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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:35 Do 17.05.2007 | | Autor: | CPH |
| Aufgabe | Sei K ein Körper, sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum, sei f : V [mm] \to [/mm] V ein Endomorphismus,
und sei W ein f-invarianter Untervektorraum von V .
1. Zeigen Sie :
(f ist diagonalisierbar.) => [mm] (f|_{W} [/mm] : W [mm] \to [/mm] W ist diagonalisierbar.)
2. Zeigen Sie :
(f ist trigonalisierbar.)=> [mm] (f|_W [/mm] : W [mm] \to [/mm] W ist trigonalisierbar.) |
Hallo, ich würd sagen, das das logisch klingt, aber wie soll man das zeigen.
Ich denke, wenn ich eine Funktion einschränke müssten die eigenschaften sich doch vererben.
Vielen Dank für eure Hilfe
MfG
CPH
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> Sei K ein Körper, sei V ein endlich-dimensionaler
> K-Vektorraum, sei f : V [mm]\to[/mm] V ein Endomorphismus,
> und sei W ein f-invarianter Untervektorraum von V .
> 1. Zeigen Sie :
> (f ist diagonalisierbar.) => [mm](f|_{W}[/mm] : W [mm]\to[/mm] W ist
> diagonalisierbar.)
Hallo,
mal grob eine Idee dazu:
V ist diagonalisierbar, hat also eine Basis aus Eigenvektoren [mm] (e_1,...e_n)
[/mm]
[mm] W= [/mm] ist invarianter Unterraum.
Basisaustauschsatz: es ist [mm] (w_1,...,w_m,e_{m+1},...,e_n) [/mm] Basis von V.
Also [mm] V=W\oplus
[/mm]
Was wäre, wenn es in W nicht m linear unabhängige Eigenvektoren von f gäbe?
Gruß v. Angela
> 2. Zeigen Sie :
> (f ist trigonalisierbar.)=> [mm](f|_W[/mm] : W [mm]\to[/mm] W ist
> trigonalisierbar.)
> Hallo, ich würd sagen, das das logisch klingt, aber wie
> soll man das zeigen.
>
> Ich denke, wenn ich eine Funktion einschränke müssten die
> eigenschaften sich doch vererben.
>
> Vielen Dank für eure Hilfe
>
> MfG
>
> CPH
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:43 Do 17.05.2007 | | Autor: | CPH |
Hallo, erst mal vielen Dank für deine Idee, ich hab da noch ein paar fragen:
> > Sei K ein Körper, sei V ein endlich-dimensionaler
> > K-Vektorraum, sei f : V [mm]\to[/mm] V ein Endomorphismus,
> > und sei W ein f-invarianter Untervektorraum von V .
> > 1. Zeigen Sie :
> > (f ist diagonalisierbar.) => [mm](f|_{W}[/mm] : W [mm]\to[/mm] W ist
> > diagonalisierbar.)
>
> Hallo,
>
> mal grob eine Idee dazu:
>
> V ist diagonalisierbar, hat also eine Basis aus
> Eigenvektoren [mm](e_1,...e_n)[/mm]
>
> [mm]W=[/mm] ist invarianter Unterraum.
>
> Basisaustauschsatz: es ist [mm](w_1,...,w_m,e_{m+1},...,e_n)[/mm]
> Basis von V.
>
> Also [mm]V=W\oplus [/mm]
>
> Was wäre, wenn es in W nicht m linear unabhängige
> Eigenvektoren von f gäbe?
>
> Gruß v. Angela
>
>
Das heißt also, ich habe eine Basis für w aus eigenvektoren, daher ist [mm] f|_w [/mm] diagonalisierbar?
>
>
>
>
> > 2. Zeigen Sie :
> > (f ist trigonalisierbar.)=> [mm](f|_W[/mm] : W [mm]\to[/mm] W ist
> > trigonalisierbar.)
> > Hallo, ich würd sagen, das das logisch klingt, aber wie
> > soll man das zeigen.
Ich habe jedoch hier keine Basis aus Eigenvektoren, wie kann ich es hier machen?
Was bedeutet eigndlich W ist f-invariant für die basis von W ??
wie hängt dies alles zusammen?
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> > > Sei K ein Körper, sei V ein endlich-dimensionaler
> > > K-Vektorraum, sei f : V [mm]\to[/mm] V ein Endomorphismus,
> > > und sei W ein f-invarianter Untervektorraum von V .
> > > 1. Zeigen Sie :
> > > (f ist diagonalisierbar.) => [mm](f|_{W}[/mm] : W [mm]\to[/mm] W ist
> > > diagonalisierbar.)
> >
> > Hallo,
> >
> > mal grob eine Idee dazu:
> >
> > V ist diagonalisierbar, hat also eine Basis aus
> > Eigenvektoren [mm](e_1,...e_n)[/mm]
> >
> > [mm]W=[/mm] ist invarianter Unterraum.
> >
> > Basisaustauschsatz: es ist [mm](w_1,...,w_m,e_{m+1},...,e_n)[/mm]
> > Basis von V.
> >
> > Also [mm]V=W\oplus [/mm]
> >
> > Was wäre, wenn es in W nicht m linear unabhängige
> > Eigenvektoren von f gäbe?
> >
> > Gruß v. Angela
> >
> >
>
>
> Das heißt also, ich habe eine Basis für w aus
> eigenvektoren, daher ist [mm]f|_w[/mm] diagonalisierbar?
Ja.
Wobei die "was wäre, wenn"-Frage vorher zu beantworten ist.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:18 Do 17.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei K ein Körper, sei V ein endlich-dimensionaler
> K-Vektorraum, sei f : V [mm]\to[/mm] V ein Endomorphismus,
> und sei W ein f-invarianter Untervektorraum von V .
> 1. Zeigen Sie :
> (f ist diagonalisierbar.) => [mm](f|_{W}[/mm] : W [mm]\to[/mm] W ist
> diagonalisierbar.)
> 2. Zeigen Sie :
> (f ist trigonalisierbar.)=> [mm](f|_W[/mm] : W [mm]\to[/mm] W ist
> trigonalisierbar.)
Ein anderer Zugang zu dieser Aufgabe:
$f$ ist genau dann trigonalisierbar, wenn sein charakteristisches Polynom in Linearfaktoren zerfaellt.
Und $f$ ist genau dann diagonalisierbar, wenn sein Minimalpolynom in paarweise verschiedene Linearfaktoren zerfaellt.
Wenn du das weisst, kannst du wie folgt vorgehen:
(a) Zeige, dass das charakteristische Polynom von [mm] $f|_W$ [/mm] ein Teiler des char. Polynoms von $f$ ist.
(b) Zeige, dass das Minimalpolynom von [mm] $f|_W$ [/mm] ein Teiler des Minimalpolynoms von $f$ ist.
Damit bekommst du dann sehr schnell die geforderten Implikationen.
Zu (a): Wie man das zeigt: Waehle eine Basis [mm] $(w_1, \dots, w_k)$ [/mm] von $W$ und setze sie zu einer Basis $B = [mm] (w_1, \dots, w_k, v_{k+1}, \dots, v_n)$ [/mm] von $V$ fort. Wie sieht die Matrixdarstellung von $f$ bzgl. $B$ aus? Wie kannst du mit dieser die char. Polynome von $f$ und [mm] $f|_W$ [/mm] beschreiben?
Und zu (b): Ist $m$ das Minimalpolynom von $f$, so gilt $m(f) = 0$ und auch [mm] $m(f|_W) [/mm] = 0$ (warum?). Was folgt daraus fuer das Minimalpolynom von [mm] $f|_W$?
[/mm]
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:44 Do 17.05.2007 | | Autor: | CPH |
Vielen Dank, jetzt hab ich's glaub ich.
MfG
Cph
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