matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare Abbildungenduale Abbildung
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Lineare Abbildungen" - duale Abbildung
duale Abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Abbildungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

duale Abbildung: Denkanstoß
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:34 Do 02.06.2011
Autor: saendra

Aufgabe
Es ist eine Basis B gegeben mit B={ [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] } und die lineare Abbildung f: $ [mm] \IR [/mm] $³ [mm] \to $\IR [/mm] $³, die in der Basis B durch die Matrix [mm] M_B(f)= \begin{pmatrix} 6 & 7 & 8 \\ 5 & 5 & 5 \\ 4 & 3 & 2 \end{pmatrix} [/mm] gegeben ist.
Die Aufgabe ist jetzt die Matrix der dualen Abbildung
f*:$ [mm] \IR [/mm] $³* [mm] \to $\IR [/mm] $³* anzugeben, bezüglich der dualen Basis B*.



Ich weiß wie man zu einer Basis eines Vektorraums eine duale Basis berechnet. Allerdings war bisher dabei nie eine Abbildungsmatrix gegeben, deshalb weiß ich nicht mal wie ich anfangen soll....

Für eure Hilfe bin ich sehr dankbar :)


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
duale Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:29 Do 02.06.2011
Autor: rainerS

Hallo!

Erstmal herzlich [willkommenvh]

> Es ist eine Basis B gegeben mit [mm]B=\{\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\}[/mm]
> und die lineare Abbildung [mm]f: \IR^3 \to\IR ^3[/mm], die in
> der Basis B durch die Matrix [mm]M_B(f)= \begin{pmatrix} 6 & 7 & 8 \\ 5 & 5 & 5 \\ 4 & 3 & 2 \end{pmatrix}[/mm]
> gegeben ist.
>  Die Aufgabe ist jetzt die Matrix der dualen Abbildung
> [mm]f^\ast: \IR^{3\ast} \to\IR^{3\ast}[/mm]  anzugeben, bezüglich der dualen
> Basis B*.
>  
>
> Ich weiß wie man zu einer Basis eines Vektorraums eine
> duale Basis berechnet. Allerdings war bisher dabei nie eine
> Abbildungsmatrix gegeben, deshalb weiß ich nicht mal wie
> ich anfangen soll....

Wende die Definition der dualen Abbildung [mm] $f^\ast$ [/mm] an: für [mm] $w^\ast \in \IR^{3\ast}$ [/mm] ist

[mm] f^\ast(w^\ast) = w^\ast \circ f [/mm] .

Nimm für [mm] $w^\ast$ [/mm] ein Element [mm] $b_i^\ast$ [/mm] der dualen Basis, wende das Ergebnis auf ein Element [mm] $b_j$ [/mm] von B an:

[mm] (f^\ast(b_i^\ast))(b_j) = (b_i^\ast\circ f)(b_j) = b_i^\ast(f(b_j)) [/mm]

und drücke [mm] $f(b_j)$ [/mm] durch die Abbildungsmatrix [mm] $M_B$ [/mm] aus: [mm] $f(b_j)=\summe_{k} (M_B(f))_{kj}b_k$ [/mm] .

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
                
Bezug
duale Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:59 Do 02.06.2011
Autor: saendra

also ich war schon von dem ersten mal als der Dualraum angesprochen wurde mit ihm auf Kriegsfuß, aber erstmal vielen dank für deine Antwort =)

tut mir leid aber kannst du mir als Beispiel eins vormachen? gerne auch mit einem Vektor, der nicht aufgeführt ist, und dazu dazu schreiben warum du das machst? Weil hmm geht es nur mir so oder ist es unmöglich sich einen Dualraum vorzustellen?


Bezug
                        
Bezug
duale Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:49 Fr 03.06.2011
Autor: saendra

also so hab ichs bisher gelernt:

[mm] v_1^\ast(b_1)=v_1^\ast\vektor{1 \\ 1 \\ 0}=x_1+x_2=1 [/mm]

[mm] v_1^\ast(b_2)=v_1^\ast\vektor{0 \\ 1 \\ 1}=x_2+x_3=0 [/mm]

[mm] v_1^\ast(b_3)=v_1^\ast\vektor{1 \\ 0 \\ 1}=x_1+x_3=0 [/mm]

als LGS: [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 }, [/mm] wobei die letzte Spalte die Lösungsspalte ist.
Also ist [mm] x_1=x_3=0,5 [/mm] und [mm] x_2=-0,5. [/mm] Analog wendet man dann noch die beiden anderen Linearformen an.... aber was mache ich jetzt mit der Abbildungsmatrix $ [mm] M_B(f)= \begin{pmatrix} 6 & 7 & 8 \\ 5 & 5 & 5 \\ 4 & 3 & 2 \end{pmatrix} [/mm] $?

kannst du mir noch mal weiter helfen?

Bezug
                                
Bezug
duale Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:06 Fr 03.06.2011
Autor: rainerS

Hallo!

> also so hab ichs bisher gelernt:
>
> [mm]v_1^\ast(b_1)=v_1^\ast\vektor{1 \\ 1 \\ 0}=x_1+x_2=1[/mm]
>  
> [mm]v_1^\ast(b_2)=v_1^\ast\vektor{0 \\ 1 \\ 1}=x_2+x_3=0[/mm]
>  
> [mm]v_1^\ast(b_3)=v_1^\ast\vektor{1 \\ 0 \\ 1}=x_1+x_3=0[/mm]
>  
> als LGS: [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 },[/mm]
> wobei die letzte Spalte die Lösungsspalte ist.
>  Also ist [mm]x_1=x_3=0,5[/mm] und [mm]x_2=-0,5.[/mm] Analog wendet man dann
> noch die beiden anderen Linearformen an.... aber was mache
> ich jetzt mit der Abbildungsmatrix [mm]M_B(f)= \begin{pmatrix} 6 & 7 & 8 \\ 5 & 5 & 5 \\ 4 & 3 & 2 \end{pmatrix} [/mm]?

Ja, das kannst du so machen; dann musst du für jeden Basisvektor der dualen Basis wieder die Relation

[mm] f^\ast(v_i^\ast) (b_j) = v_i^\ast \circ f(b_j) [/mm]

einsetzen, die drei Vektoren [mm] $f(b_1)$, $f(b_2)$, $f(b_3)$ [/mm] mittels der Darstellungsmatrix als Linearkombinationen der [mm] $b_1,b_2,b_3$ [/mm] ausdrücken, und dann daraus die Darstellungmatrix von [mm] $f^\ast$ [/mm] ausrechnen. Das ist dasselbe wie meine allgemeine Rechnung, nur dass du von vorneherein die Zahlen einsetzt.

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
                        
Bezug
duale Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:00 Fr 03.06.2011
Autor: rainerS

Hallo!

> also ich war schon von dem ersten mal als der Dualraum
> angesprochen wurde mit ihm auf Kriegsfuß, aber erstmal
> vielen dank für deine Antwort =)
>  
> tut mir leid aber kannst du mir als Beispiel eins
> vormachen? gerne auch mit einem Vektor, der nicht
> aufgeführt ist, und dazu dazu schreiben warum du das
> machst? Weil hmm geht es nur mir so oder ist es unmöglich
> sich einen Dualraum vorzustellen?

Vorstellung ist immer so eine Sache; vieles davon ist einfach Gewohnheit. ;-)

Im allgemeinen ist der Dualraum ein ziemlich abstrakte Sache, aber für endlichdimensionale Vektorräume und insbesondere den Vektorraum [mm] $\IR^n$ [/mm] gibt es recht einfache Betrachtungsweise:

Wenn du dir den Vektorraum [mm] $\IR^3$ [/mm] als Menge von Spaltenvektoren [mm] $\vektor{a\\b\\c}$ [/mm] vorstellst, dann kannst du dir seinen Dualraum [mm] $\IR^{3\ast}$ [/mm] als Menge von Zeilenvektoren $(u,v,w)$ vorstellen, die Anwendung eines Vektors aus [mm] $\IR^{3\ast}$ [/mm] auf einen Vektor aus [mm] $\IR^3$ [/mm] als Skalarprodukt zwischen Zeilen- und Spaltenvektor.

Zum Beispiel ist dann die zur Basis [mm] $\left( \vektor{1\\0\\0}, \vektor{0\\1\\0}, \vektor{0\\1\\0} \right)$ [/mm] duale Basis gerade $((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1))$ .

In der Aufgabe hast du eine andere Bases, aber ansonsten kannst du die duale Basis analog hinschreiben.

Für die Aufgabe selber brauchst du allerdings die explizite Darstellung der Basen gar nicht.  Die Matrixdarstellung von f ergibt sich doch daraus, dass du ausrechnest, wie f auf jedes einzelne Basiselement wirkt.

Nehmen wir an, es sei $w=f(v)$. In einer Basis [mm] $B=(b_1,b_2,b_3)$ [/mm] ist

[mm] v = v_1b_1+v_2b_2+v_3b_3 [/mm] und [mm] w= w_1b_1+w_2b_2+w_3b_3 [/mm] .

In der Matrixdarstellung ist

[mm] \vektor{w_1\\w_2\\w_3} = M_B(f) * \vektor{v_1\\v_2\\v_3} [/mm] .

Wenn du der Reihe nach [mm] $v=b_1,b_2,b_3$ [/mm] setzt, dann siehst du, dass die Spalten der Darstellungsmatrix gerade [mm] $f(b_1),f(b_2),f(b_3)$ [/mm] sind, jeweils ausgedrückt in der Basis B. Als Formel ist dies

[mm]f(b_j)=\summe_{k=1}^3 (M_B(f))_{kj}b_k [/mm] .

genauso gilt für die Darstellungsmatrix der dualen Abbildung

[mm]f^\ast(b_i^\ast)=\summe_{k=1}^3 (M_{B^\ast}(f^\ast))_{ki}b^\ast_k [/mm] .

Anwendung dieser dualen Abbildung auf einen Basisvektor [mm] $b_j$ [/mm] ergibt:

[mm] (f^\ast(b_i^\ast))(b_j)=\summe_{k=1}^3 (M_{B^\ast}(f^\ast))_{ki}b^\ast_k(b_j) ) = (M_{B^\ast}(f^\ast))_{ji} [/mm] ,

wobei ich im letzten Schritt benutzt habe, dass [mm] $b_i^\ast(b_k)=0$ [/mm] für [mm] $j\not=k$ [/mm] .


Jetzt nimmst du die Formel, die ich in meinem letzten Post abgeleitet habe:

  [mm] (f^\ast(b_i^\ast))(b_j) = (b_i^\ast\circ f)(b_j) = b_i^\ast(f(b_j)) [/mm]

und setzt ein:

  [mm] (f^\ast(b_i^\ast))(b_j) = b_i^\ast(f(b_j)) = b_i^\ast\left(\summe_{k=1}^3 (M_B(f))_{kj}b_k\right) = \summe_{k=1}^3 (M_B(f))_{kj}\, b_i^\ast(b_k) = (M_B(f))_{ij} [/mm] ,

wobei ich im letzten Schritt wieder benutzt habe, dass [mm] $b_i^\ast(b_k)=0$ [/mm] für [mm] $i\not=k$ [/mm] .

Beides muss gleich sein, was kommt heraus? (Und ganz ohne die Basis einzusetzen!)

Viele Grüße
   Rainer


  



Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Abbildungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]