diskreter W.raum/stoch. unabh. < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 00:27 Do 24.11.2005 | | Autor: | sachmeth |
Sei (W,P) ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum.
a)Seien A,B,C [mm] \subset [/mm] W paarweise stochastisch unabhängig mit P(A)=P(B)=P(C)= p und P(A [mm] \capB \capC)= [/mm] 0. Für welches p wird P(A [mm] \cupB \cupC) [/mm] maximal?
b) Welche Werte kann P(D) annehmen, falls D [mm] \subsetW [/mm] von sich selbst stochastisch unabhängig ist? Zeigen Sie, dass in diesem Fall jedes weitere Ereignis E [mm] \subsetW [/mm] von D stochastisch unabhängig ist.
Dazu hab ich mir folgendes überlegt:
a) wenn P(A [mm] \capB \capC)= [/mm] 0 gilt, ist also P(A)P(B)P(C)=0 und da P(A)=P(B)=P(C)= p muss somit p=0 sein und P(A)=P(B)=P(C)= [mm] \emptyset. [/mm] Wie kann ich also p frei wählen, muss p nicht immer = 0 sein?
b) P(D)= 1 oder P(D)= 0 !?
Für D,E gilt wegen D = (D [mm] \capD)\cup(D \capE) [/mm] und (D [mm] \capD) \cap(D \capE)= \emptyset [/mm] nach (*) P(D)=P(D [mm] \capD)+(D \capE). [/mm] Ist nun D stochastisch unabhängig von sich selbst, so erhält man aus dieser Gleichung wegen der Eigenschaften einer Verteilung:
P(D [mm] \capE)= [/mm] P(D) - P(D [mm] \capD) [/mm] = P(D) - P(D)P(D) = P(D)(1-P(E)) = P(D)P(E). Also sind D,E stochastisch unabhängig.
[(*) Für jedes n [mm] \ge1und [/mm] beliebige paarweise disjunkte [mm] A_{1},...,A_{n} \inW [/mm] ist: [mm] P(A_{1} \cup... \cupA_{n}) [/mm] = P(A)+...+P(A)]
Stimmt dass so? Ich bin über jeden Tipp, jede Hilfe dankbar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:56 Mo 28.11.2005 | | Autor: | matux |
Hallo sachmeth!
Leider konnte Dir keiner hier mit Deinem Problem in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
Allgemeine Tipps wie du dem Überschreiten der Fälligkeitsdauer entgegenwirken kannst findest du in den Regeln für die Benutzung unserer Foren.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:15 Mo 05.12.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Zur a): Hier hast du "stochastisch unabhängig" und "paarweise stochastisch unabhängig" durcheinandergeworfen.
Richtig geht es so: Mit der Siebformel folgt:
$P(A [mm] \cup [/mm] B [mm] \cup [/mm] C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A [mm] \cap [/mm] B) - P(A [mm] \cap [/mm] C) - P(B [mm] \cap [/mm] C) + P(A [mm] \cap [/mm] B [mm] \cap [/mm] C) = 3p$,
was für $p= [mm] \frac{1}{3}$ [/mm] maximal wird.
Zur b): Genau, aus [mm] $P(D)^2=P(D)$ [/mm] folgt: $P(D)=0$ oder $P(D)=1$.
Im ersten Fall ist (warum?):
$P(D [mm] \cap [/mm] E) = 0 = P(D) [mm] \cdot [/mm] P(E)$,
im zweiten Fall (warum?):
$P(D [mm] \cap [/mm] E) = P(E) = P(D) [mm] \cap [/mm] P(E)$.
Liebe Grüße
Stefan
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