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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also ich habe hier jetzt nicht direkt eine Aufgabe, sondern eine Frage in eigener Sache...
Und zwar bin ich beim Lesen über das Thema komplexe Zahlen auf den Ausdruck:
[mm]e^x[/mm] = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} {x^n \over n!}[/mm]
gestoßen... also genauer gesagt:
[mm]e^x[/mm] = [mm]1+\bruch{x}{1!}+\bruch{x^2}{2!}+...+\bruch{x^n}{n!}[/mm]
(n[mm]\to \infty[/mm])
Ich kenne [mm]e^x[/mm] aber leider nur aus unserer eigenen Herleitung im Unterricht als [mm](1+\bruch{x}{n})^n[/mm]
Kann mir einer erklären wie ich von der Definition als Grenzwert zur Exponentialreihe komme? Und wenn das nicht direkt geht, dann wie man überhaupt dorthin kommt?
Bitte in Einzelschritten. Vielen, vielen Dank!
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Naja, wenn man [mm] (1+\bruch{x}{n})^{n} [/mm] ausklammert und für n [mm] \to \infty [/mm] betrachtet, kommt das ja irgendwie schon raus 
[mm] (1+\bruch{x}{n})^{n} [/mm] = [mm] 1^{n} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ 1}\left(\bruch{x}{n}\right)^{1} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ 2}*\left(\bruch{x}{n}\right)^{2} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ 3}*\left(\bruch{x}{n}\right)^{3} [/mm] + ...
= 1 + x + [mm] \bruch{n*(n-1)}{2!}*\left(\bruch{x}{n}\right)^{2} [/mm] + [mm] \bruch{n*(n-1)*(n-2)}{3!}*\left(\bruch{x}{n}\right)^{3} [/mm] + ...
= 1 + x + [mm] \bruch{n*(n-1)}{n^{2}}*\bruch{x^{2}}{2!} [/mm] + [mm] \bruch{n*(n-1)*(n-2)}{n^{3}}*\bruch{x^{3}}{3!} [/mm] + ...
Und wenn man das für n [mm] \to \infty [/mm] betrachtet, kommt ja dasselbe Ergebnis raus wie bei der Exponentialreihe...
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Ohgott, du hälst mich jetzt sicher für ganz blöde, gerade auch wenn ich sehe, dass du 2 Klassen unter mir bist...
Aber ich kapier den entscheidenden Punkt nicht. Und zwar woher kommt die Fakultät.
Ich weiß nicht, ob ich zu müde bin, oder sonst was, aber ich kapier nicht mal mehr wieso [mm] $\bruch{x^n}{n^n}$ $\bruch{x^n}{n!}$ [/mm] ist...
Was genau klammerst du im ersten Schritt aus.
und dann der Ausdruck ${n [mm] \choose [/mm] 2}$ (z.B.) mal sehen, ob ich das jetzt noch hinbekomme, bin gar nicht drin im Thema:
[mm] $\bruch{n!}{2!\cdot(n-2)!}$ [/mm] = [mm] $\bruch{1}{2!}\cdot\bruch{n!}{(n-2)!}$ [/mm] ...
ah gut, [mm] $\bruch{n\cdot(n-1)}{2!}$ [/mm] konnte ich nachvollziehen...
aber in der nächsten Zeile schon ist 2! durch [mm] $n^2$ [/mm] ausgetauscht?...
*nachdenk, grübel*
Achsoo, da wir Multiplikation haben, wurden einfach die Nenner vertauscht, deswegen [mm] $n^n$ [/mm] und n!
Es bleibt, dass ich den ersten Schritt und zwar die Ausklammerung an sich nicht nachvollziehen konnte, die ganzen Umrechnungen danach schon.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:22 Mo 10.03.2008 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Diddmaster!
Kleiner Tipp: Es gibt einen wunderschönen "Zitier-Button" mit dem du den Text deines Vorredners ganz einfach kopieren kannst. Dann kannst du deine Fragen direkt zu den entscheidenden Stellen stellen. Ich z. B. weiß nach dieser letzten Frage von dir nicht genau, was du nicht verstehst, deswegen kann ich dir nicht wirklich helfen.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:32 Mo 10.03.2008 | | Autor: | Blech |
> Es bleibt, dass ich den ersten Schritt und zwar die
> Ausklammerung an sich nicht nachvollziehen konnte, die
> ganzen Umrechnungen danach schon.
Es ist auch nicht Ausklammern, sondern Ausmultiplizieren, was ihr da macht.
[mm] $(a+b)^n=\sum_{i=0}^n {n\choose i} a^i b^{n-i}$
[/mm]
Die Formel kannst Du Dir kombinatorisch überlegen, oder mit dem Pascalschen Dreieck (ist eigentlich das gleiche)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:16 So 09.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo Diddmaster und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Steppenhahn hat dir erklärt wie man von einem zum anderen kommt. Dazu musst du allerdings die Formel für [mm] (a+b)^n [/mm] kennen alo die binomische Formel für n statt 2.
Ein anderer Weg geht darüber, dass man hat dass f'(x)=f(x) mit f(0)=1 für die e- fkt gilt. wenn du die Reihe ableitest, siehst du, dass immer wieder dieselbe rauskommt (wenn n beliebig groß ist). und f(0)=1 sieht man direkt.
Herleiten kann man die Formel, wenn man weiss was Taylorreihen von fkt sind. dann folgt die Formel direkt für die Funktion f'=f, f(0)=1.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:22 So 09.03.2008 | | Autor: | Diddmaster |
Jaaaaaaaaaaa, Danke erstmal für die Begrüßung.
Du hast den Nagel auf den Kopf getroffen, genau diese Formel fehlt mir! Wir haben nie [mm] $(a+b)^n$ [/mm] gemacht.
Deswegen kann ich auch seine allererste Umformung nicht nachvollziehen, kannst du sie mir erklären?
Mit Taylorreihen kann ich leider nichts anfangen, mir reicht es vollkommens zu wissen, wie diese allgemeine binomische Formel geht.
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Die Formel heißt Binomischer Lehrsatz.
[mm] (a+b)^{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}\vektor{n\\k}*a^{k}*b^{n-k}.
[/mm]
Warum das so ist, lässt sich leicht mit dem Pascal'schen Dreieck nachvollziehen. Ich empfehle die Wikipedia-Aktikel dazu
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:58 So 09.03.2008 | | Autor: | Diddmaster |
Bin schon dran. (Aber jetzt gehe ich erstmal zu Bett.)
Danke nochmal. Bist du eigentlich sehr intelligent oder haste 'nen geilen Mathelehrer...
Frage nur, denn die 11. war für mich ein verlorenes Jahr (Hatte Referendarin als Lehrerin, die konnte mir so gut wie gar nichts vermitteln, das habe ich nur mit Mühe und Not durch 'nen echt geilen Lehrer in 12u13 wettgemacht)
Wann habt ihr den binomischen Lehrsatz durch genommen? Wie gesagt, bei mir kam der nie dran. Und den Ausdruck "n über k" haben wir auch erst in 12 gekriegt, aber nur in Zusammenhang mit Wahrscheinlichkeitsrechnungen.
Ich werde meinem Lehrer mal sagen, er soll in den unteren Klassenstufen dem mehr Beachtung schenken.
Wird allerdings schwierig, durch unsere Superpolitiker und den immer vollgestopfteren Lehrplänen, richtig tiefes Verständnis wird kaum noch vermittelt und gerade das ist sehr wichtig, es geht immer wieder "back to the roots".
Ok, ist schon spät^^
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Ich glaube nicht, dass ich einen besonders "geilen" Mathelehrer habe
Die Sätze usw. habe ich an Vorlesungen der Universität kennen gelernt (Analysis 1 & 2). Bei uns wird angeboten dass man neben der Schule auch eine Vorlesungsreihe an der Universität in Dresden besuchen und wie die Studenten dann auch einen Leistungsschein für das Semester erwerben kann. Und das habe ich eben schon mehrmals gemacht
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