drei Beweise < Induktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:08 Mo 17.05.2010 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | 1. $ [mm] n^{2}+n [/mm] ist durch 2 teilbar.
2. [mm] 2^{3n}+13 [/mm] ist durch 7 teilbar.
3. [mm] n^{7}-n [/mm] ist durch 7 teilbar. |
Hallo!
2. IA: [mm] $2^{3}+13$ [/mm] ist durch $7$ teilbar
IV:$ [mm] 2^{3n}+13=7k$
[/mm]
[mm] $2^{3n} [/mm] = 7k-13$
Induktionsschluss:
[mm] $2^{3(n+1)}+13=2^{3}\cdot 2^{3n}+13 [/mm] = 8(7k-13)+13= 56k-91 = 7(8k-13)$
1. [mm] IA:$1^{2}+1$ [/mm] ist durch 2 teilbar.
IV: [mm] $n^{2}+n=2k$
[/mm]
Induktionsschluss:
[mm] $(n+1)^{2}+(n+1)=n^{2}+2n+1+n+1=(2k-n)+2n+2+n=2(k+n+1)$
[/mm]
3.
IA: [mm] $(2^{7}-2)$ [/mm] ist [mm] $7\cdot(18)$
[/mm]
IV: [mm] $n^{7}-n=7k$
[/mm]
IS:
[mm] $(n+1)^{7}-(n+1)= (n^{7}+7n^{6}+21n^{5}+35n^{4}+35n^{3}+21n^{2}+6n)=((7k+n)+7n^{6}+21n^{5}+35n^{4}+35n^{3}+21n^{2}+6n)=7(k+n^{6}+3n^{5}+5n^{4}+5n^{3}+3n^{2}+n)$
[/mm]
Stimmen meine Lösungen und Vorgehen?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und bin für jede Antwort dankbar.
|
|
| |
|
Hallo kushkush!
Die erste Aufgabe geht auch sehr schnell ohne Induktion, indem man umschreibt zu:
[mm] $$n^2+n [/mm] \ = \ n*(n+1)$$
Und nun Fallunterscheidung mit "n gerade" und "n ungerade".
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:20 Mo 17.05.2010 | | Autor: | wauwau |
1. [mm] $n^2+n [/mm] = n(n+1)$ und von zwei aufeienanderfolg. zahlen ist eine gerade daher durch zwei teilbar.
2. würde ich so beweisen:
[mm] $2^3 \equiv [/mm] 1 [mm] \mod7$
[/mm]
daher
[mm] $2^{3n} \equiv [/mm] 1 [mm] \mod7$
[/mm]
[mm] $2^{3n}+13 \equiv [/mm] 14 [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \mod [/mm] 7$
3. würde ich zeigen, dass [mm] $n^7 \equiv [/mm] n mod 7 ist
da brauchst du nur die Restklassen 0,1,...6 für n einsetzen und überprüfen
|
|
|
| |
|
> Stimmen meine Lösungen und Vorgehen?
Hallo,
ja, so kannst Du es machen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:30 Mo 17.05.2010 | | Autor: | kushkush |
danke Roadrunner, wauwau und angela.h.b.!!!
|
|
|
|
