e aus L separabel? < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei (K,L) eine algebraische Körpererweiterung. Sei [mm] S_L(K):= [/mm] { [mm] e\in [/mm] L| e separabel über K. }
Beh: [mm] S_L(K) [/mm] ist ein Teilkörper von L. |
Hallo!
Ich würde diese Aufgabe nur allzugerne rechnen, wenn ich nicht das Problem habe, was man genau von mir möchte. Meines Wissens nach, sind nicht Elemente aus dem Körper separabel sondern aus dem Polynomring über dem Körper. Angenommen, hier hat sich wer vertippt, müsste ich dann aber auch nicht zeigen, dass [mm] S_L(K) [/mm] ein Teilkörper von L sondern ein Teilring von L[t] ist,also glaub ich nicht, dass es sich hier um einen Tippfehler handelt. Habe ich da irgendwas übersehen, gibt es noch eine andere Definition von separabel?
Gruß
San
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:31 Mo 01.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo San!
> Sei (K,L) eine algebraische Körpererweiterung. Sei [mm]S_L(K):= \{ e\in L| e [/mm] separabel über [mm] K. \}[/mm]
> Beh: [mm]S_L(K)[/mm] ist ein Teilkörper von L.
> Hallo!
> Ich würde diese Aufgabe nur allzugerne rechnen, wenn ich
> nicht das Problem habe, was man genau von mir möchte.
> Meines Wissens nach, sind nicht Elemente aus dem Körper
> separabel sondern aus dem Polynomring über dem Körper.
> Angenommen, hier hat sich wer vertippt, müsste ich dann
> aber auch nicht zeigen, dass [mm]S_L(K)[/mm] ein Teilkörper von L
> sondern ein Teilring von L[t] ist,also glaub ich nicht, dass es sich hier um einen Tippfehler handelt. Habe ich da irgendwas übersehen, gibt es noch eine andere Definition von separabel?
Ja, es gibt eine andere Definition!
Einmal ist ein Polynom $f [mm] \in [/mm] k[x]$ separabel, wenn es keine mehrfachen Nullstellen in einem Zerfaellungskoerper hat (oder aequivalent dazu, wenn $f$ und [mm] $\frac{\partial}{\partial x} [/mm] f$ teilerfremd sind). (Wobei das eventuell auch anders definiert wird, die Definitionen stimmen aber fuer ueber $K$ irreduzible Polynome ueberein.)
Und dann ist ein Element [mm] $\alpha \in [/mm] L$ einer Koerpererweiterung $L/K$ separabel (ueber $K$), wenn [mm] $\alpha$ [/mm] algebraisch ueber $K$ ist und wenn das Minimalpolynom von [mm] $\alpha$ [/mm] ueber $K$ separabel ueber $K$ ist.
Und eine Koerpererweiterung $L/K$ heisst separabel, wenn jedes Element [mm] $\alpha \in [/mm] L$ separabel ueber $K$ ist.
Uebrigens: Eine Koerperweriterung $L/K$ ist genau dann galoissch, wenn sie separabel und normal ist. Insofern hast du mit dem Begriff schon (indirekt) gearbeitet 
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:29 Mo 01.05.2006 | | Autor: | Sanshine |
Moin!
> Uebrigens: Eine Koerperweriterung [mm]L/K[/mm] ist genau dann galoissch, wenn sie separabel und normal ist. Insofern hast du mit dem Begriff schon (indirekt) gearbeitet
>
> LG Felix
>
Uuuups... ist wohl besser, wenn ich dazu mal wieder keinen Kommentar abgebe. Beim nächsten Mal arbeite ich mein Skript lieber drei mal durch (und schalte dabei vll auch meinen Kopf ein) bevor ich etwas poste...
Trotzdem vielen Dank für diese - und die andere Galoisgruppenbetreffende - Antwort,
Gruß,
San
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