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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:14 Mi 18.06.2008 | | Autor: | Shee-La |
| Aufgabe | Sei E=S [mm] \cap [/mm] K [mm] \subset \IR^{3}, [/mm] wobei S = { (x,y,z) [mm] \in \IR^{3} [/mm] | [mm] x^{2}+y^{2}+z^{2} \le [/mm] 2 } und K = { (x,y,z) [mm] \in \IR^{3} [/mm] | [mm] x^{2}+y^{2} \le z^{2} [/mm] }. Sei f: [mm] \IR^{3} \to \IR [/mm] definiert durch
[mm] f(x,y,z)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } (x,y,z) \in \mbox{ E} \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}
[/mm]
Berechnen Sie
[mm] \integral_{0}^{2} \integral_{-1}^{1}( \integral_{-1}^{1}{f(x,y,z) dx}) [/mm] dy) dz
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Hallo,
ich weiß leider nicht, wie ich an diese Aufgabe herangehen soll. Da ich schon das E nicht so direkt bestimmen kann. Kann mir jemand einen Tipp geben wie ich das alles bestimme? Bin total hilflos. Da wird ja sicher ein Trick dabei sein.
Gruß Shee-La
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:25 Mi 18.06.2008 | | Autor: | abakus |
> Sei E=S [mm]\cap[/mm] K [mm]\subset \IR^{3},[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
wobei S = { (x,y,z) [mm]\in \IR^{3}[/mm]
> | [mm]x^{2}+y^{2}+z^{2} \le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
2 } und K = { (x,y,z) [mm]\in \IR^{3}[/mm] |
> [mm]x^{2}+y^{2} \le z^{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}. Sei f: [mm]\IR^{3} \to \IR[/mm] definiert
> durch
>
> [mm]f(x,y,z)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } (x,y,z) \in \mbox{ E} \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}[/mm]
>
> Berechnen Sie
> [mm]\integral_{0}^{2} \integral_{-1}^{1}( \integral_{-1}^{1}{f(x,y,z) dx})[/mm]
> dy) dz
>
> Hallo,
>
> ich weiß leider nicht, wie ich an diese Aufgabe herangehen
> soll. Da ich schon das E nicht so direkt bestimmen kann.
Dann wird es Zeit, das mal unter die Lupe zu nehmen. S beschreibt alle Punkte im Inneren oder auf der Oberfläche einer Kugel mit dem Radius [mm] \wurzel{2}. [/mm] Bei K habe ich noch nicht so gründlich nacgedacht, aber da handelt es sich wohl um das Innere eines Doppelkegels um die z-Achse?
Gruß Abakus
> Kann mir jemand einen Tipp geben wie ich das alles
> bestimme? Bin total hilflos. Da wird ja sicher ein Trick
> dabei sein.
>
> Gruß Shee-La
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 Mi 18.06.2008 | | Autor: | Shee-La |
> Dann wird es Zeit, das mal unter die Lupe zu nehmen. S
> beschreibt alle Punkte im Inneren oder auf der Oberfläche
> einer Kugel mit dem Radius [mm]\wurzel{2}.[/mm] Bei K habe ich noch
> nicht so gründlich nacgedacht, aber da handelt es sich wohl
> um das Innere eines Doppelkegels um die z-Achse?
> Gruß Abakus
>
Ja das mit dem Kugel habe ich mir auch schon gedacht. Und das mit dem Doppelkegel... puuh, davon habe ich noch nicht einmal gehört. Ich weiß gar nicht was das ist und wie ich mir das vorstellen soll. Aber was ist denn dann die Schnittmenge von den beiden?
Gruß Shee-La
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hallo Shee-La
Wie abakus richtig schreibt, ist K ein Doppelkegel. Auf der
Mantelfläche des Kegels gilt die Gleichung [mm] x^2+y^2= z^2
[/mm]
oder [mm] r^2=z^2 [/mm] (r=Abstand von der z-Achse). Das kann
man auch schreiben als |r| = |z|.
Die Mantelfläche entsteht, wenn man die Gerade z=x
(in der x-z-Ebene) um die z-Achse rotieren lässt.
Da der Integrationsbereich für z nur von 0 bis 2 geht,
hast du gar nicht den Doppel- , sondern nur einen einfachen
(auf der Spitze stehenden) Kegel.
Im Endeffekt hast du hier einfach das Volumen des
Rotationskörpers zu berechnen, der entsteht, wenn
man aus der Kugel einen kegelförmigen Körper
(Kugelsektor) ähnlich einem Kinderkreisel oder einem
Senkblei drechselt.
Das Volumen kann man jetzt entweder durch 3-fach-Integration
berechnen oder als einfaches Rotationsvolumen-Integral
oder durch einen Blick in die geometrische Formelsammlung:
Kegel, Kugelabschnitt...
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:05 Mi 18.06.2008 | | Autor: | Shee-La |
Hallo,
> oder [mm]r^2=z^2[/mm] (r=Abstand von der z-Achse). Das kann
> man auch schreiben als |r| = |z|.
> Die Mantelfläche entsteht, wenn man die Gerade z=x
> (in der x-z-Ebene) um die z-Achse rotieren lässt.
>
> Da der Integrationsbereich für z nur von 0 bis 2 geht,
> hast du gar nicht den Doppel- , sondern nur einen
> einfachen
> (auf der Spitze stehenden) Kegel.
>
> Im Endeffekt hast du hier einfach das Volumen des
> Rotationskörpers zu berechnen, der entsteht, wenn
> man aus der Kugel einen kegelförmigen Körper
> (Kugelsektor) ähnlich einem Kinderkreisel oder einem
> Senkblei drechselt.
>
> Das Volumen kann man jetzt entweder durch
> 3-fach-Integration
> berechnen oder als einfaches Rotationsvolumen-Integral
> oder durch einen Blick in die geometrische
> Formelsammlung:
> Kegel, Kugelabschnitt...
>
Ok, ich glaube das habe ich alles so halbwegs verstanden.
Wir haben in der Vorlesung als Beispiel für den Satz von Fubini das Volumen einer Kugel mithilfe des Integrals berechnet. Mit einer Funktion f(x,y) [mm] =\wurzel{1-x^{2}-y^{2}} [/mm] usw. Das habe ich auch verstanden. Jetzt ist die Frage ob ich auch hier das Volumen dieser Körper mit den Integralen berechnen kann und nicht mithilfe der Rotationskörper. Denn das ist ja in der Aufgabe gefordert. Hat jemand einen Tipp wie ich das angehe? Ich muss ja erst nach einer Variablen integrieren so dass nur noch die restlichen zwei Variablen übrig bleiben im nächsten Integral usw... doch wie... ?
Gruß
Shee-La
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> Ok, ich glaube das habe ich alles so halbwegs verstanden.
> Wir haben in der Vorlesung als Beispiel für den Satz von
> Fubini das Volumen einer Kugel mithilfe des Integrals
> berechnet. Mit einer Funktion f(x,y)
> [mm]=\wurzel{1-x^{2}-y^{2}}[/mm] usw. Das habe ich auch verstanden.
> Jetzt ist die Frage ob ich auch hier das Volumen dieser
> Körper mit den Integralen berechnen kann und nicht mithilfe
> der Rotationskörper. Denn das ist ja in der Aufgabe
> gefordert. Hat jemand einen Tipp wie ich das angehe? Ich
> muss ja erst nach einer Variablen integrieren so dass nur
> noch die restlichen zwei Variablen übrig bleiben im
> nächsten Integral usw... doch wie... ?
>
> Gruß
> Shee-La
>
Für das Kugelvolumen ging die Integration in z-Richtung von
[mm] z_{unten}=-\wurzel{R^2-x^2-y^2} [/mm] bis [mm] z_{oben}=+\wurzel{R^2-x^2-y^2}
[/mm]
(R = Kugelradius)
Im jetzigen Fall läuft z von [mm] z_{unten}=\wurzel{x^2+y^2} [/mm] bis [mm] z_{oben}=+\wurzel{R^2-x^2-y^2}
[/mm]
Das Integrationsgebiet in der x-y-Ebene ist die Kreisscheibe
um den Nullpunkt, aber Vorsicht: nicht mit Radius R (der Kugel),
sondern mit dem kleineren Radius des Schnittkreises von
Kugel- und Kegelfläche.
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