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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:30 Sa 24.05.2008 | | Autor: | Simge |
| Aufgabe | f(x)= [mm] a^x
[/mm]
f´(x)= [mm] a^x*\bruch{1}{loga^e}
[/mm]
wie lautet F(x)? |
Hallo!
ich weiß nicht wie die Stammfunktion von dieser Aufgabe ist. mein lehrer meinte, es hätte mit der e-Funktion zu tun. Lautet dann die lösung
F(x)= [mm] a^x+c
[/mm]
ich bräuchte dringend Hilfe!
danke im Vorraus!
liebe Grüße
simge
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Hallo Simge,
du kannst [mm] $f(x)=a^x$ [/mm] umschreiben:
[mm] $a^x=e^{\ln\left(a^x\right)}=e^{x\cdot{}\ln(a)}$
[/mm]
Also kannst du [mm] $\int{a^x \ dx}$ [/mm] berechnen, indem du [mm] $\int{e^{\ln(a)\cdot{}x} \ dx}$ [/mm] berechnest
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 Sa 24.05.2008 | | Autor: | Simge |
hmm, dann komm ich auf [mm] \int e^{\ln(a)\cdot{}x}*x+c [/mm] oder?
kann sein dass ich ein fehler bei dem [mm] {\ln(a)\cdot{}x} [/mm] gemacht hab.
liebe Grüße
simge
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Hallo Simge,
das passt nicht.
Wie sieht denn eine Stammfunktion zu [mm] $e^x$ [/mm] aus?
Doch so: [mm] $\int{e^x \ dx}=e^x [/mm] \ + \ c$
Nehmen wir eine Konstante [mm] $\alpha$ [/mm] hinzu und überlegen, was denn [mm] $e^{\alpha\cdot{}x}$ [/mm] abgeleitet ergibt?
Das ist nach Kettenregel [mm] $\blue{\left[e^{\alpha\cdot{}x}\right]'=\alpha\cdot{}e^{\alpha\cdot{}x}}$
[/mm]
Wenn du also eine Stammfunktion zu [mm] $e^{\alpha\cdot{}x}$ [/mm] suchst, bleibt ja auf jeden Fall der Exponent erhalten, du musst nur sehen, dass du den Faktor [mm] $\alpha$ [/mm] "ausgleichst"
Das geht durch Multiplikation mit [mm] $\frac{1}{\alpha}$
[/mm]
Eine Stammfunktion zu [mm] $e^{\alpha\cdot{}x}$ [/mm] ist also
[mm] $\int{e^{\alpha\cdot{}x} \ dx}=\frac{1}{\alpha}\cdot{}e^{\alpha\cdot{}x} [/mm] \ + \ c$
Leiten wir das mal wieder ab, um zu kontrollieren:
[mm] $\left[\frac{1}{\alpha}\cdot{}\blue{e^{\alpha\cdot{}x}} \ + \ c\right]'=\frac{1}{\alpha}\cdot{}\blue{\alpha\cdot{}e^{\alpha\cdot{}x}} [/mm] \ + \ [mm] 0=e^{\alpha\cdot{}x}$ [/mm]
Passt also 
Nun ist in deiner Aufgabe der konstante Faktor [mm] $\alpha=\ln(a)$
[/mm]
Versuche mal, diese Überlegungen auf deine Aufgabe zu übertragen...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Sa 24.05.2008 | | Autor: | Simge |
ich habs glaub ich!
[mm] \bruch{1}{ln(a)}*e^{ln(a)*x}
[/mm]
und das darf ich umwndeln in
[mm] \bruch{1}{ln(a)}*a^x
[/mm]
ist das so richtig schachuzipus? Und vielen dank für deine Hilfe!
LG
simge
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Hi nochmal,
> ich habs glaub ich!
>
> [mm]\bruch{1}{ln(a)}*e^{ln(a)*x}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> und das darf ich umwndeln in
>
> [mm]\bruch{1}{ln(a)}*a^x[/mm]
![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]")
>
> ist das so richtig schachuzipus?
Jau, so ist's perfekt!
> Und vielen dank für deine Hilfe!
>
> LG
>
> simge
Gruß
schachuzipus
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