mm]
> kompakt und [mm]x\in K'[/mm].
> [mm]\Rightarrow T(K')\cap K' \neq\emptyset[/mm]
> für endlich viele [mm]T\in G[/mm] nach Vor.
Moment. Du nimmst doch (iv) an und nicht (iii). Warum sollte also die Aussage von (iii) fuer $K'$ gelten?
> [mm]\Rightarrow T(x)\in K'=R^{-1}(K)[/mm] für endlich viele [mm]T\in G[/mm].
>
> [mm]\Rightarrow RT(x)\in K[/mm] für endlich viele [mm]T\in G[/mm]. Aber da [mm]G[/mm]
> Gruppe ist existiert für jedes [mm]U[/mm] ein [mm]T[/mm] mit [mm]U=RT[/mm].
> [mm]\Rightarrow U(x)\in K[/mm] für endlich viele [mm]T\in G[/mm].
Jetzt willst du ploetzlich (i) zeigen?
> zu [mm](iii)\Rightarrow (i)[/mm] hab ich mir auch nochmal gedanken
> gemacht komme aber nicht auf den entscheidenden
> widerspruch:
>
> Sei [mm]K[/mm] kompakt, dann [mm]\exists x_1,...,x_n\in K \exists V_1,...,V_n: V_1,...,V_n[/mm]
> eine Überdeckung von [mm]K[/mm] sind und [mm](iii)[/mm] gilt.
Was fuer eine Ueberdeckung? Einfach irgendeine? Oder willst du irgendwie (iv) benutzen und die Umgebungen deren Existenz dort besagt wird?
> Sei nun [mm]$T(K)\cap K$\neq \emptyset$[/mm]
> [mm]$\Rightarrow \exists[/mm]
> Teilfolge [mm](l_1,...,l_m): T(V_{l_1})\cap(V_{l_1})\neq\emptyset,...,T(V_{l_m})\cap(V_{l_m})\neq\emptyset.[/mm]
Teilfolge wovon?
Und warum sollte es ueberhaupt irgendein [mm] $l_i$ [/mm] geben, fuer dass das gilt?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:43 So 22.01.2012 | | Autor: | clee |
Mist, ich habs irgendwie geschafft die nummerierung zu vertauschen ... [mm] $(iv)\Rightarrow [/mm] (iii)$ sollte natürlich [mm] $(iii)\Rightarrow [/mm] (i)$ sein und anderst herum. tut mir leid dass ich für so eine verwirrung gesorgt hab.
>> Ich hab mich jetzt nochmal drangehockt und hätte gerne
>>eure meinung ob es so richtig ist.
>>
>> [mm](iv)\Rightarrow (iii)[/mm]: Sei [mm]K[/mm] kompakt [mm]x\in >X[/mm] und sei [mm]R\in \{T|T(x)\in K\}[/mm].
>>
>> [mm]\Rightarrow R(x)\in K[/mm]. Sei nun [mm]R^{-1}(K):=K'[/mm]. Es >gilt [mm]K'[/mm]
>Du meinst [mm] $R^{-1}(K)=:K'$ [/mm] oder $K' := [mm] R^{-1}(K)$.
[/mm]
Ja, ich meine $K' := [mm] R^{-1}(K)$. [/mm] Schon wieder ein tippfehler.
>> zu [mm](iii)\Rightarrow (i)[/mm] hab ich mir auch nochmal gedanken
>> gemacht komme aber nicht auf den entscheidenden
>> widerspruch:
>>
>> Sei [mm]K[/mm] kompakt, dann [mm]\exists x_1,...,x_n\in K \exists V_1,...,V_n: V_1,...,V_n[/mm]
>> eine Überdeckung von [mm]K[/mm] sind und [mm](iii)[/mm] gilt.
>Was fuer eine Ueberdeckung? Einfach irgendeine? Oder willst du >irgendwie (iv) benutzen und die Umgebungen deren Existenz dort >besagt wird?
naja, ich weiß ja dass [mm] $\forall x\in K\exists [/mm] V: (iv)$ gilt. Die überdecken mir $K$. Da $K$ aber kompakt ist reichen schon endlich vielen von diesen offenen mengen $V$.
>> Sei nun [mm]$T(K)\cap K$\neq \emptyset$[/mm]
>> [mm]$\Rightarrow \exists[/mm]
>> Teilfolge [mm](l_1,...,l_m): T(V_{l_1})\cap(V_{l_1})\neq\emptyset,...,T(V_{l_m})\cap(V_{l_m})\neq\emptyset.[/mm]
>Teilfolge wovon?
hier meine ich teilfolge von $1,...,n$, wobei teilmenge wohl der richtigere ausdruck wäre.
>Und warum sollte es ueberhaupt irgendein [mm] $l_i$ [/mm] geben, fuer dass das gilt?
Wenn [mm] $T(K)\cap K\neq \emptyset$ [/mm] gilt, dann gibt es ja ein [mm] $m\geq [/mm] 1$ und punkte [mm] $y_1,..,y_m$ [/mm] und [mm] $z_1,..,z_m: T(y_i)=z_i$. [/mm] Jetzt muss es [mm] $l_i$ [/mm] geben so, dass [mm] $y_i\in T(V_{l_i})$ [/mm] und [mm] $z_i\in V_{l_i} [/mm] gilt, da [mm] (V_k)_{k=1,...,n} [/mm] ja eine überdeckung von $K$ war.
tut mir nochmal sehr leid, dass ich die nummerierung vertauscht habe.
lg clee
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:49 So 22.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Mist, ich habs irgendwie geschafft die nummerierung zu
> vertauschen ... [mm](iv)\Rightarrow (iii)[/mm] sollte natürlich
> [mm](iii)\Rightarrow (i)[/mm] sein und anderst herum. tut mir leid
> dass ich für so eine verwirrung gesorgt hab.
Ok.
> >Was fuer eine Ueberdeckung? Einfach irgendeine? Oder
> willst du >irgendwie (iv) benutzen und die Umgebungen deren
> Existenz dort >besagt wird?
>
> naja, ich weiß ja dass [mm]\forall x\in K\exists V: (iv)[/mm] gilt.
> Die überdecken mir [mm]K[/mm]. Da [mm]K[/mm] aber kompakt ist reichen schon
> endlich vielen von diesen offenen mengen [mm]V[/mm].
Das musst du auch dabeischreiben.
> >Und warum sollte es ueberhaupt irgendein [mm]l_i[/mm] geben, fuer
> dass das gilt?
>
> Wenn [mm]$T(K)\cap K\neq \emptyset$[/mm] gilt, dann gibt es ja ein
> [mm]$m\geq[/mm] 1$ und punkte [mm]$y_1,..,y_m$[/mm] und [mm]$z_1,..,z_m: T(y_i)=z_i$.[/mm]
Einfach irgendwelche Punkte? Oder sollen die noch eine gewisse Eigenschaft haben? Und was hat das ganze mit $T(K) [mm] \cap [/mm] K [mm] \neq \emptyset$ [/mm] zu tun?
Du musst bei einem Beweis genau hinschreiben, was da passiert und was du machst/vorhast, und nicht wichtige Dinge weglassen!
> Jetzt muss es [mm]$l_i$[/mm] geben so, dass [mm]$y_i\in T(V_{l_i})$[/mm] und
> [mm]$z_i\in V_{l_i}[/mm] gilt, da [mm](V_k)_{k=1,...,n}[/mm] ja eine
> überdeckung von $K$ war.
Klar. Aber warum gilt dann [mm] $V_{l_i} \cap T(V_{l_i}) \neq \empyset$?
[/mm]
LG Felix
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(Frage) überfällig | | Datum: | 19:20 So 22.01.2012 | | Autor: | clee |
> > Wenn [mm]$T(K)\cap K\neq \emptyset$[/mm] gilt, dann gibt es ja ein
> > [mm]$m\geq[/mm] 1$ und punkte [mm]$y_1,..,y_m$[/mm] und [mm]$z_1,..,z_m: T(y_i)=z_i$.[/mm]
>
> Einfach irgendwelche Punkte? Oder sollen die noch eine
> gewisse Eigenschaft haben? Und was hat das ganze mit [mm]T(K) \cap K \neq \emptyset[/mm]
> zu tun?
da war ich ja schon wieder schlampig ... es muss [mm] $y_1,..,y_m,z_1,..,z_m\in [/mm] K$ gelten. wenn $T(K) [mm] \cap [/mm] K [mm] \neq \emptyset$ [/mm] gilt muss es ja mindestens einen punkt [mm] $y_1\in [/mm] K$ geben, dessen Bild [mm] $T(y_1)$ [/mm] wieder in $K$ liegt. das wollte ich ausdrücken.
> > Jetzt muss es [mm]$l_i$[/mm] geben so, dass [mm]$y_i\in T(V_{l_i})$[/mm] und
> > [mm]$z_i\in V_{l_i}[/mm] gilt, da [mm](V_k)_{k=1,...,n}[/mm] ja eine
> > überdeckung von [mm]K[/mm] war.
>
> Klar. Aber warum gilt dann [mm]V_{l_i} \cap T(V_{l_i}) \neq \empyset[/mm]?
die aussage war wohl quatsch. es gibt ja gar keinen grund dass der schnitt nicht leer sein sollte. damit wäre dann wohl auch dieser ansatz kaputt.
bin grad total frustriert und hilflos bei der aufgabe. wäre sehr dankbar für einen ansatz oder tipps.
lg clee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:14 Mi 25.01.2012 | | Autor: | hippias |
Ich habe das Gefuehl, dass die Behauptung irgendwie nicht stimmt. Z.B. kann ich die Aequivalenz von i) und ii) nur mit der zusaetzlichen Voraussetzung, dass $X$ lokal-kompakt ist, beweisen. Ferner ist iv) doch schon aequivalent zu
ii') [mm] $\forall x\in [/mm] X$ [mm] $x^{G}$ [/mm] (= Bahn von $x$ unter $G$) ist diskret:
[mm] $ii')\rightarrow [/mm] iv)$: Sei [mm] $x\in [/mm] X$. Es ex. [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] mit [mm] $B_{\varepsilon}(x)\cap x^{G}= \{x\}$. [/mm] Setze $V:= [mm] B_{\frac{\varepsilon}{2}}(x)$ [/mm] und sei [mm] $a\in [/mm] V$. Ist [mm] $T\in [/mm] G$ mit [mm] $T(a)\in [/mm] V$, so folgt [mm] $d(x,T(x))\leq [/mm] d(x,T(a))+ d(T(a), T(x))< [mm] \varepsilon$, [/mm] d.h [mm] $T(x)\in B_{\varepsilon}(x)\cap x^{G}= \{x\}$. [/mm] Also $T(x)= x$.
[mm] $iv)\rightarrow [/mm] ii')$: Sei [mm] $x\in [/mm] X$ und $V$ offene Umgebung von $x$ wie in der Voraussetzung. Sei [mm] $y\in x^{G}$, [/mm] d.h. $y= T(x)$ fuer ein [mm] $T\in [/mm] G$. Dann ist $W:= T(V)$ offene Umgebung von $y$ und fuer alle [mm] $S\in [/mm] G$ mit [mm] $S(x)\in [/mm] W$ folgt [mm] $T^{-1}S(x)\in [/mm] V$, sodass nach Voraussetzung [mm] $T^{-1}S(x)= [/mm] x$ folgt, also $S(x)= T(x)= y$. Damit ist [mm] $x^{G}\cap [/mm] W= [mm] \{y\}$ [/mm] und [mm] $x^{G}$ [/mm] diskret.
Andererseits kenne ich mich in der Materie nicht besonders gut aus, sodass sehr leicht ein Irrtum meinerseits vorliegen kann. Deshalb hoffe ich, dass diese Mitteilung nicht zu grosse Verwirrung erzeugt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:05 Mi 25.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin hippias!
> Ich habe das Gefuehl, dass die Behauptung irgendwie nicht
> stimmt. Z.B. kann ich die Aequivalenz von i) und ii) nur
> mit der zusaetzlichen Voraussetzung, dass [mm]X[/mm] lokal-kompakt
> ist, beweisen.
Das haengt davon ab, wie man "diskrete Teilmenge" nun genau definiert. Man kann es auch so definieren: eine Teilmenge $M [mm] \subseteq [/mm] X$ heisst diskret, falls zu jeder kompakten Menge $K [mm] \subseteq [/mm] X$ der Schnitt $M [mm] \cap [/mm] K$ endlich ist.
In lokalkompakten Raeumen ist es aequivalent zur Standard-Definition von diskret. In anderen Raeumen nicht (unbedingt). Diese Definition von diskret ist allerdings glaube ich nicht sehr ueblich, aber moeglicherweise hatte derjenige der die Aussage hingeschrieben hat diese im Hinterkopf...
> Andererseits kenne ich mich in der Materie nicht besonders
> gut aus, sodass sehr leicht ein Irrtum meinerseits
> vorliegen kann. Deshalb hoffe ich, dass diese Mitteilung
> nicht zu grosse Verwirrung erzeugt.
Da geht's mir nicht anders
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:57 Mi 25.01.2012 | | Autor: | hippias |
Aha, danke fuer den Hinweis! Ich habe mich schon gefragt, wie die Kompaktheit ins Spiel kommen soll, aber mit dieser Definition koennte es vielleicht besser klappen. Nur der Vollstaendigkeit halber: Einen Fehler in dem Beweis der Aequivalenz von ii)' und iv), aufbauend auf "meiner" Definition von Diskretheit, hast Du nicht entdeckt, oder?
Gruesse,
hippias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:14 Mi 25.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin hippias,
> Nur der Vollstaendigkeit halber: Einen Fehler in dem Beweis der
> Aequivalenz von ii)' und iv), aufbauend auf "meiner"
> Definition von Diskretheit, hast Du nicht entdeckt, oder?
nein, aber hauptsaechlich weil ich mir die nicht genau angeschaut hatte, mangels Zeit
Das hab ich aber jetzt nachgeholt, und ich hab immer noch keinen Fehler entdeckt. Wenn man die Standard-Definition von diskret nimmt (oder wenn der Raum lokalkompakt ist, dann stimmen sie eh ueberein), stimmt die Aequivalenz von ii') und iv).
Die Frage ist natuerlich jetzt: impliziert ii') bereits ii)? Da kann man jedoch sehr einfach ein Beispiel fuer einen schoenen Raum finden (der alle Eigenschaften hat die man sich wuenscht, ausser das er zusammenhaengend ist) und eine zugehoerige Gruppe, die das eben nicht erfuellt. (Auf der einen Zusammenhangskomponente hat man immer die Identitaet, auf der anderen halt irgendeine unendliche eigentlich diskontinuierlich wirkende Gruppe. Nimmt man einen Punkt aus der ersten Zusammenhangskomponente, so ist der Stabilisator also unendlich.)
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:24 Mi 25.01.2012 | | Autor: | hippias |
> Moin hippias,
>
> > Nur der Vollstaendigkeit halber: Einen Fehler in dem Beweis
> der
> > Aequivalenz von ii)' und iv), aufbauend auf "meiner"
> > Definition von Diskretheit, hast Du nicht entdeckt, oder?
>
> nein, aber hauptsaechlich weil ich mir die nicht genau
> angeschaut hatte, mangels Zeit
>
> Das hab ich aber jetzt nachgeholt, und ich hab immer noch
> keinen Fehler entdeckt.
Besten Dank fuer die Muehe; ist ja auch fuer clee eine wichtige Information.
> Wenn man die Standard-Definition
> von diskret nimmt (oder wenn der Raum lokalkompakt ist,
> dann stimmen sie eh ueberein), stimmt die Aequivalenz von
> ii') und iv).
>
> Die Frage ist natuerlich jetzt: impliziert ii') bereits
> ii)? Da kann man jedoch sehr einfach ein Beispiel fuer
> einen schoenen Raum finden (der alle Eigenschaften hat die
> man sich wuenscht, ausser das er zusammenhaengend ist) und
> eine zugehoerige Gruppe, die das eben nicht erfuellt. (Auf
> der einen Zusammenhangskomponente hat man immer die
> Identitaet, auf der anderen halt irgendeine unendliche
> eigentlich diskontinuierlich wirkende Gruppe. Nimmt man
> einen Punkt aus der ersten Zusammenhangskomponente, so ist
> der Stabilisator also unendlich.)
>
> LG Felix
>
Alles andere haette mich wahrscheinlich sehr bestuertzt! Uebrigens gilt im Fall Stabilisator [mm] $G_{x}$ [/mm] endlich fuer alle $x$ die Aequivalenz: [mm] $\{T\in G| T(x)\in K\}$ [/mm] endlich [mm] $\iff$ $x^{G}\cap [/mm] K$ endlich [mm] ($x^{G}$ [/mm] der Orbit von $x$).
Und das hat doch schon wieder Aehnlichkeit mit der anderen Definition von Diskretheit...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Mi 25.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:55 So 22.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
Ich hab den ersten Teil mal angepasst.
> [mm](iii)\Rightarrow (i)[/mm]: Sei [mm]K[/mm] kompakt [mm]x\in X[/mm] und sei [mm]R\in \{T|T(x)\in K\}[/mm].
Du hast also $x [mm] \in [/mm] X$ und $K [mm] \subseteq [/mm] X$ kompakt gegeben und willst zeigen [mm] $|\{ T \in G \mid T(x) \in K \}| [/mm] < [mm] \infty$ [/mm] (ich vermute, dass meintest du mit der Bedingung in (i), und nicht [mm] $\{ T \in G \mid T(x) \cap K \neq \emptyset \}$).
[/mm]
> [mm]\Rightarrow R(x)\in K[/mm]. Sei nun [mm]R^{-1}(K)=:K'[/mm]. Es gilt [mm]K'[/mm]
> kompakt und [mm]x\in K'[/mm].
> [mm]\Rightarrow T(K')\cap K' \neq\emptyset[/mm]
> für endlich viele [mm]T\in G[/mm] nach Vor.
> [mm]\Rightarrow T(x)\in K'=R^{-1}(K)[/mm] für endlich viele [mm]T\in G[/mm].
>
> [mm]\Rightarrow RT(x)\in K[/mm] für endlich viele [mm]T\in G[/mm]. Aber da [mm]G[/mm]
> Gruppe ist existiert für jedes [mm]U[/mm] ein [mm]T[/mm] mit [mm]U=RT[/mm].
> [mm]\Rightarrow U(x)\in K[/mm] für endlich viele [mm]T\in G[/mm].
Sieht ok aus.
LG Felix
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