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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:48 So 09.01.2005 | | Autor: | melchen |
hallo hab n problem bei dieser aufgabe:
Gegeben sind zwei Funktionen f1 und f2 durch f1(x)=e hoch -ax und f2(x)=e hoch bx. Gesucht sind zwei Zahlen a und b, so dass für die Funktionsgraphen gilt: 1. Die Graphen der beiden Funktionen schneiden sich orthogonal
2. Die Graphen beider Funktionen schließen mit der 1. Achse eine Fläche mit möglichst kleinem Inhalt.
Könnte mir jemand einen ansatz geben ich komm nämlich überhauptnicht klar . danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:42 So 09.01.2005 | | Autor: | Clemens |
Hallo melchen!
Du musst einfach die verbalisierten Angaben in die mathematische Sprache übersetzen:
[mm] f_{1}(x) = e^{-ax} [/mm]
[mm] f_{2}(x) = e^{bx} [/mm]
> 1. Die Graphen der beiden Funktionen schneiden sich orthogonal.
Du berechnest also zuerst die Schnittpunkt in Abhängigkeit von a und b:
[mm] f_{1}(x_{0}) = f_{2}(x_{0}) \Rightarrow x_{0} = ... [/mm]
Du erhälst nun eine Lösung der Gleichung durch [mm] x_{0} [/mm] = eine reelle Zahl oder durch die Bedingung a = -b. Da bei dieser zweiten Möglichkeit die Funktion aber gleich sind und sich daher nicht mehr orthogonal schneiden, gilt also [mm] x_{0} [/mm] = die relle Zahl, die du errechnen wirst.
Mit dieser Information verarbeitest du dann die Information "orthogonal schneiden". Das gilt genau dann, wenn:
[mm] f_{1}'(x_{0})*f_{2}'(x_{0})= -1 [/mm]
Nun erhälst du eine Bedingung für a und b. Du kannst b durch a angeben:
[mm] b = b_{a} [/mm]
[mm] b_{a} [/mm] ist ein Funktion. Ein Beispiel wäre b = [mm] b_{a} [/mm] = 2a
Mit diesen Erkenntnissen kannst du die nächste Angabe verarbeiten:
> 2. Die Graphen beider Funktionen schließen mit der 1. Achse eine Fläche > mit möglichst kleinem Inhalt.
Mathematisch formuliert heißt das:
[mm] A = \limes_{u\rightarrow\infty}\left[ \integral_{-u}^{u} {f(x) dx}\right] [/mm]
wobei f hier die Funktion ist, die dadurch entsteht, dass du sie abschnittsweise durch die tieferliegende der beiden Funktionen [mm] f_{1} [/mm] und [mm] f_{2} [/mm] definierst, also
[mm] f(x) = Min(f_{1}(x), f_{2}(x)) [/mm]
Du erhälst dann die Fläche A in Abhängigkeit von a und b, wobei b von a abhängt, also hängt die Fläche A nur von a ab:
[mm] A = A_{a} [/mm]
Dann reduziert sich die Aufgabe auf eine Extremalwertaufgabe und du erhälst a.
Gruß Clemens
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