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moin,
Ich hab heute die duale Basis (das mit dem Kronecker-Delta) kennen gelernt und dazu noch zwei Fragen:
| Aufgabe 1 | | Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum, [mm] $v_1,\cdots v_n$ [/mm] eine Basis von V. Bestimme die zu [mm] $v_1, \cdots v_n$ [/mm] duale Basis von V* |
Bei einer Aufgabe diesen Typs habe ich n Elemente aus V* gefunden, die die Eigenschaft mit dem Kronecker-Delta erfüllen.
Da ich die in der Jobbeschreibung geforderte essenzielle Faulheit eines Mathematikers nach eigener Ansicht erfülle würde ich doch gern mal wissen, ob das schon reicht um zu sagen, dass die n Elemente eine Basis von V* bilden; also ins besondere ob die lineare Unabhängigkeit direkt daraus folgt.
Für $V = [mm] \IR^n$ [/mm] wäre ich der Meinung dass ja und würde für den Beweis das Standardskalarprodukt benutzen, aber wenn V ein allgemeiner Vektorraum ist wüsste ich nicht wie man das zeigen könnte oder ob es überhaupt gilt.
Als zweites war folgende Aufgabe gestellt:
| Aufgabe 2 | Sei K ein Körper, V = K[x] der Vektorraum der Polynomfunktionen, B = [mm] \{x^n | n \in \IN_0 \} [/mm] eine Basis von V.
Zeige, dass die zugehörige duale Basis folgende Form hat:
[mm] \{\frac{f^n(0)}{n!} | n \in \IN_0 \}
[/mm]
(in der original Aufgabenstellung war das ganze noch auf Polynome vom Grad [mm] $\leq$ [/mm] n eingeschränkt, aber ich hoffe meine Argumentation ist auch ohne diese Einschränkung richtig^^) |
Für V haben wir die Standardbasis, ist schonmal fein.
Das Kronecker-Delta nachzurechnen ist auch nicht weiter schwer, leite ich [mm] x^n [/mm] weniger oder mehr als n mal ab und werte es dann im Punkt 0 aus kommt genau 0 raus, leite ich es genau n mal ab kommt n! raus.
So lange das reicht um zu beweisen, dass es sich um die duale Basis handelt, bin ich da schonmal froh.
Was mich hier an dieser Stelle viel eher interessiert ist, dass die Basiselemente der dualen Basis doch stark an die Vorfaktoren im Taylor-Polynom erinnern.
Taylor kam bei mir leider im Studium (bisher nur) kurz drann und bevor ich lineare Algebra hatte, weswegen da natürlich kein Zusammenhang in der Vorlesung hergestellt wurde.
Also, gibt es da irgend einen schönen Zusammenhang oder sehen die nur zufällig ähnlich aus?
danke schonmal für Antworten
MfG
Schadowmaster
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:54 Mi 12.10.2011 | | Autor: | fred97 |
Zu Aufgabe 1:
Ist [mm] \{v_1,...v_n\} [/mm] eine Basis von V und sind [mm] f_1,...,f_n \in V^{\star} [/mm] mit [mm] f_j(v_i)= \delta_{ji}, [/mm] so sind [mm] f_1,...f_n [/mm] lin. unabhängig, denn aus
[mm] \alpha_1f_1+...+\alpha_nf_n=0
[/mm]
folgt durch Anwendung auf [mm] v_j [/mm] :
0= [mm] \alpha_1f_1(v_j)+...+\alpha_nf_n(v_j)=\alpha_jf_j(v_j)= \alpha_j,
[/mm]
FRED
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danke fred, hab glatt vergessen, dass es für alle Werte im Definitionsbereich gelten muss.^^
Bleibt also nur noch die Frage, ob die duale Basis von K[x] bzgl. der Standardbasis etwas mit Taylorpolynomen zu tun hat und wenn ja dann was.
lg
Schadow
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:26 Mi 12.10.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
wir entwickeln um 0.
[mm] $f\in [/mm] K[x]$ (den Abschluß ignorieren wir jetzt erstmal)
dann gibt es [mm] $a_i$ [/mm] mit
[mm] $f(x)=\sum_i a_i x^i$
[/mm]
zu zeigen ist jetzt, daß gilt [mm] $a_i=v_i(f)$, [/mm] wobei [mm] $\{v_i\}$ [/mm] Deine Dualbasis ist.
Jetzt gilt
[mm] $v_j(f)= v_j(\sum_i a_i x^i) [/mm] = [mm] \sum_i a_i v_j(x^i)= a_j$
[/mm]
Das letzte wegen der definierenden Eigenschaft [mm] $v_j(x^i)=\delta_{ij}$
[/mm]
ciao
Stefan
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