e-Funktion mit Paramer < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:17 Sa 10.02.2007 | | Autor: | stevexxx |
| Aufgabe | Gegeben sind die reellwertigen Funktion fk durch
fk(x) = x − k · [mm] e^x [/mm] R \ {0}
Der Graph von fk sei Gfk .
a) Für welche Parameterwerte k haben die Funktionen fk Extrema? Ermitteln Sie Art und Lage der Extrempunkte in Abhängigkeit von k und geben Sie den geometrischen Ort der Extrempunkte an.
b) Bestimmen Sie k so, dass der zugehörige Graph die x-Achse berührt.
c) Skizzieren Sie aufgrund der bisherigen Ergebnisse die Graphen zu k = 1, k = 1/e und k = −1. Berechnen Sie jeweils noch drei Funktionswerte eigener Wahl.
(1 LE b= 1 cm, Ursprung in der Blattmitte)
d) Für welche k-Werte haben die Funktionen fk Nullstellen?
e) Vom Koordinatenursprung aus können an die Graphen der Funktionen fk
jeweils genau eine Tangente tk gelegt werden. Beweisen Sie das und berechnen Sie die Koordinaten des Berührpunktes in Abhängigkeit von k.
f) Geben Sie die Gleichung des geometrischen Ortes an, auf dem die Berührpunkte liegen.
g) Zeichnen Sie die Tangenten t(1), t(1/e)
und t(−1) in das vorhandene Koordinatensystem ein.
h) Es gilt nun einschränkend k < 0 bzw. k > 1/e . Die Tangenten tk schließen mit dem zugehörigen Graphen und der y-Achse jeweils eine endliche Fläche ein.
Berechnen Sie die Maßzahl dieser Fläche. |
Also die Aufgabe a bekomme ich noch hin aber beim Rest blick ichs einfach nicht.
Wie bekomme ich den die Nullstellen raus ok->Gleichung null setzen
d.h [mm] x-k*e^x [/mm] = 0 ; [mm] x=k*e^x; x/k=e^x; [/mm] ln anwenden; ln(x/k) =x; lnx-lnk =x
und dann???
Die Tangentenaufgabe: ok-> Tangentengleichung anwenden (1 Punkt ist ja bekannt aber dann??
Ich bitte um eure Hilfe-Riesenmerci im Vorraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:38 Sa 10.02.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo stevexxx,
eine zweite Information hast Du auch noch. Wenn die Kurve die x-Achse gerade so berührt, muss es sich um ein Extremum handeln, deren Lage in Abhängigkeit von x Du gerade in Teil a) ausgerechnet hattest. Damit lässt sich k bestimmen.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:15 Sa 10.02.2007 | | Autor: | stevexxx |
Danke Infinit-habe rausgefunden das k =e^-1 ist damit es einen Berührpunkt gibt-Danke für den Tipp.
Wie ermittele ich den Aufgabe d) Nullstellen??
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:45 Sa 10.02.2007 | | Autor: | stevexxx |
zu d) Nullstellen: [mm] x-k*e^x [/mm] = 0 setzen; [mm] x=k*e^x; k=x/(e^x)
[/mm]
Kann dieser Ausdruck noch vereinfacht werden????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:13 Sa 10.02.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
eine weitere Vereinfachung sehe ich hier nicht,
Gruß,
Infinit
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:18 Sa 10.02.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Steve!
Diese Gleichung ist nicht geschlossen nach $x \ = \ ...$ auflösbar.
Betrachte hier aber den Zustand, an welchem sich die Gerade $g(x) \ = \ x$ sowie die Kurve $h(x) \ = \ [mm] k*e^x$ [/mm] berühren.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:16 So 11.02.2007 | | Autor: | stevexxx |
Ich verstehe das nicht mit dem Grenzzustand.
wenn ich die Nullstellen berechne dann setze ich doch wie angedeutet das Ganze gleich null also [mm] x-k*e^x [/mm] =0 , dann löse ich nach k auf , d.h k [mm] =x/e^x
[/mm]
In der Eingabe mit einem Plotprogramm kommt raus das es nur Nullstellen gibt wenn k<1/e ist. andernfalls gibts keine-ich checks einfach nicht
Mit bitte um Hilfe
Stevexx
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:42 Mo 12.02.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Steve!
Es gibt doch zwei Zustände: zum einen schneiden sich die beiden Funktionen in 2 Punkten. Oder aber sie schneiden sich gar nicht.
Der Grenzzustand (oder: der Zustand genau dazwischen) ist doch: die beiden Funktionen berühren sich.
"Berühren" heißt mathematisch, dass sowohl die Funktionswerte als auch die Steigungen (= Ableitung) übereinstimmen:
$g(x) \ = \ h(x)$ sowie $g'(x) \ = \ h'(x)$
Hieraus sollte dann der "Grenzzustand" $k \ = \ [mm] \bruch{1}{e}$ [/mm] (nicht nachgerechnet!) als Ergebnis entstehen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 Sa 10.02.2007 | | Autor: | stevexxx |
zur Aufgabe e) Tangenten
Ausgangsfunktion: [mm] f_k(x)=x-k*e^x
[/mm]
Ich weiss Tangente geht durch Ursprung: d.h Gleichung der Tangente:y=m*x (t entfällt)
um m zu bestimmen muss ich die Ableitung von [mm] f_k(x) [/mm] bestimmen:
Sie lautet: [mm] f'_k(x)=1-k*e^x
[/mm]
=> Tangentengleichung: [mm] y=(1-k*e^x)*x [/mm]
Jetzt die Frage zum Berührpunkt:
Um x-Wert zu berechnen muss ich gleichsetzen:
fk(x) = m * x
d.h.: [mm] x-k*e^x [/mm] = [mm] (1-k*e^x) [/mm] * x
wie löse ich das ganze nach x auf ????? habe ein Problem beim Hantieren mit der e-Funktion. Habe auch schon probiert den ln anzuwenden auf beide Seiten der Gleichung-ich raffs aber nicht!
mir ist klar wenn ich x-Wert habe , dass ich durch einsetzen des x-Wertes in die Ausgangsgleichung von [mm] f_k(x) [/mm] den y-Wert des Berührpunktes bekomme. Ich bekomme leider nicht den x-Wert raus-
Euer Hilfesuchender
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:52 Sa 10.02.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Steve!
Multipliziere doch einfach mal die Klammer auf der rechten Seite der Gleichung aus und ziehe $x_$ auf beiden Seiten ab. Anschließend durch [mm] $-k*e^x [/mm] \ [mm] (\not= [/mm] \ 0)$ teilen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:10 Sa 10.02.2007 | | Autor: | stevexxx |
Ja! loddar danke für den tip----x=1 kommt raus
1 eingesetzt in die Ausgangsgleichung [mm] 1-k*e^x [/mm] liefert den y-wert des berührpunktes also 1-k*2,71
Koordinaten aller Berührpunkte der Tangente durch den Ursprung ist also:
[mm] (1/1-k*e^1)
[/mm]
OK merci für eure schnelle Antwort -top Forum!
Kann mir vielleicht jemand noch die Lösung für die Integralaufgabe geben
Aufgabe h)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:23 So 11.02.2007 | | Autor: | stevexxx |
Die andere Frage die mich beschäftigt ist die letzte Aufgabe
Integral berechnen . d.h die Fläche die von einer Tangenten des Graphen der y-Achse und dem Graphen selbst bestimmt wird. ich habe keine Ahnung-Was ist denn da bitte die obere und untere Grenze-Würde mich freuen wenn mir jemand helfen könnte.
Danke
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Hallo stevexxx und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Die andere Frage die mich beschäftigt ist die letzte
> Aufgabe
> Integral berechnen . d.h die Fläche die von einer
> Tangenten des Graphen der y-Achse und dem Graphen selbst
> bestimmt wird. ich habe keine Ahnung-Was ist denn da bitte
> die obere und untere Grenze-Würde mich freuen wenn mir
> jemand helfen könnte.
> Danke
| Aufgabe |
$ [mm] f_k(x)=x-k*e^x [/mm] $ [mm] $k\in \IR \backslash \{0\} [/mm] $
h) Es gilt nun einschränkend k < 0 bzw. k > 1/e . Die Tangenten tk schließen mit dem zugehörigen Graphen und der y-Achse jeweils eine endliche Fläche ein.
Berechnen Sie die Maßzahl dieser Fläche.
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[mm] t_k [/mm] und [mm] f_k [/mm] schneiden sich doch in zwei Punkten, denke ich: [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2
[/mm]
und begrenzen daher eine endliches Flächenstück, das du mit
[mm] \left|\integral_{x_1}^{x_2}{f_k(x)-t_k(x)\ dx}\right| [/mm] berechnen kannst.
Gruß informix
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