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| Aufgabe | Die Folge [mm] a_{n} [/mm] n=1,2,... ist gegeben durch [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{n-1}{n}. [/mm] Wie viele Elemente dieser Folge sind nicht in der Epsilon Umgebung von 1 für e=2; 1; 0,5; 0,2; 0,1; 0,01; 0,001?
Sei Epsilom eine positive Zahl. Ab welchen Index [mm] n_{0} [/mm] sind alle Elemente der Folge [mm] a_{n} [/mm] n=1,2,...in der e-Umgebung von 1? |
Hi!
Über die Folge weiß ich, dass sie monoton wachsend und zwischen 0 und 1 beschränkt ist. Aber ich hab keine Ahnung wie ich diese Aufgabe lösen soll und was mit dem Index gemeint ist. Bin für jeden Tipp dankbar!
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> Die Folge [mm]a_{n}[/mm] n=1,2,... ist gegeben durch [mm]a_{n}[/mm] =
> [mm]\bruch{n-1}{n}.[/mm] Wie viele Elemente dieser Folge sind nicht
> in der Epsilon Umgebung von 1 für e=2; 1; 0,5; 0,2; 0,1;
> 0,01; 0,001?
> Sei Epsilom eine positive Zahl. Ab welchen Index [mm]n_{0}[/mm]
> sind alle Elemente der Folge [mm]a_{n}[/mm] n=1,2,...in der
> e-Umgebung von 1?
> Hi!
> Über die Folge weiß ich, dass sie monoton wachsend und
> zwischen 0 und 1 beschränkt ist. Aber ich hab keine Ahnung
> wie ich diese Aufgabe lösen soll und was mit dem Index
> gemeint ist. Bin für jeden Tipp dankbar!
Hallo,
es ist [mm] a_n=\bruch{n-1}{n}=1-\bruch{1}{n}
[/mm]
Wenn Du wissen willst, ab welchem n die Folgenglieder alle in einer [mm] \varepsilon- [/mm] Umgebung von 1 liegen, mußt Du
[mm] |a_n -1|<\varepsilon [/mm] lösen.
Gruß v. Angela
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das ist mir noch nicht ganz klar, wär klasse wenn du mir das für Epsilon = 2 einmal vorrechnen könntest!
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Hallo,
[mm] \varepsilon [/mm] =2 ist ziemlich öde.
Ich mach's für [mm] \varepsilon [/mm] =0.002.
Es soll sein
[mm] |a_n-1|=|1-\bruch{1}{n}-1|=\bruch{1}{n} [/mm] < 0.002
==> ( Kehrwert oder | *n | :0.002) n> 500.
Ich weiß nun: alle Folgenglieder ab dem Glied [mm] a_{501} [/mm] liegen in der 0.002-Umgebung von 1.
Gruß v. Angela
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alles klar!
Vielen Dank :)
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