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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:47 Fr 25.07.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Berechnen Sie
[mm] $exp(t\cdot\begin{pmatrix}1&4\\1&1\end{pmatrix}$
[/mm]
[mm] $t\in\mathbb{R}$ [/mm] |
Hallo,
ich habe eine Frage wie sich obiges berechnen lässt.
Ich habe es mal bei Wolframalpha eingegeben und das wirft mir das wenig überraschende Ergebnis
[mm] $\begin{pmatrix}e^t&e^{4t}\\e^t&e^t\end{pmatrix}$
[/mm]
als Ergebnis aus.
Aber das kann doch nicht immer so einfach sein, oder?
Ich dachte man müsste die Matrix erst auf Jordannormalform bringen.
Wie ist die allgemeine Vorgehensweise?
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Hi,
> Berechnen Sie
>
> [mm]exp(t\cdot\begin{pmatrix}1&4\\1&1\end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]t\in\mathbb{R}[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe eine Frage wie sich obiges berechnen lässt.
> Ich habe es mal bei Wolframalpha eingegeben und das wirft
> mir das wenig überraschende Ergebnis
>
> [mm]\begin{pmatrix}e^t&e^{4t}\\e^t&e^t\end{pmatrix}[/mm]
>
> als Ergebnis aus.
>
> Aber das kann doch nicht immer so einfach sein, oder?
> Ich dachte man müsste die Matrix erst auf
> Jordannormalform bringen.
Stimmt.
>
> Wie ist die allgemeine Vorgehensweise?
Wenn du dich für das Vorgehen, also in der Tat nur für die Berechnung interessierst, so empfehle ich dir:
https://www.uni-due.de/~hm0019/lehre/pdf/nachklausur-mit.pdf
Für ein paar mehr Fakten empfehle ich dir:
http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/kurse/kurs14/seite21.html
(hier findest du auch ein Beispiel zur Berechnung - siehe die Links ganz unten)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 Fr 25.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Ich hatte die Matrix S und [mm] S^{-1} [/mm] berechnet und folgendes erhalten:
[mm] $S=\begin{pmatrix}2&-2\\1&1\end{pmatrix}$
[/mm]
[mm] $S^{-1}=\begin{pmatrix}\frac14&\frac12\\ -\frac14&\frac12\end{pmatrix}$
[/mm]
Die sollten soweit auch stimmen.
Und nun muss ich also folgendes berechnen:
[mm] $\begin{pmatrix}2&-2\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}e^{-3}&0\\0&e^{1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac14&\frac12\\ -\frac14&\frac12\end{pmatrix}$
[/mm]
Da ich die Eigenwerte [mm] $\lambda_1=3$ [/mm] und [mm] $\lambda_2=-1$ [/mm] habe?
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Hallo,
> Ich hatte die Matrix S und [mm]S^{-1}[/mm] berechnet und folgendes
> erhalten:
>
> [mm]S=\begin{pmatrix}2&-2\\1&1\end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]S^{-1}=\begin{pmatrix}\frac14&\frac12\\ -\frac14&\frac12\end{pmatrix}[/mm]
>
> Die sollten soweit auch stimmen.
Jap, das stimmt.
>
> Und nun muss ich also folgendes berechnen:
>
> [mm]\begin{pmatrix}2&-2\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}e^{-3}&0\\0&e^{1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\frac14&\frac12\\ -\frac14&\frac12\end{pmatrix}[/mm]
Fast, die Matrix in der Mitte sollte doch
[mm] \begin{pmatrix}e^{3}&0\\0&e^{-1}\end{pmatrix}
[/mm]
heißen.
Nun ist nur noch das Produkt auszurechnen.
>
> Da ich die Eigenwerte [mm]\lambda_1=3[/mm] und [mm]\lambda_2=-1[/mm] habe?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 Fr 25.07.2014 | | Autor: | YuSul |
So komme ich dann auf die Matrix:
[mm] \begin{pmatrix}\frac{1}{2}e^{3}+\frac{1}{2}e^{-1}&e^{3}-e^{-1}\\\frac{1}{4}e^{3}-\frac{1}{4}e^{-1}&\frac{1}{2}e^{3}+\frac{1}{2}e^{-1}\end{pmatrix}
[/mm]
wenn ich mich nicht verrechnet habe.
Und dies wäre nun mein Ergebnis?
Was ist mit dem t? Wieso ist die anfängliche Lösung von Wolframalpha "anders"?
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Hallo YuSul,
> So komme ich dann auf die Matrix:
>
> [mm]\begin{pmatrix}\frac{1}{2}e^{3}+\frac{1}{2}e^{-1}&e^{3}-e^{-1}\\\frac{1}{4}e^{3}-\frac{1}{4}e^{-1}&\frac{1}{2}e^{3}+\frac{1}{2}e^{-1}\end{pmatrix}[/mm]
>
> wenn ich mich nicht verrechnet habe.
> Und dies wäre nun mein Ergebnis?
> Was ist mit dem t? Wieso ist die anfängliche Lösung von
> Wolframalpha "anders"?
Das "t" gehört ohne Zweifel zur Exponentialfunktion.
Die Diagonalmatrix lautet:
[mm]\pmat{e^{3t} & 0 \\ 0 & e^{-t}}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 Fr 25.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Gut, also wenn ich einfach überall oben das t hinzufüge, so habe ich das richtige Ergebnis?
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Hallo YuSul,
> Gut, also wenn ich einfach überall oben das t hinzufüge,
> so habe ich das richtige Ergebnis?
Ja.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:12 Fr 25.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Vielen Dank.
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