duale Basis < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:29 Mi 16.02.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Durch [mm] (v_{1},v_{2}) [/mm] seien im folgenden stets die Elemente des Vektorraums [mm] (\IR^{2}/\IR) [/mm] bezeichnet.
a) [mm] (\phi_{1},\phi_{2})* [/mm] sei die Dualbasis der kanonischen Basis von [mm] \IR^{2}. [/mm] Berechne [mm] \phi_{j}(x), [/mm] j=1,2 für [mm] x=(v_{1},v_{2}).
[/mm]
b) Zeige: [mm] B_{2}=((1,1),(1,-2)) [/mm] ist eine Basis von [mm] \IR^{2}. (n_{1},n_{2})* [/mm] sei die Dualbasis von [mm] B_{2}.Berechnen [/mm] sie [mm] n_{j}(x), [/mm] j=1,2 für [mm] x=(v_{1},v_{2}) [/mm] |
Hallo zusammen,
ich hab mal diese Aufgabe gelöst,aber es scheint mir nicht richtig zu sein.
a) Ich weiß nicht genau was mit [mm] (v_{1},v_{2}) [/mm] gmeint ist, ich habs so interpretiert, dass das ganz allgemeint irgendwelche Vektoren aus dem [mm] \IR^{2} [/mm] sind. Aber dann wäre wäre die Aufgabe zu einfach. Es wäre dann nämlich [mm] \phi_{1}(v_{1})=1,\phi_{1}(v_{2})=0,\phi_{2}(v_{1})=0,\phi_{2}(v_{2})=2. [/mm] Wars das schon oder wollen die da etwas anderes in der Aufgabe sehen?
b) Da [mm] B_{2} [/mm] linear unabhängig ist und maximale linear unabhängige Teilmenge ist, ist [mm] B_{2} [/mm] eine Basis des [mm] \IR^{2}. [/mm] Jetzt hab ich doch das gleiche wie oben [mm] \phi_{1}(v_{1})=1,\phi_{1}(v_{2})=0,\phi_{2}(v_{1})=0,\phi_{2}(v_{2})=2.
[/mm]
Ich glaube ich verstehe da etwas falsch bei der Berechnung der dualen Basis. Es wäre nett, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:59 Mi 16.02.2011 | | Autor: | statler |
> Durch [mm](v_{1},v_{2})[/mm] seien im folgenden stets die Elemente
> des Vektorraums [mm](\IR^{2}/\IR)[/mm] bezeichnet.
>
> a) [mm](\phi_{1},\phi_{2})*[/mm] sei die Dualbasis der kanonischen
> Basis von [mm]\IR^{2}.[/mm] Berechne [mm]\phi_{j}(x),[/mm] j=1,2 für
> [mm]x=(v_{1},v_{2}).[/mm]
>
> b) Zeige: [mm]B_{2}=((1,1),(1,-2))[/mm] ist eine Basis von [mm]\IR^{2}. (n_{1},n_{2})*[/mm]
> sei die Dualbasis von [mm]B_{2}.Berechnen[/mm] sie [mm]n_{j}(x),[/mm] j=1,2
> für [mm]x=(v_{1},v_{2})[/mm]
Guten Tach!
> ich hab mal diese Aufgabe gelöst,aber es scheint mir nicht
> richtig zu sein.
>
> a) Ich weiß nicht genau was mit [mm](v_{1},v_{2})[/mm] gmeint ist,
> ich habs so interpretiert, dass das ganz allgemeint
> irgendwelche Vektoren aus dem [mm]\IR^{2}[/mm] sind. Aber dann wäre
> wäre die Aufgabe zu einfach. Es wäre dann nämlich
> [mm]\phi_{1}(v_{1})=1,\phi_{1}(v_{2})=0,\phi_{2}(v_{1})=0,\phi_{2}(v_{2})=2.[/mm]
> Wars das schon oder wollen die da etwas anderes in der
> Aufgabe sehen?
Das war's nicht, und die wollen was anderes sehen. [mm] \phi_{1}(v_{1}) [/mm] ist gar nicht definiert, weil [mm] \phi_{1} [/mm] nur auf einen Vektor angewendet werden kann und [mm] v_{1} [/mm] einfach nur eine Zahl ist, nämlich die erste Koordinate eines Vektors. Gesucht ist [mm] \phi_{1}((v_{1}, v_{2})), [/mm] und das kannst du ausrechnen, also durch [mm] v_{1} [/mm] und [mm] v_{2} [/mm] ausdrücken.
> b) Da [mm]B_{2}[/mm] linear unabhängig ist und maximale linear
> unabhängige Teilmenge ist, ist [mm]B_{2}[/mm] eine Basis des
> [mm]\IR^{2}.[/mm] Jetzt hab ich doch das gleiche wie oben
> [mm]\phi_{1}(v_{1})=1,\phi_{1}(v_{2})=0,\phi_{2}(v_{1})=0,\phi_{2}(v_{2})=2.[/mm]
In b) kannst du so vorgehen, daß du erstmal den Vektor $x$ durch die neue Basis [mm] B_2 [/mm] darstellst.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:40 Do 17.02.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
> > a) Ich weiß nicht genau was mit [mm](v_{1},v_{2})[/mm] gmeint ist,
> > ich habs so interpretiert, dass das ganz allgemeint
> > irgendwelche Vektoren aus dem [mm]\IR^{2}[/mm] sind. Aber dann wäre
> > wäre die Aufgabe zu einfach. Es wäre dann nämlich
> >
> [mm]\phi_{1}(v_{1})=1,\phi_{1}(v_{2})=0,\phi_{2}(v_{1})=0,\phi_{2}(v_{2})=2.[/mm]
> > Wars das schon oder wollen die da etwas anderes in der
> > Aufgabe sehen?
>
> Das war's nicht, und die wollen was anderes sehen.
> [mm]\phi_{1}(v_{1})[/mm] ist gar nicht definiert, weil [mm]\phi_{1}[/mm] nur
> auf einen Vektor angewendet werden kann und [mm]v_{1}[/mm] einfach
> nur eine Zahl ist, nämlich die erste Koordinate eines
> Vektors. Gesucht ist [mm]\phi_{1}((v_{1}, v_{2})),[/mm] und das
> kannst du ausrechnen, also durch [mm]v_{1}[/mm] und [mm]v_{2}[/mm]
> ausdrücken.
Ich versteh grad nicht wie ich das berechnen kann.Die duale Basis ist doch so defniert: [mm] f_{j}: v_{k} \mapsto \delta_{jk}. [/mm] Es kommt auf die Indizes an, aber ich weiß doch gar nicht welchen Indizes [mm] (v_{1},v_{2}) [/mm] hat. Wie soll ich das dann berechnen?
(Steh grad ein bisschen auf dem Schlauch).
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:00 Do 17.02.2011 | | Autor: | fred97 |
Du brauchst doch nur die passenden Definitionen !
Die kanonische Basis des [mm] \IR^2 [/mm] ist doch: [mm] $\{b_1,b_2 \}$, [/mm] wobei
[mm] b_1=(1,0) [/mm] und [mm] b_2=(0,1).
[/mm]
Nach Def. gilt dann:
[mm] \phi_1(b_1)=1, \phi_1(b_2)=0
[/mm]
[mm] \phi_2(b_1)=0, \phi_2(b_2)=1.
[/mm]
Für $x= [mm] (v_1,v_2) \in \IR^2$ [/mm] ist bekanntlich
$x= [mm] v_1*b_1+v_2*b_2$
[/mm]
Jetzt kannst Du locker vom Hocker berechnen:
[mm] \phi_1(x) [/mm] und [mm] \phi_2(x)
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:51 Do 17.02.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
> Du brauchst doch nur die passenden Definitionen !
>
>
>
> Die kanonische Basis des [mm]\IR^2[/mm] ist doch: [mm]\{b_1,b_2 \}[/mm],
> wobei
>
> [mm]b_1=(1,0)[/mm] und [mm]b_2=(0,1).[/mm]
>
> Nach Def. gilt dann:
>
> [mm]\phi_1(b_1)=1, \phi_1(b_2)=0[/mm]
>
> [mm]\phi_2(b_1)=0, \phi_2(b_2)=1.[/mm]
>
> Für [mm]x= (v_1,v_2) \in \IR^2[/mm] ist bekanntlich
>
> [mm]x= v_1*b_1+v_2*b_2[/mm]
>
> Jetzt kannst Du locker vom Hocker berechnen:
>
> [mm]\phi_1(x)[/mm] und [mm]\phi_2(x)[/mm]
Dann müsste [mm] \phi_{1}(x)=v_{1} [/mm] und [mm] \phi_{2}(x)=v_{2} [/mm] sein oder?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:54 Do 17.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Du brauchst doch nur die passenden Definitionen !
> >
> >
> >
> > Die kanonische Basis des [mm]\IR^2[/mm] ist doch: [mm]\{b_1,b_2 \}[/mm],
> > wobei
> >
> > [mm]b_1=(1,0)[/mm] und [mm]b_2=(0,1).[/mm]
> >
> > Nach Def. gilt dann:
> >
> > [mm]\phi_1(b_1)=1, \phi_1(b_2)=0[/mm]
> >
> > [mm]\phi_2(b_1)=0, \phi_2(b_2)=1.[/mm]
> >
> > Für [mm]x= (v_1,v_2) \in \IR^2[/mm] ist bekanntlich
> >
> > [mm]x= v_1*b_1+v_2*b_2[/mm]
> >
> > Jetzt kannst Du locker vom Hocker berechnen:
> >
> > [mm]\phi_1(x)[/mm] und [mm]\phi_2(x)[/mm]
>
> Dann müsste [mm]\phi_{1}(x)=v_{1}[/mm] und [mm]\phi_{2}(x)=v_{2}[/mm] sein
> oder?
Ja
FRED
>
> lg
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:10 Do 17.02.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Ok, vielen vielen Dank =), ich denke ich habs jetzt verstanden.
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