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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:28 So 11.05.2008 | | Autor: | msg08 |
| Aufgabe | Zeigen Sie, falls möglich, dass gilt:
[mm] (1+(\bruch{1}{n}))^{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{k!} [/mm] |
Hi,
tüftel schon ein wenig länger an dieser Umformung.
Also umgeformt habe ich soweit.
[mm] (1+\bruch{1}{n})^{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}*1^{n-k}*(\bruch{1}{n})^{k} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}*(\bruch{1}{n})^{k} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{n!}{(n-k)!*k!*n^{k}} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{(n-1)!}{(n-k)!*k!*n^{k-1}}
[/mm]
Ob das der richtige Weg ist, weiss ich nicht. Ebenso nicht, ob eine solche Umformung überhaupt exisitert. Glaube aber schon, weil für n=3 z.B. die Summanden für gleiche k gleiche Werte annehmen.
MfG
Martin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:34 So 11.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Zeigen Sie, falls möglich, dass gilt:
>
> [mm](1+(\bruch{1}{n}))^{n}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{k!}[/mm]
unabhängig von dem, was du bisher gerechnet hast, überlege dir, ob die aussage überhaupt richtig ist: wie sehen denn linke und rechte seite für $n = 3$ aus?
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:56 So 11.05.2008 | | Autor: | msg08 |
War zu schnell. Also für den soweit umgeformten Term gilt die Behauptung für n=3.
Also das gilt scheinbar schonmal:
[mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}*(\bruch{1}{3})^{k} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{k!}
[/mm]
für n = 3 auf der linken Seite:
[mm] \summe_{k=0}^{3}\vektor{3 \\ k}*(\bruch{1}{3})^{k} [/mm] = [mm] (\vektor{3 \\ 0}*(\bruch{1}{3})^{0}) [/mm] + [mm] (\vektor{3 \\ 1}*(\bruch{1}{3})^{1}) [/mm] + [mm] (\vektor{3 \\ 2}*(\bruch{1}{3})^{2})) [/mm] + [mm] (\vektor{3 \\ 3}*(\bruch{1}{3})^{3}) [/mm] = (1*1) + [mm] (3*\bruch{1}{3}) [/mm] + [mm] (3*(\bruch{1}{3})^{2}) [/mm] + [mm] (1*(\bruch{1}{3})^{3}) [/mm] = [mm] 1+1+\bruch{1}{9}+\bruch{1}{27}
[/mm]
für n = 3 auf der rechten Seite:
[mm] \summe_{k=0}^{3}\bruch{1}{k!} [/mm] = [mm] \bruch{1}{0!} [/mm] + [mm] \bruch{1}{1!} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2!} [/mm] + [mm] \bruch{1}{3!} [/mm] = [mm] 1+1+\bruch{1}{9}+\bruch{1}{27}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:59 So 11.05.2008 | | Autor: | abakus |
> War zu schnell. Also für den soweit umgeformten Term gilt
> die Behauptung für n=3.
>
> Also das gilt scheinbar schonmal:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}*(\bruch{n}{k})^{k}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{k!}[/mm]
>
> für n = 3 auf der linken Seite:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{3}\vektor{3 \\ k}*(\bruch{3}{k})^{k}[/mm] =
> [mm](\vektor{3 \\ 0}*(\bruch{1}{3})^{0})[/mm] + [mm](\vektor{3 \\ 1}*(\bruch{1}{3})^{1})[/mm]
> + [mm](\vektor{3 \\ 2}*(\bruch{1}{3})^{2}))[/mm] + [mm](\vektor{3 \\ 3}*(\bruch{1}{3})^{3})[/mm]
> = (1*1) + [mm](3*\bruch{1}{3})[/mm] + [mm](3*(\bruch{1}{3})^{2})[/mm] +
> [mm](1*(\bruch{1}{3})^{3})[/mm] = [mm]1+1+\bruch{1}{9}+\bruch{1}{27}[/mm]
>
> für n = 3 auf der rechten Seite:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{3}\bruch{1}{k!}[/mm] = [mm]\bruch{1}{0!}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{1!}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2!}[/mm] + [mm]\bruch{1}{3!}[/mm] =
> [mm]1+1+\bruch{1}{9}+\bruch{1}{27}[/mm]
Hallo,
das schreit doch geradezu nach einem Induktionsbeweis für beliebige n.
Viele Grüße
Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 So 11.05.2008 | | Autor: | msg08 |
Dank Andreas habe ich jetzt den Fehler in der Annahme gesehen.
Also stehen diese beiden Herleitungen für e in keinem direkten Verhältnis zueinander?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:54 Mo 12.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
viel mehr als [mm] $\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}$ [/mm] wird man wohl nicht beweisen können.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:41 Mo 12.05.2008 | | Autor: | msg08 |
Schade. Danke für eure Beteiligung an diesem Thema. Die Induktions-Idee bleibt jetzt auf jeden Fall fester Ideen-Bestandteil bei weiteren Herangehensweisen. Dank dir Andreas wurde mir für die Fehleranalyse bewusst, die Annahme nochmal genauer zu überprüfen. Es ärgert mich immer noch, dass das dann doch nicht aufgeht. Es wäre schön gewesen.
MfG
Martin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 So 11.05.2008 | | Autor: | andreas |
hi
was übersehe ich denn? ich erhalte schon für $n=3$:
[mm] $\left(1 + \frac{1}{3}\right)^3 [/mm] = [mm] \left(\frac{4}{3}\right)^3 [/mm] = [mm] \frac{2^6}{3^3}$
[/mm]
und
[mm] $\sum_{k=0}^3 \frac{1}{k!} [/mm] = 1 + 1 + [mm] \frac{1}{4} [/mm] + [mm] \frac{1}{6}= \frac{29}{12} [/mm] = [mm] \frac{29}{2^2 \cdot 3}$.
[/mm]
das stimmt doch aber gar nicht überein?
grüße
andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:09 So 11.05.2008 | | Autor: | msg08 |
Also das war meine Behauptung:
[mm] (1+(\bruch{1}{n}))^{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}*1^{n-k}*(\bruch{1}{n})^{k} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}*(\bruch{1}{n})^{k}
[/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}*(\bruch{1}{n})^{k} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n}\bruch{1}{k!}
[/mm]
Aber erst jetzt sehe ich, dass die Vermutung falsch ist. Wie du schreibst, geht das nicht für n=3 auf.
[mm] \summe_{k=0}^{3}\vektor{3 \\ k}*((\bruch{1}{3})^{k} [/mm] = 1 + [mm] (3*(\bruch{1}{3})) [/mm] + [mm] (3*(\bruch{1}{3})^{2}) [/mm] + [mm] \(bruch{1}{3})^{3} [/mm] = 1 + 1 + [mm] \bruch{1}{3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{27}
[/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{3}\bruch{1}{k!} [/mm] = 1 + 1 + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{6}
[/mm]
ist nicht dasselbe, schade. Das mit der Idee zum Induktion war so schön :).
Danke Andreas, hätte sonst weiterhin daran rumgekaut. Echt bitter, dabei schien es so einen schönen Lauf zu nehmen. Habe mir die Gleichheit irgendwie eingeredet, weil ich sie sehen wollte. Schade!!!
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