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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:25 Fr 28.12.2007 | | Autor: | diecky |
| Aufgabe | Betrachten Sie die Matrix:
A:= [mm] \pmat{ 3 & -1 \\ 13 & -3 }
[/mm]
a) Ist A positiv definit?
b) Wie lautet der Rang von A?
c) Berechne den Kern von A.
d) Finde die Eigenwerte von A.
e) Berechne die Eigenräume von A.
f) Besitzt A linear unabhängige Eigenvektoren?
g) Stehen die Eigenräume senkrecht aufeinander?
h) Ist A diagonalisierbar?
i) Geben Sie eine Matrix P an, sodass [mm] P^{-1}AP [/mm] die JNF von A ist. |
So, hab die gesamten Aufgaben mal durchgerechnet und wollte bloß wissen ob meine Überlegungen/Lösungen richtig sind, leider gibt es nämlich keine Musterlösungen o.Ä.. Also:
zu a)
zunächst stellt man fest, dass die Matrix nicht symmetrisch d.h. wir können die Matrix nicht mit dem Jacobi-Kriterium auf Definitheit überprüfen. Habe deshalb folgendes gemacht...:
[mm] x^{T} (A^{t}+A) [/mm] x > 0, damit die Matrix positiv definit ist (generelle Formel)
Rechnung:
[mm] A^{t} [/mm] + A = [mm] \pmat{ 3 & 13 \\ -1 & -3 } [/mm] + [mm] \pmat{ 3 & -1 \\ 13 & -3 } [/mm] = [mm] \pmat{ 6 & 12 \\ 12 & -6 }
[/mm]
det (6) > 0
det [mm] (\pmat{ 6 & 12 \\ 12 & -6 }) [/mm] = -36 - 144 = -180 < 0
d.h. die Matrix ist nicht positiv definit!
zu b)
Zuerst stellt man fest, dass der Rang max.2 sein kann, da es nur 2 Spalten gibt. Subtrahiert man nun die erste Spalte mit der zweiten (die man widerrum mit 3 multipliziert), so wird man letztlich 2 l.u. Spaltenvektoren haben und somit wäre der Rang = 2.
zu c)
Den Kern berechnet man doch, indem man einfach ein LGS löst, und das gleich 0 setzt, oder? Ich würde dann herausbekommen, dass der Kern(A) = 0 ist.
zu d)
Zunächst über das charakteristische Polynom kriege ich die Normalform [mm] \lambda^{2}+4 [/mm] heraus. Allerdings gibt es hierfür keine reellen Nullstellen, sondern nur komplexe..ich hätte somit als Lösungsmengen und EW [mm] \lambda(1,2) [/mm] = +/- 2i => [mm] (\lambda [/mm] - 2i) [mm] (\lambda [/mm] + 2i)
zu e)
Für den Eigenraum zum EW(1) = 2i bekomme ich den EV [mm] span{\pmat{ 2i \\ 6i+4}}
[/mm]
Für den Eigenraum zum EW(2) = -2i bekomme ich den EV [mm] span{\pmat{-2i \\ -6i+4 }}
[/mm]
zu f)
Mit [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] die Vektoren gleichsetzen => Vektoren sind l.u.
zu g)
Wenn die Aussage stimmt, muss das Skalarprodukt der Vektoren null sein. Eine Probe stellt heraus, dass die Lösung 56 ist, d.h. > 0 und somit die Vektoren nicht senkrecht aufeinander stehen.
zu h)
Ja, die Matrix ist diagonalisierbar, da sie 2 unterschiedene EW besitzt und die Eigenvektoren l.u. sind (gilt dies auch für einen komplexen Wertebereich??).
Soweit ich mich recht entsinne gilt für den komplexen, dass die Matrix paarweise disjunkte EW besitzen muss (was sie ja auch tut und demnach die Aussage bestätigt).
zu i) Die Matrix [mm] P^{-1}AP [/mm] würde dann so aussehen:
[mm] \pmat{ 2i & 0 \\ 0 & -2i } [/mm] .... dies ist die einzig mögliche Form, da charakteristisches Polynom mit Minimalpolynom übereinstimmt. 2i und -2i besitzen jeweils einen 1-er Block.
Sind die Lösungen korrekt? Wenn nicht, was ist falsch und warum?
Wär für eine Antwort sehr sehr dankbar!
Merci!!
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Juten Tach
> Betrachten Sie die Matrix:
> A:= [mm]\pmat{ 3 & -1 \\ 13 & -3 }[/mm]
>
> a) Ist A positiv definit?
> b) Wie lautet der Rang von A?
> c) Berechne den Kern von A.
> d) Finde die Eigenwerte von A.
> e) Berechne die Eigenräume von A.
> f) Besitzt A linear unabhängige Eigenvektoren?
> g) Stehen die Eigenräume senkrecht aufeinander?
> h) Ist A diagonalisierbar?
> i) Geben Sie eine Matrix P an, sodass [mm]P^{-1}AP[/mm] die JNF von
> A ist.
> So, hab die gesamten Aufgaben mal durchgerechnet und wollte
> bloß wissen ob meine Überlegungen/Lösungen richtig sind,
> leider gibt es nämlich keine Musterlösungen o.Ä.. Also:
>
> zu a)
> zunächst stellt man fest, dass die Matrix nicht symmetrisch
> d.h. wir können die Matrix nicht mit dem Jacobi-Kriterium
> auf Definitheit überprüfen. Habe deshalb folgendes
> gemacht...:
> [mm]x^{T} (A^{t}+A)[/mm] x > 0, damit die Matrix positiv definit
> ist (generelle Formel)
> Rechnung:
> [mm]A^{t}[/mm] + A = [mm]\pmat{ 3 & 13 \\ -1 & -3 }[/mm] + [mm]\pmat{ 3 & -1 \\ 13 & -3 }[/mm]
> = [mm]\pmat{ 6 & 12 \\ 12 & -6 }[/mm]
> det (6) > 0
> det [mm](\pmat{ 6 & 12 \\ 12 & -6 })[/mm] = -36 - 144 = -180 < 0
> d.h. die Matrix ist nicht positiv definit!
Das stimmt so!!
>
> zu b)
> Zuerst stellt man fest, dass der Rang max.2 sein kann, da
> es nur 2 Spalten gibt. Subtrahiert man nun die erste Spalte
> mit der zweiten (die man widerrum mit 3 multipliziert), so
> wird man letztlich 2 l.u. Spaltenvektoren haben und somit
> wäre der Rang = 2.
stimmt auch
>
> zu c)
> Den Kern berechnet man doch, indem man einfach ein LGS
> löst, und das gleich 0 setzt, oder? Ich würde dann
> herausbekommen, dass der Kern(A) = 0 ist.
>
Der Kern(A)={0}(das sieht man alleine schon daran dass die [mm] \det(A) \not= [/mm] 0 [mm] \Rightarrow [/mm] A ist invertierbar also injektiv und surjektiv [mm] \Rightarrow [/mm] Ker(A)={0} und [mm] \Rg(A)= \dim \Im(A) =\dim [/mm] V - [mm] \dim [/mm] Ker(A) = 2-0 =2.
> zu d)
> Zunächst über das charakteristische Polynom kriege ich die
> Normalform [mm]\lambda^{2}+4[/mm] heraus. Allerdings gibt es hierfür
> keine reellen Nullstellen, sondern nur komplexe..ich hätte
> somit als Lösungsmengen und EW [mm]\lambda(1,2)[/mm] = +/- 2i =>
> [mm](\lambda[/mm] - 2i) [mm](\lambda[/mm] + 2i)
Das stimmt auch wenn wir über [mm] \IC [/mm] rechnen über [mm] \IR [/mm] hat die Matrix keine EW. Dann stimmen auch alle anderen nachfolgenden Sachen nicht mehr.
>
> zu e)
> Für den Eigenraum zum EW(1) = 2i bekomme ich den EV
> [mm]span{\pmat{ 2i \\ 6i+4}}[/mm]
> Für den Eigenraum zum EW(2) = -2i
> bekomme ich den EV [mm]span{\pmat{-2i \\ -6i+4 }}[/mm]
>
Das Stimmt
> zu f)
> Mit [mm]\lambda[/mm] und [mm]\mu[/mm] die Vektoren gleichsetzen => Vektoren
> sind l.u.
>
stimmt auch
> zu g)
> Wenn die Aussage stimmt, muss das Skalarprodukt der
> Vektoren null sein. Eine Probe stellt heraus, dass die
> Lösung 56 ist, d.h. > 0 und somit die Vektoren nicht
> senkrecht aufeinander stehen.
>
> zu h)
> Ja, die Matrix ist diagonalisierbar, da sie 2
> unterschiedene EW besitzt und die Eigenvektoren l.u. sind
> (gilt dies auch für einen komplexen Wertebereich??).
> Soweit ich mich recht entsinne gilt für den komplexen,
> dass die Matrix paarweise disjunkte EW besitzen muss (was
> sie ja auch tut und demnach die Aussage bestätigt).
>
> zu i) Die Matrix [mm]P^{-1}AP[/mm] würde dann so aussehen:
> [mm]\pmat{ 2i & 0 \\ 0 & -2i }[/mm] .... dies ist die einzig
> mögliche Form, da charakteristisches Polynom mit
> Minimalpolynom übereinstimmt. 2i und -2i besitzen jeweils
> einen 1-er Block.
Das Stimmt auch so
>
> Sind die Lösungen korrekt? Wenn nicht, was ist falsch und
> warum?
> Wär für eine Antwort sehr sehr dankbar!
> Merci!!
>
Sieht alles sehr schön aus.
Einen schönen tach noch und de rien^^
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