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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:48 Mi 19.03.2008 | | Autor: | Cabby |
| Aufgabe | In [mm] M(2,\IR) [/mm] seien die zwei Matrizen
A = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0}
[/mm]
B = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0}
[/mm]
a) Berechnen Sie [mm] e^A, e^B, e^{A+B} [/mm] und [mm] e^Ae^B
[/mm]
b) Berechnen Sie [mm] e^{tC} [/mm] für C = [mm] \pmat{0 & 1 \\ -1 & 0} [/mm] und zeigen Sie [mm] \frac{d}{dt}(e^{tC}) [/mm] = C * [mm] e^{tC} [/mm] |
Hallo
Wir hatten das [mm] e^A [/mm] definiert als = [mm] \sum_{k=0}^{\infty} A^k/k!
[/mm]
Ich dachte, ich muss hier erst einmal den Nilpotenzgrad berechnen, den gibt es bei A aber zum Beispiel gar nicht. Wäre der Nilpotenzgrad 2 gewesen, dann wäre [mm] A^3 [/mm] ja Null und mein Problem wäre schon fast weg. Weil mich nämlich das [mm] \infty [/mm] nervt.
[mm] e^A [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{\infty} A^k/k! [/mm] = [mm] \frac{\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0}^0}{0!} [/mm] + [mm] \frac{\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0}^1}{1!} [/mm] + [mm] \frac{\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0}^2}{2!}
[/mm]
Im Zähler steht gar keine Matrix oder?Was ist nach unesrer Definition dann das A? Weils an der Definition harpert, kann ich a nicht
Bei b) dachte ich mir, daß wäre vollkommen logisch nach der Kettenregel. Aber irgendwie kann ich auch das nicht zeigen. Nachdem ich die Definition schon herausgesucht hatte
[mm] e^A [/mm] := [mm] \sum_{k=0}^{\infty} A^k/k!
[/mm]
Wie war davon denn noch mal die Ableitung eines solchen Summenterms?
Meine Rechnung [mm] e^{tA}' [/mm] = [mm] (e^t)'*(tA)' *e^{tA} [/mm] = [mm] A*e^{tA} [/mm] ist vermutlich falsch?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:03 Mi 19.03.2008 | | Autor: | Manatu |
Hallo Cabby,
grundsätzlich sind deine Ansätze nicht so schlecht. Hier ein paar weitere Ideen:
a) Du stellst richtig fest, dass diese Matrix nicht nilpotent ist. Aber konkreter stellen wir fest, dass A idempotent ist, d.h. es gilt [mm]A^k=A, \forall k>0[/mm].
Damit gilt weiter:
[mm]e^A=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{A^k}{k!}}=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{A}{k!}}
= \sum_{k=0}^{\infty}{\pmat{\frac{1}{k!}&0\\0&0}}
= \pmat{\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{k!}}&0\\0&0}[/mm]
Die richtige Lösung deiner Aufgabe erhälst du also über den Grenzwert der Reihe [mm] $\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{k!}}$.
[/mm]
Die anderen Rechnungen in a) gehen ähnlich bzw. sogar einfacher, wenn die Matrix nilpotent ist (dann ist die Summe ja eine endliche Summe, wie du schon selbst richtig erkannt hast).
b) Die Ableitung eines Summenterms kannst du komponentenweise und dann termweise bestimmen, wie bei Polynomen auch. Ich glaube nicht, dass man es auch gleich als Matrix-Summe schreiben kann, in der folgenden Weise. Aber vielleicht führt das auch zum Ziel:
[mm]\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{A^k}{k!}}\frac{d}{dt}
=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{k+1}{(k+1)!}A^k}=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{A^k}{k!}}
[/mm]
Im Zweifelsfall würde ich halt die Summ in die einzelnen Komponenten der Matrix reinziehen und dann ableiten, genau wie hier oben.
Wenn du mal die ersten 5 Potenzen der Matrix ausgerechnet hast, weißt du, wie die Summe insgesamt komponentenweise aussieht. Hier die Ergebnisse:
[mm](tC)^1 = \pmat{0&t\\-t&0}[/mm]
[mm](tC)^2 = \pmat{-t^2&0\\0&-t^2}[/mm]
[mm](tC)^3 = \pmat{0&-t^3\\t^3&0}[/mm]
[mm](tC)^4 = \pmat{t^4&0\\0&t^4}[/mm]
[mm](tC)^5 = \pmat{0&t^5\\-t^5&0}[/mm]
[mm]\vdots[/mm]
Daraus ergibt sich dann
[mm]\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{(tC)^k}{k!}}
= \pmat{\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{(-1)^k t^{2k}}{(2k)!}}&\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{(-1)^k t^{2k+1}}{(2k+1)!}}\\
\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{k+1} t^{2k+1}}{(2k+1)!}}&\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{(-1)^k t^{2k}}{(2k)!}}}
[/mm]
[mm]
=\pmat{\cos(t)&\sin(t)\\-\sin(t)&\cos(t)}
[/mm]
Davon sollte sich die Ableitung leicht bilden lassen ... Ich meine, damit müsstest du weiter kommen.
Deine Rechnung am Schluss ist im mittleren Term wirklich falsch (wie ich das verstehe). Der Rest ist das, worauf diese Aufgabe wohl hinausläuft: Wenn C bzw. A keine Matrix sondern reelle Zahlen wären, dann ginge es so. Aber wenn das Matrizen sind, kennst du wahrscheinlich keinen Satz, der dir diese Rechnung erlaubt. Dass diese Rechnung aber trotzdem erlaubt ist, genau das ist das, was du hier in b) zeigen sollst ...
Ich hoffe, das hilft dir weiter. Sonst wieder fragen.
Mathematische Grüße,
Manatu
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 Mi 19.03.2008 | | Autor: | Cabby |
Servus
> a) Du stellst richtig fest, dass diese Matrix nicht
> nilpotent ist. Aber konkreter stellen wir fest, dass A
> idempotent ist, d.h. es gilt [mm]A^k=A, \forall k>0[/mm].
> Damit
> gilt weiter:
>
> [mm]e^A=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{A^k}{k!}}=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{A}{k!}}
= \sum_{k=0}^{\infty}{\pmat{\frac{1}{k!}&0\\0&0}}
= \pmat{\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{k!}}&0\\0&0}[/mm]
ISt die Lösung für [mm] e^A [/mm] dann lediglich [mm] \pmat{e & 0 \\ 0 & 0}?
[/mm]
>
> b) Die Ableitung eines Summenterms kannst du
> komponentenweise und dann termweise bestimmen, wie bei
> Polynomen auch. Ich glaube nicht, dass man es auch gleich
> als Matrix-Summe schreiben kann, in der folgenden Weise.
> Aber vielleicht führt das auch zum Ziel:
>
> [mm]\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{A^k}{k!}}\frac{d}{dt}
=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{k+1}{(k+1)!}A^k}=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{A^k}{k!}}
[/mm]
>
> Im Zweifelsfall würde ich halt die Summ in die einzelnen
> Komponenten der Matrix reinziehen und dann ableiten, genau
> wie hier oben.
>
> Wenn du mal die ersten 5 Potenzen der Matrix ausgerechnet
> hast, weißt du, wie die Summe insgesamt komponentenweise
> aussieht. Hier die Ergebnisse:
> [mm](tC)^1 = \pmat{0&t\\-t&0}[/mm]
> [mm](tC)^2 = \pmat{-t^2&0\\0&-t^2}[/mm]
>
> [mm](tC)^3 = \pmat{0&-t^3\\t^3&0}[/mm]
> [mm](tC)^4 = \pmat{t^4&0\\0&t^4}[/mm]
>
> [mm](tC)^5 = \pmat{0&t^5\\-t^5&0}[/mm]
> [mm]\vdots[/mm]
Soweit klar
>
> Daraus ergibt sich dann
> [mm]\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{(tC)^k}{k!}}
= \pmat{\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{(-1)^k t^{2k}}{(2k)!}}&\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{(-1)^k t^{2k+1}}{(2k+1)!}}\\
\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{k+1} t^{2k+1}}{(2k+1)!}}&\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{(-1)^k t^{2k}}{(2k)!}}}
[/mm]
>
> [mm]
=\pmat{\cos(t)&\sin(t)\\-\sin(t)&\cos(t)}
[/mm]
>
> Davon sollte sich die Ableitung leicht bilden lassen ...
Fast könnte ich das. Wie bestimmte ich denn die Ableitung einer Matrix? Muss ich jeden Eintrag nach t ableiten
[mm] (e^{tC})'=[\pmat{\cos(t)&\sin(t)\\-\sin(t)&\cos(t)}]' [/mm] = [mm] \pmat{-sin(t) & cos(t) \\ - cos(t) & -sin(t) }
[/mm]
> Ich meine, damit müsstest du weiter kommen.
Sofern das stimmt, würde ich jetzt wieder "rücksubstituieren"
[mm] \pmat{-sin(t) & cos(t) \\ - cos(t) & -sin(t) } [/mm] = [mm] \pmat{-(\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{(-1)^k t^{2k+1}}{(2k+1)!}}) & \sum_{k=1}^{\infty}{\frac{(-1)^k t^{2k}}{(2k)!}} \\ - (\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{(-1)^k t^{2k}}{(2k)!}})& -(\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{(-1)^k t^{2k+1}}{(2k+1)!}}) }
[/mm]
JEtzt muss ich daraus ja folgern können, der Term ist [mm] =C*e^{tC}
[/mm]
Es gibt zwar Aufgaben, da habe ich mir sehr viel mehr den Kopf zermatert, aber wie ziehe ich denn bei der Matrix ein C heraus? Gar nicht oder? :(
> Deine Rechnung am Schluss ist im mittleren Term wirklich
> falsch (wie ich das verstehe). Der Rest ist das, worauf
> diese Aufgabe wohl hinausläuft: Wenn C bzw. A keine Matrix
> sondern reelle Zahlen wären, dann ginge es so. Aber wenn
> das Matrizen sind, kennst du wahrscheinlich keinen Satz,
So einen Satz kenne ich leider wirklich nicht
> der dir diese Rechnung erlaubt. Dass diese Rechnung aber
> trotzdem erlaubt ist, genau das ist das, was du hier in b)
> zeigen sollst ...
>
>
> Ich hoffe, das hilft dir weiter. Sonst wieder fragen.
>
> Mathematische Grüße,
Lieben Dank für die super Tipps 
Cabby
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:14 Mi 19.03.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Servus
>
> > a) Du stellst richtig fest, dass diese Matrix nicht
> > nilpotent ist. Aber konkreter stellen wir fest, dass A
> > idempotent ist, d.h. es gilt [mm]A^k=A, \forall k>0[/mm].
> >
> Damit
> > gilt weiter:
> >
> >
> [mm]e^A=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{A^k}{k!}}=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{A}{k!}}
= \sum_{k=0}^{\infty}{\pmat{\frac{1}{k!}&0\\0&0}}
= \pmat{\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{k!}}&0\\0&0}[/mm]
>
> ISt die Lösung für [mm]e^A[/mm] dann lediglich [mm]\pmat{e & 0 \\ 0 & 0}?[/mm]
nein, das kann nicht sein, da für jede matrix $A$ die matrix [mm] $\mathrm{e}^A$ [/mm] invertierbar ist. in der rechnung
[mm]e^A=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{A^k}{k!}}[/mm]
muss man an dieser stelle zwischen $k=0$ und dem rest der summe unterscheiden. was ist denn [mm] $A^0$?
[/mm]
[mm]=\frac{A^0}{0!} + \sum_{k=1}^{\infty}{\frac{A}{k!}}[/mm]
> > Daraus ergibt sich dann
> > [mm]\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{(tC)^k}{k!}}
= \pmat{\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{(-1)^k t^{2k}}{(2k)!}}&\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{(-1)^k t^{2k+1}}{(2k+1)!}}\\
\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{k+1} t^{2k+1}}{(2k+1)!}}&\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{(-1)^k t^{2k}}{(2k)!}}}
[/mm]
>
> >
> > [mm]
=\pmat{\cos(t)&\sin(t)\\-\sin(t)&\cos(t)}
[/mm]
> >
> > Davon sollte sich die Ableitung leicht bilden lassen ...
> Fast könnte ich das. Wie bestimmte ich denn die Ableitung
> einer Matrix? Muss ich jeden Eintrag nach t ableiten
ja.
> [mm](e^{tC})'=[\pmat{\cos(t)&\sin(t)\\-\sin(t)&\cos(t)}]'[/mm] =
> [mm]\pmat{-sin(t) & cos(t) \\ - cos(t) & -sin(t) }[/mm]
>
> > Ich meine, damit müsstest du weiter kommen.
>
> Sofern das stimmt, würde ich jetzt wieder
> "rücksubstituieren"
das ist hier nicht so vorteilhaft.
> [mm]\pmat{-sin(t) & cos(t) \\ - cos(t) & -sin(t) }[/mm] =
> [mm]\pmat{-(\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{(-1)^k t^{2k+1}}{(2k+1)!}}) & \sum_{k=1}^{\infty}{\frac{(-1)^k t^{2k}}{(2k)!}} \\ - (\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{(-1)^k t^{2k}}{(2k)!}})& -(\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{(-1)^k t^{2k+1}}{(2k+1)!}}) }[/mm]
>
> JEtzt muss ich daraus ja folgern können, der Term ist
> [mm]=C*e^{tC}[/mm]
> Es gibt zwar Aufgaben, da habe ich mir sehr viel mehr den
> Kopf zermatert, aber wie ziehe ich denn bei der Matrix ein
> C heraus? Gar nicht oder? :(
[mm] $C*\mathrm{e}^{tC}$ [/mm] ist einfach das produkt von zwei matrizen, welches du einfach ausrechnen können solltest.
grüße
andreas
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:48 Mi 19.03.2008 | | Autor: | Cabby |
> > > a) Du stellst richtig fest, dass diese Matrix nicht
> > > nilpotent ist. Aber konkreter stellen wir fest, dass A
> > > idempotent ist, d.h. es gilt [mm]A^k=A, \forall k>0[/mm].
> > >
> > Damit
> > > gilt weiter:
> > >
> > >
> >
> [mm]e^A=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{A^k}{k!}}=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{A}{k!}}
= \sum_{k=0}^{\infty}{\pmat{\frac{1}{k!}&0\\0&0}}
= \pmat{\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{k!}}&0\\0&0}[/mm]
>
> >
> > ISt die Lösung für [mm]e^A[/mm] dann lediglich [mm]\pmat{e & 0 \\ 0 & 0}?[/mm]
>
> nein, das kann nicht sein, da für jede matrix [mm]A[/mm] die matrix
> [mm]\mathrm{e}^A[/mm] invertierbar ist. in der rechnung
>
> [mm]e^A=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{A^k}{k!}}[/mm]
>
> muss man an dieser stelle zwischen [mm]k=0[/mm] und dem rest der
> summe unterscheiden. was ist denn [mm]A^0[/mm]?
Das ist die einheitsmatrix
> [mm]=\frac{A^0}{0!} + \sum_{k=1}^{\infty}{\frac{A}{k!}}[/mm]
Jetzt muss ich anfangen zu raten
[mm] e^A [/mm] = I + [mm] \pmat{e & 0 \\ 0 & 0} [/mm] = [mm] \pmat{1+e & 0 \\ 0 & 1} [/mm] ?
> > > Daraus ergibt sich dann
> > > [mm]\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{(tC)^k}{k!}}
= \pmat{\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{(-1)^k t^{2k}}{(2k)!}}&\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{(-1)^k t^{2k+1}}{(2k+1)!}}\\
\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{k+1} t^{2k+1}}{(2k+1)!}}&\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{(-1)^k t^{2k}}{(2k)!}}}
[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]
=\pmat{\cos(t)&\sin(t)\\-\sin(t)&\cos(t)}
[/mm]
> > >
> > > Davon sollte sich die Ableitung leicht bilden lassen ...
> > Fast könnte ich das. Wie bestimmte ich denn die Ableitung
> > einer Matrix? Muss ich jeden Eintrag nach t ableiten
>
> ja.
>
>
> > [mm](e^{tC})'=[\pmat{\cos(t)&\sin(t)\\-\sin(t)&\cos(t)}]'[/mm] =
> > [mm]\pmat{-sin(t) & cos(t) \\ - cos(t) & -sin(t) }[/mm]
> >
> > > Ich meine, damit müsstest du weiter kommen.
> >
> > Sofern das stimmt, würde ich jetzt wieder
> > "rücksubstituieren"
>
> das ist hier nicht so vorteilhaft.
>
> > [mm]\pmat{-sin(t) & cos(t) \\ - cos(t) & -sin(t) }[/mm] =
> > [mm]\pmat{-(\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{(-1)^k t^{2k+1}}{(2k+1)!}}) & \sum_{k=1}^{\infty}{\frac{(-1)^k t^{2k}}{(2k)!}} \\ - (\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{(-1)^k t^{2k}}{(2k)!}})& -(\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{(-1)^k t^{2k+1}}{(2k+1)!}}) }[/mm]
>
> >
> > JEtzt muss ich daraus ja folgern können, der Term ist
> > [mm]=C*e^{tC}[/mm]
> > Es gibt zwar Aufgaben, da habe ich mir sehr viel mehr
> den
> > Kopf zermatert, aber wie ziehe ich denn bei der Matrix ein
> > C heraus? Gar nicht oder? :(
>
> [mm]C*\mathrm{e}^{tC}[/mm] ist einfach das produkt von zwei
> matrizen, welches du einfach ausrechnen können solltest.
Wären da konkrete Werte gegeben, könnte ich das natürlich mit Zeile*Spalte usw.
Es galt ja [mm] e^{tC} [/mm] = $ [mm] =\pmat{\cos(t)&\sin(t)\\-\sin(t)&\cos(t)} [/mm] $
Und das muss ich jetzt noch einmal mit der Matrix C
C = [mm] \pmat{a & b \\ c & d} [/mm] multiplizieren
Kein Problem
= [mm] \pmat{a cos(t) - b sin(t) & b*cos(t) + a sin(t) \\ c cos(t) - d sin(t) & d*cos(t) + c*sin(t)}
[/mm]
Das ist sicherlich der Holzweg?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:13 Mi 19.03.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> > nein, das kann nicht sein, da für jede matrix [mm]A[/mm] die matrix
> > [mm]\mathrm{e}^A[/mm] invertierbar ist. in der rechnung
> >
> > [mm]e^A=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{A^k}{k!}}[/mm]
> >
> > muss man an dieser stelle zwischen [mm]k=0[/mm] und dem rest der
> > summe unterscheiden. was ist denn [mm]A^0[/mm]?
>
> Das ist die einheitsmatrix
genau.
> > [mm]=\frac{A^0}{0!} + \sum_{k=1}^{\infty}{\frac{A}{k!}}[/mm]
>
> Jetzt muss ich anfangen zu raten
>
> [mm]e^A[/mm] = I + [mm]\pmat{e & 0 \\ 0 & 0}[/mm] = [mm]\pmat{1+e & 0 \\ 0 & 1}[/mm]
> ?
raten ist hier eher schlecht. es gilt doch offenbar $I = [mm] \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) [/mm] = [mm] \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) [/mm] + [mm] \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right)$.
[/mm]
mit der hinteren matrix kannst du nun ja nochmal probieren, ob man damit die oben angegeben rechnung hinbiegen kann und die vordere der beiden matrizen gibt dir aufkunft über den eintrag an der position $(2, 2)$.
> Wären da konkrete Werte gegeben, könnte ich das natürlich
> mit Zeile*Spalte usw.
>
> Es galt ja [mm]e^{tC}[/mm] =
> [mm]=\pmat{\cos(t)&\sin(t)\\-\sin(t)&\cos(t)}[/mm]
>
> Und das muss ich jetzt noch einmal mit der Matrix C
>
> C = [mm]\pmat{a & b \\ c & d}[/mm] multiplizieren
>
> Kein Problem
>
> = [mm]\pmat{a cos(t) - b sin(t) & b*cos(t) + a sin(t) \\ c cos(t) - d sin(t) & d*cos(t) + c*sin(t)}[/mm]
>
> Das ist sicherlich der Holzweg?
es sind ja konkrete werte gegeben - schau nochmal genau in die aufgabe, dort kommt doch ein $C$ vor!
grüße
andreas
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:21 Mi 19.03.2008 | | Autor: | Cabby |
Mojn
> > > [mm]=\frac{A^0}{0!} + \sum_{k=1}^{\infty}{\frac{A}{k!}}[/mm]
> >
>
> > Jetzt muss ich anfangen zu raten
> >
> > [mm]e^A[/mm] = I + [mm]\pmat{e & 0 \\ 0 & 0}[/mm] = [mm]\pmat{1+e & 0 \\ 0 & 1}[/mm]
> > ?
>
> raten ist hier eher schlecht.
Ist Raten nicht immer schlecht?
> es gilt doch offenbar [mm]I = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right)[/mm].
Ja, das leuchtet mir ein.
> mit der hinteren matrix kannst du nun ja nochmal probieren,
> ob man damit die oben angegeben rechnung hinbiegen kann
> und die vordere der beiden matrizen gibt dir aufkunft über
> den eintrag an der position [mm](2, 2)[/mm].
Also irgendwie verstehe ich nicht mehr, worauf wir überhaupt hinaus wollen.
Inwiefern hängt dein Vorschlag denn noch mit der Antwort von Manatu zusammen, der sagte ja
$ [mm] e^A=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{A^k}{k!}}=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{A}{k!}} [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^{\infty}{\pmat{\frac{1}{k!}&0\\0&0}} [/mm] = [mm] \pmat{\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{k!}}&0\\0&0} [/mm] $
Und jetzt sagtest du, ich solle mich erst einmal mit dem beschäftigen
> $ [mm] =\frac{A^0}{0!} [/mm] + [mm] \sum_{k=1}^{\infty}{\frac{A}{k!}} [/mm] $
Dann stellte ich fest, dass [mm] A^0 [/mm] = I ist und somit dachte ich sofort an
I + [mm] \pmat{\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k!}}&0\\0&0} [/mm]
Und wenn ich I zerlege in I = [mm] \pmat{1&0\\0&0}+\pmat{0&0\\0&1} [/mm] und einsetze
[mm] \pmat{1&0\\0&0}+\pmat{0&0\\0&1} [/mm] + [mm] \pmat{\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k!}}&0\\0&0} [/mm]
Ist das ja wieder fernab von dem, was du eigentlich meintest. Ich komme nicht ganz drauf, wo du mich hinführen möchtest :-(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:30 Mi 19.03.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Also irgendwie verstehe ich nicht mehr, worauf wir
> überhaupt hinaus wollen.
> Inwiefern hängt dein Vorschlag denn noch mit der Antwort
> von Manatu zusammen, der sagte ja
>
> [mm]e^A=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{A^k}{k!}}=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{A}{k!}} = \sum_{k=0}^{\infty}{\pmat{\frac{1}{k!}&0\\0&0}} = \pmat{\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{k!}}&0\\0&0}[/mm]
>
> Und jetzt sagtest du, ich solle mich erst einmal mit dem
> beschäftigen
> > [mm]=\frac{A^0}{0!} + \sum_{k=1}^{\infty}{\frac{A}{k!}}[/mm]
>
> Dann stellte ich fest, dass [mm]A^0[/mm] = I ist und somit dachte
> ich sofort an
>
> I + [mm]\pmat{\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k!}}&0\\0&0}[/mm]
>
> Und wenn ich I zerlege in I =
> [mm]\pmat{1&0\\0&0}+\pmat{0&0\\0&1}[/mm] und einsetze
>
> [mm]\pmat{1&0\\0&0}+\pmat{0&0\\0&1}[/mm] +
> [mm]\pmat{\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{k!}}&0\\0&0}[/mm]
[m] = \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) + \left[ \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{cc} \sum\limits_{k = 1}^\infty \frac{1}{k!} & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right) \right] [/m]
jetzt fasse die beiden matrizen in der eckigen klammer zusammen und schau dir nochmal Manatu's rechnung an. du bist schon immer kurz vor dem ziel...
grüße
andreas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:50 Mi 19.03.2008 | | Autor: | Cabby |
> [m]= \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) + \left[ \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{cc} \sum\limits_{k = 1}^\infty \frac{1}{k!} & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right) \right][/m]
>
> jetzt fasse die beiden matrizen in der eckigen klammer
> zusammen und schau dir nochmal Manatu's rechnung an. du
> bist schon immer kurz vor dem ziel...
Und mache immer wieder den Gleichen Fehler, denn
$ = [mm] \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) [/mm] + [mm] \left[ \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{cc} \sum\limits_{k = 1}^\infty \frac{1}{k!} & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right) \right] [/mm] = [mm] \pmat{1&0\\0&0} [/mm] + [mm] \pmat{1+\sum\limits_{k = 1}^\infty \frac{1}{k!} & 0 \\ 0 & 0 }$ [/mm]
[mm] \sum\limits_{k = 1}^\infty \frac{1}{k!} [/mm] = e-1
und deswegen
[mm] $\pmat{0&0\\0&1} [/mm] + [mm] \pmat{1+e-1 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] = [mm] \pmat{0&0\\0&1} [/mm] + [mm] \pmat{e & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] = [mm] \pmat{e&0\\0&1}$ [/mm]
Einziger Trost, dass ich zumindest die Rechentechnik beherrsche?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:14 Mi 19.03.2008 | | Autor: | andreas |
hi
das ist doch jetzt alles richtig.
grüße
andreas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:01 Do 20.03.2008 | | Autor: | Cabby |
Hi
> das ist doch jetzt alles richtig.
Das ist ja schön
Danke, dass du da so viel zu geschrieben hast, sonst hätte ich das wohl niemals hingekriegt.
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