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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:44 So 01.12.2013 | | Autor: | Hanz |
| Aufgabe | Ein Kapital verdoppelt sich in 25 Jahren.
a) Bestimme, um wieviel sich das Kapital im Durchschnitt pro Jahr erhöht. Ermittle, um wieviel Prozent sich das Kapital im Monat, am Tag,in der Stunde, in der Sekunde erhöht.
b) Wir gehen jetzt davon aus, dass die durchschnittliche Kapitalerhöhung direkt dem Kapital als Jahreszins zugefügt wird. Begründe, dass man nach 25 Jahren [mm] K_{25}=K*(1+\frac{1}{25})^{25}=2,665836*K [/mm] hat. |
Hallo,
bei a) habe ich zwei Ideen und zwar:
(1) Formel: [mm] K_n=K_0*(1+p)^n
[/mm]
Also: [mm] 2K=K*(1+p)^{25} \gdw \wurzel[25]{2}-1=p [/mm] (für Jahre)
[mm] \wurzel[25*12]{2}-1=p [/mm] (für Monate)
Usw.
(2) Aber irgendwie logisch finde ich auch die andere Variante, die mir einfällt:
[mm] K=1+\frac{1}{25} [/mm] (für Jahr)
[mm] K=1+\frac{1}{25}*\frac{1}{12} [/mm] (für Monat)
[mm] K=1+\frac{1}{25}*\frac{1}{12}*\frac{1}{360} [/mm] (für Tag)
Usw.
Welche davon stimmt??
Bei b) weiss ich nicht, warum da plötzlich im Bruch durch 25 geteilt wird...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Ein Kapital verdoppelt sich in 25 Jahren.
> a) Bestimme, um wieviel sich das Kapital im Durchschnitt
> pro Jahr erhöht. Ermittle, um wieviel Prozent sich das
> Kapital im Monat, am Tag,in der Stunde, in der Sekunde
> erhöht.
>
> b) Wir gehen jetzt davon aus, dass die durchschnittliche
> Kapitalerhöhung direkt dem Kapital als Jahreszins
> zugefügt wird. Begründe, dass man nach 25 Jahren
> [mm]K_{25}=K*(1+\frac{1}{25})^{25}=2,665836*K[/mm] hat.
> Hallo,
>
> bei a) habe ich zwei Ideen und zwar:
>
> (1) Formel: [mm]K_n=K_0*(1+p)^n[/mm]
> Also: [mm]2K=K*(1+p)^{25} \gdw \wurzel[25]{2}-1=p[/mm] (für
> Jahre)
> [mm]\wurzel[25*12]{2}-1=p[/mm] (für Monate)
> Usw.
>
> (2) Aber irgendwie logisch finde ich auch die andere
> Variante, die mir einfällt:
> [mm]K=1+\frac{1}{25}[/mm] (für Jahr)
> [mm]K=1+\frac{1}{25}*\frac{1}{12}[/mm] (für Monat)
> [mm]K=1+\frac{1}{25}*\frac{1}{12}*\frac{1}{360}[/mm] (für Tag)
> Usw.
>
> Welche davon stimmt??
> Bei b) weiss ich nicht, warum da plötzlich im Bruch durch
> 25 geteilt wird...
Hallo Hanz,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
ich musste die Aufgabe mehrmals durchlesen, bis ich
sie (hoffentlich) ganz richtig verstanden habe.
Bei (a) ist wichtig, zu beachten, dass die angesprochene
"Erhöhung des Kapitals" im Sinne der Addition zu verstehen
ist. Das anfängliche Kapital [mm] K_0 [/mm] erhöht sich innert einer
Zeitspanne von 25 Jahren um [mm] K_0 [/mm] : [mm] K_{25}=K_0+K_0=2*K_0
[/mm]
Die durchschnittliche Erhöhung pro Jahr entspricht also
[mm] \frac{1}{25}*K_0 [/mm] oder also 4% von [mm] K_0 [/mm] .
Nehmen wir nun die durchschnittliche Erhöhung pro Monat,
so entspricht diese [mm] $\frac{1}{12} [/mm] *4$ % $\ = [mm] \frac{1}{3} [/mm] $ %
Dies entspräche also wohl dem, was du mit deiner
Idee (2) gemeint hast.
Nun wissen wir allerdings, dass die Vermehrung eines
etwa auf einem Sparkonto liegenden Kapitals in Wirk-
lichkeit nicht gleichmäßig (linear) erfolgt. Bei jährlich
erfolgender Verzinsung zu einem (konstant bleibenden)
Zinsfuß von p = 4% , wobei dann der Zins jeweils dem
Kapital zugefügt wird, käme man natürlich am Ende
zu einem höheren Endkapital als "nur" dem Doppelten
des Startkapitals [mm] K_0 [/mm] . Genau darauf zielt nun die
Aufgabe (b) ab.
Es zeigt sich, dass man für die Berechnung der
Kapitalentwicklung über mehrere Jahre hinweg
den Prozess des jährlichen Zinszuschlages (Addition)
dann geschickter darstellen kann, wenn man diese
jährliche Wertvermehrung nicht als Addition, sondern
als eine Multiplikation mit dem Faktor
(1+4%) = [mm] 1+\frac{4}{100} [/mm] = [mm] 1+\frac{1}{25}
[/mm]
auffasst. Damit sollte deine Frage zu (b) wohl auch
geklärt sein.
Man könnte der Aufgabe noch eine teilaufgabe (c)
anhängen:
(c) Zu welchem jährlichen Zinsfuß p müsste ein
Startkapital [mm] K_0 [/mm] angelegt werden, damit es sich
innert 25 Jahren unter den auflaufenden Zinsen
und Zinseszinsen verdoppelt ?
Damit wären wir dann wohl bei deiner Idee (1)
zu Aufgabe (a) .
LG , Al-Chwarizmi
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