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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:11 Mi 16.06.2010 | | Autor: | alek |
hallo zusammen,
eine freundin hat mir einige fragen aus der linearen algebra gestellt. sie ist total überfordert und hat irgendwie gar keine ahnung. ich versuche ihr zu helfen, aber da ich erst im grundstudium bin, bin ich keine gute hilfe.
ich hoffe, dass ihr es seid 
a) wie beweist man die 8 vektorraumaxiome allgemein? oder kennt jmd. eine internetseite, auf der alle axiome allgemein bewiesen wurden?
wäre der folgendende beweis beispielsweise ausreichend für das assoziativgesetz?
[mm] \forall [/mm] u,v,w [mm] \in [/mm] V (u + v) + w = u + (v + w)
[mm] \vektor{( u_{1})+ ( v_{1})\\ ... \\ ( (u_{n})+ ( (v_{n})} [/mm] + [mm] \vektor{( w_{1})\\ ... \\( w_{n})} [/mm] = [mm] \vektor{( u_{1})+ ( v_{1}) + (w_{1})\\ ... \\ ( (u_{n})+ ( (v_{n})+ ( w_{n})} [/mm] = [mm] \vektor{( u_{1})\\ ... \\( u_{n})}+ \vektor{( v_{1})+ ( w_{1})\\ ... \\ ( (v_{n})+ ( (w_{n})} [/mm]
b) erkläre warum A*x = b eine lineare Abbildung ist.
c) A ist eine quadratische matrix: wie kann die gleichung aus b) nach x aufgelöst werden?
A*x = b <=> x = A ^{-1} * b
warum gilt dies?
d) warum bleibt die lösungsmenge eines lgs durch zeilenumformungen erhalten, aber nicht durch spaltenumformungen?
e) wie beweist man folgendes:
1) [mm] x_{0} \in [/mm] Lös(A|y) [mm] \gdw [/mm] Lös(A|y) = [mm] x_{0} [/mm] + Lös(A|0)
2) sei m,n [mm] \in \IN, [/mm] (K,+,*) ein körper und A [mm] \in [/mm] Mat(m,n,K). es gilt:
m < n [mm] \Rightarrow [/mm] Lös(A|0) [mm] \not= [/mm] {0}
und
m > n [mm] \Rightarrow \exists [/mm] y [mm] \in K_m [/mm] Lös(A|0) = leere menge
danke im voraus
alek
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:41 Mi 16.06.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. Axiome kann man nicht beweisen.
Eine Menge von Objekten mit einer definierten Verknüpfung + und einer Multiplikation mit einem Skalar /alpha aus einem Körper K . bildet einen VR, wenn die Axiome erfüllt sind.
und as muss man einfach nachrechnen, wobei in vielen Fällen die meisten Axiome trivial sind.
damit kann man etwa nachweisen dass polynome vom Grad [mm] \le [/mm] n
einen VR bilden. [mm] dassn\times [/mm] m matrizen einen VR bilden, usw.
2. dazu muss man nur wissen was ne lineare Abb ist und wie A*x definiert ist.
A*x=b ist keine Abbildung, sondern ne Gleichung, die ne lösungsmenge hat.
schon in 1d ist doch a*x=b keine Abbildung.
3. [mm] A^{-1} [/mm] ist definiert durch [mm] A^{-1}*A=I [/mm] I die Identitätsmatrix, und I*x=x
wieder ist das entsprechende im 1d ax=b [mm] x=a^{-1}*b
[/mm]
weil [mm] a^{-1}*a*x=1*x=x
[/mm]
zum weiteren würd ich lieber die Versuche deiner Freundin sehen, die ja selbst hier auf deinem Konto oder nem eigenen schreiben kann.
anfangs ist es immer gut, sich die Sachen für kleine n,m einfach mal hinzuschreiben, also bei LGS mal mit Systemen von 2 oder 3 Unbekannten zu sehen was passiert. dadurch sieht man, auf was es rausläuft und findet meistens den Beweis für den allgemeinen Fall.
Gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:50 Do 17.06.2010 | | Autor: | alek |
hallo zusammen,
@ leduart: vielen dank für deine schnelle antwort.
jetzt wo du es geschrieben hast ist es auch klar das es nicht geht, oh man
allgemein haben wir einiges durcheinander gebracht.
deshalb stellen wir hier mal einen lösungsversuch rein. vielleicht kann uns jemand sagen, ob sie stimmen?
1) $ [mm] x_{0} \in [/mm] $ Lös(A|y) $ [mm] \gdw [/mm] $ Lös(A|y) = $ [mm] x_{0} [/mm] $ + Lös(A|0)
x [mm] \in [/mm] Lös(A|y) [mm] \gdw [/mm] Ax= y [mm] \gdw [/mm] Ax = [mm] Ax_0 [/mm] (da [mm] Ax_0= [/mm] y) [mm] \gdw [/mm] Ax - [mm] Ax_0 [/mm] = O
[mm] \gdw [/mm] A(x - [mm] x_0 [/mm] ) = 0 [mm] \gdw x-x_0 \in [/mm] Lös(A|0) [mm] \gdw \exists [/mm] w [mm] \in [/mm] Lös(A|0)
[mm] x-x_o= [/mm] w [mm] \gdw \exists [/mm] w [mm] \in [/mm] Lös(A|0) x= [mm] x_o [/mm] +w [mm] \gdw [/mm] x [mm] \in x_0 [/mm] + Lös(A|0)
2) A*x=b ist eine lineare abbildung, wenn F(x) = A*x ist. F ist definiert durch [mm] K^n \to K^m [/mm] und x [mm] \mapsto [/mm] A*x
a) F(x + y) = A * (x + y) = Ax + Ay = F(x) + F(y)
b) [mm] F(\lambda*x) [/mm] = A [mm] *(\lambda*x) [/mm] = [mm] \lambda [/mm] (Ax) = [mm] \lambda*F(x)
[/mm]
3) sei m,n $ [mm] \in \IN, [/mm] $ (K,+,*) ein körper und A $ [mm] \in [/mm] $ Mat(m,n,K). es gilt:
m < n $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ Lös(A|0) $ [mm] \not= [/mm] $ {0}
und
m > n $ [mm] \Rightarrow \exists [/mm] $ y $ [mm] \in K_m [/mm] $ Lös(A|y) = leere menge
warum es so sein muss ist uns jetzt klar: wenn es mehr unbekannte als gleichungen gibt, dann muss Lös(A|y) = leere menge sein. allerdings haben wir keine beweisidee.
grüße
alek
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:47 Do 17.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
weil ich gerade leider wenig Zeit habe, nur kurz dazu:
> 3) sei m,n [mm]\in \IN,[/mm] (K,+,*) ein körper und A [mm]\in[/mm]
> Mat(m,n,K). es gilt:
> m < n [mm]\Rightarrow[/mm] Lös(A|0) [mm]\not=[/mm] {0}
> und
> m > n [mm]\Rightarrow \exists[/mm] y [mm]\in K_m[/mm] Lös(A|y) = leere
> menge
> warum es so sein muss ist uns jetzt klar: wenn es mehr
> unbekannte als gleichungen gibt, dann muss Lös(A|y) =
> leere menge sein. allerdings haben wir keine beweisidee.
ihr werdet auch keine finden. Denn mit $x+y=2$ hast Du ja schon eine Gleichung mit zwei Unbekannten, aber die Lösungsmenge ist ein ![[]](/images/popup.gif) affiner Unterraum des [mm] $\IR^2\,.$
[/mm]
Auch wird sich das ganze nicht beweisen lassen, wenn Du mehr Gleichungen als Unbekannte hast:
$$x+y=3$$
$$2x-y=0$$
$$5x-3y=-1$$
wäre eindeutig lösbar [mm] ($\{(x,y)^T=(1,2)^T\}$ [/mm] wäre die Lösungsmenge).
Am besten ist es, wenn man folgenden Satz beweist oder nochmal in der Vorlesung nachschlägt (ich gehe davon aus, dass man ein lineares GLS schon in die Form [mm] $Ax=b\,$ [/mm] gebracht hat):
Für $A [mm] \in \IR^{m \times n}$ [/mm] und $b [mm] \in \IR^m$ [/mm] hat die Gleichung
$$Ax=b$$
genau dann (mindestens) eine Lösung ($x [mm] \in \IR^n$), [/mm] wenn
[mm] $$\text{Rang}(A)=\text{Rang}((A|b))\,.$$ [/mm]
Dabei ist $(A|b)$ die Matrix, die entsteht, wenn man den Vektor [mm] $b\,$ [/mm] als zusätzliche Spalte an die Matrix [mm] $A\,$ [/mm] dabeischreibt (ganz rechts), also insbesondere $(A|b) [mm] \in \IR^{m \times (n+1)}\,.$
[/mm]
Die Lösung von $Ax=b$ ist genau dann ein eindeutiger Vektor [mm] $x_0 \in \IR^n$ [/mm] (d.h. [mm] $\IL=\{x_0\}$), [/mm] wenn
[mm] $$\text{Rang}(A)=\text{Rang}((A|b))=n\;\;\;(=\text{Anzahl der Spalten von }A=\text{Anzahl der Variablen im ursprünglichen Gleichungssystem})\,.$$
[/mm]
Nachlesen könnt ihr so etwas auch z.B. hier, oder auch mal bei Wiki, lin. GLS nachschlagen.
Den Satz angewandt auf die obigen Beispiele:
(1.)
$$x+y=2$$
[mm] $$\gdw (1,1)*\vektor{x\\y}=\vektor{2}=2\,.$$
[/mm]
Hier ist [mm] $\text{Rang}(A)=\text{Rang}(1,1)=\text{Rang}(1,1,2)=\text{Rang}((A|b))=1\,,$ [/mm] also ist das Gleichungssystem lösbar (und genauer: die Lösungsmenge ist [mm] $\IL=\left\{\vektor{x\\2-x}: x \in \IR\right\}=\left\{x*\vektor{1\\-1}+\vektor{2\\0}: x \in \IR\right\}\,,$ [/mm] also ein affiner Unterraum des [mm] $\IR^2$).
[/mm]
(2.)
$$x+y=3$$
$$2x-y=0$$
$$5x-3y=-1$$
läßt sich schreiben als
[mm] $$\pmat{1&1\\2&-1\\5&-3}*\vektor{x\\y}=\vektor{3\\0\\-1}\,.$$
[/mm]
Offensichtlich ist [mm] $\text{Rang}(A)=\text{\Rang}\pmat{1&1\\2&-1\\5&-3}=2\,,$ [/mm] da die beiden Spalten offensichtlich linear unabhängig sind. Ferner gilt (zufälligerweise kann man hier [mm] $\text{Rang}((A|b)) [/mm] < 3$ mithilfe der Determinante begründen, weil $(A|b) [mm] \in \IR^{3 \times 3}\,,$ [/mm] also [mm] $m=n+1\,$ [/mm] ist)
[mm] $$\det (A|b)=\det\pmat{1&1&3\\2&-1&0\\5&-3&-1}=1*(-1)*(-1)+1*0*5+3*2*(-3)-5*(-1)*3-(-3)*0*1-(-1)*2*1$$
[/mm]
[mm] $$=1-18+15+2=-17+17=0\,,$$
[/mm]
so dass [mm] $\text{Rang}((A|b)) [/mm] < 3$ ist. Wegen [mm] $\text{Rang}(A)=2$ [/mm] ist aber auch [mm] $\text{Rang}((A|b)) \ge [/mm] 2,$ also $2 [mm] \le \text{Rang}((A|b)) [/mm] < 3$ und damit insgesamt [mm] $\text{Rang}(A)=\text{Rang}((A|b))=2=n\,.$ [/mm]
Also gibt es hier genau eine Lösung (und die Lösungsmenge ist gegeben durch [mm] $\IL=\left\{\vektor{x\\y}: x=1 \wedge y=2\right\}=\left\{\vektor{x\\y}=\vektor{1\\2}\right\}=\left\{\vektor{1\\2}\right\}$).
[/mm]
Beste Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:37 Do 17.06.2010 | | Autor: | alek |
Hey Marcel,
vielen Dank.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:04 Di 22.06.2010 | | Autor: | alek |
Hat noch jemand eine Idee oder Lösungsvorschlag?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:47 Fr 25.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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