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Wir haben in verschiedenen Mathe-Büchern nach den Regeln von Diskussion der e-Funktion gesucht,haben aber nie eine übersichtliche oder klare Zusammenfassung gefunden.
Wir fanden nur f´(e "hoch" x) = e "hoch" x
Es wäre sehr nett, wenn ihr uns eine vollständige Zusammenfassung der Regeln schicken könntet, oder uns sagt, wo wir diese finden können.
Vielen Dank!
Lisa und Milena
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:24 Mo 21.03.2005 | | Autor: | BastiR |
Hallo erstmal,
sehr viele Regeln für die Diskussion der e-Funktion gibt es nicht.
Es gibt weder Null- noch Extremstellen, auch keine Wendestellen, da alle Ableitungen gleich sind und immer ungleich null für alle x. Sie ist daher streng monoton steigen, nicht symmetrisch, f(0)=1 (y-Achsenabschnitt) und der Wertebereich sind die reellen Zahlen, der Bildbereich R>0.
Wenn ihr noch weitere konkrete Fragen habt, oder wenn ich was vergessen haben sollte, her damit.
Interresant wäre vielleicht noch wie ihr allgemein e-Funktionen ableiten könnt.
(e hoch f(x))´ = e(hoch f(x)) * f´(x)
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Vielen Dank erstmal!Hat uns sehr geholfen.
vielleicht kannst du uns noch den Zusammenhang von e und ln erklären?Wie diskutiert man ln, vor allem eine funktion mit ln und e, also zum Beispiel e hoch lnx? wird das dann 1?
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Hallo Ihr beiden,
> Vielen Dank erstmal!Hat uns sehr geholfen.
> vielleicht kannst du uns noch den Zusammenhang von e und
> ln erklären?Wie diskutiert man ln, vor allem eine funktion
> mit ln und e, also zum Beispiel e hoch lnx? wird das dann
> 1?
>
[mm] $e^x$ [/mm] und [mm] $\ln [/mm] x$ sind Umkehrfunktionen zueinander!
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]")  Logarithmusfunktion
Daher sind ihre Graphen symmetrisch zueinander bzgl. der Geraden y=x (der "Hauptwinkelhalbierenden" im Koordinatensystem).
[mm] $e^{\ln x} [/mm] = x$ weil sich die beiden Funktionen "gegenseitig aufheben".
ebenso gilt: [mm] $\ln {e^x} [/mm] = x$
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vielen dank.
besteht nur bei der ursprungsfunktion (also f(x)) eine verbindung zu e? denn lnx abgeleitet ist doch 1/x oder?gibt es sonst noch weitere verbindungen zwischen den beiden während der diskussion vom ln?
grüße lisa und milena
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:18 Di 22.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lisa und Milena!
> besteht nur bei der ursprungsfunktion (also f(x)) eine
> verbindung zu e?
Wie oben ja bereits beschrieben wurde, sind die e-Funktion und die [mm] $\ln$-Funktion [/mm] zueinander Umkehrfunktionen.
Das heißt auch, die [mm] $\ln$-Funktion [/mm] (= "natürlicher Logarithmus") hat "natürlich" einen Bezug zur Zahl e:
denn genau diese Zahl e ist ja auch die Basis für diesen Logarithmus.
Hier handelt es sich nämlich um eine Abkürzung bzw. abgekürzte Schreibweise für den natürlichen Logarithmus:
[mm] [center]$\ln(x) [/mm] \ := \ [mm] \log_e(x)$[/center]
[/mm]
> denn lnx abgeleitet ist doch 1/x oder?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Ganz genau!
> gibt es sonst noch weitere verbindungen zwischen den beiden
> während der diskussion vom ln?
Siehe die bisherigen Antworten ...
Grüße
Loddar
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vielen dank, da du dich wohl sehr gut auskennst,kannst du uns vielleicht noch sagen, wie das integral von lnx oder e aussieht bzw. ob es sich überhaupt bilden lässt? das würde uns sehr weiterhelfen!!
grüße lisa und milena
nec volo, quod cruciat, nec volo, quod satiat
(weder will ich was mich quält, noch was mich sättigt)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:31 Di 22.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo ...
Wir wissen ja jetzt, daß gilt: [mm] $\left( \ e^x \ \right)' [/mm] \ = \ [mm] e^x$
[/mm]
Also Ausgangsfunktion und 1. Ableitung sind identisch.
Daraus kann man folgern: [mm] $\integral_{}^{} {e^x \ dx} [/mm] \ = \ [mm] e^x [/mm] \ + \ C$
Für die Bestimmung der Stammfunktion der [mm] $\ln$-Funktion [/mm] muß man mit dem Verfahren der partiellen Integration arbeiten:
[mm] $\integral_{}^{} [/mm] {u'*v \ dx} \ = u*v - [mm] \integral_{}^{} [/mm] {u*v' \ dx}$
Dabei setzt man folgendermaßen $u'$ und $v$ an: [mm] $\integral_{}^{} {\underbrace{1}_{=u'}*\underbrace{\ln(x)}_{=v} \ dx}$
[/mm]
Damit werden: $u \ = \ x$ sowie $v' \ = \ [mm] \bruch{1}{x}$
[/mm]
Kommt Ihr nun alleine auf die Stammfunktion mit der o.g. Formel?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:28 Mo 21.03.2005 | | Autor: | auerberg05 |
vielen dank für die hinweise, wir kennen uns noch nicht sehr gut aus da wir neu sind hier...hat uns geholfen!grüße, lisa und milena
est modus in rebus sunt certi denique fines... (horaz)
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
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![[]](/images/popup.gif){kind=small}
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