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| Aufgabe | | Wie groß ist das Geschwindigkeitsverhältniss eines Vollzylinders (Masse m, Trägheitmoment IS = [mm] 1/2mr^2) [/mm] und eines dünnen Hohlzylinders (Masse m, Trägheitsmoment IS = [mm] mr^2) [/mm] nach Hinabrollen einer schiefen Ebene der Höhe h? Berechnen Sie weiterhin mit folgenden Zahlenwerten: mVZ = mHZ = 2 kg, rV Z = rHZ = 31 cm und h = 10 cm die einzelnen Geschwindigkeiten. |
ich habe hierzu eine lösung, die ich jedoch nicht ganz verstehe:
mgh [mm] =1/2mv^2 [/mm] +12w2
Umformen ergibt: mgh = [mm] 1/2mv^2 [/mm] + 1/2Iv^2r
Mit den jeweiligen I folgt: v Vollzylinder = Wurzel (4/3gh) = 1,14m/s
v Hohlzylinder = Wurzel (gh) = 0,99m/s
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Bei einem reibungsfreien Abrollen geht die gesamte Lageenergie mgh in Bewegungsenergie über. Diese spaltet sich in 2 Formen auf (es geht auch mit einer, s.u.), nämlich der reinen translatorischen Energie [mm] \bruch{1}{2}m v^2 [/mm] und der Rotationsenergie [mm] \bruch{1}{2}J \omega^2.
[/mm]
Dabei hängen v und [mm] \omega [/mm] über [mm] v=r\omega [/mm] zusammen, und J ist das jeweilige Trägheitsmoment.
Für einen Hohlzylinder ergibt sich [mm] J=mr^2, [/mm] da sich die gesamte Masse im Abstand r vom Mittelpunkt befindet.
Für einen Vollzylinder erhält man durch die Integralrechnung den Wert [mm] J=\bruch{1}{2}m r^2.
[/mm]
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Eine andere Betrachtungsweise geht davon aus, dass der Zylinder gar keine translatorische Bewegung ausführt, sondern sich mit [mm] \omega [/mm] um den jeweiligen Berührpunkt auf der schiefen Ebene dreht (dabei verschiebt sich allerdings der Berührpunkt). Dann muss man aber das Trägheitsmoment mit Hilfe des Steinerschen Satzes neu für den Abstand r vom Schwerpunkt berechnen, und man erhält die selben Endwerte wie bei der oben geschilderten naheliegenderen Betrachtungsweise.
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