diskrete Zufallsvariablen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:57 Do 26.04.2012 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | Man beweise folgenden Satz: Seien $X,Y, [mm] (X_i)_{i=1}^n$ [/mm] diskrete Zufallsvariablen und $a,b,c,d [mm] \in \mathbb{R} [/mm] .$ Man zeige nun, dass gilt:
$Cov(aX+b, cY+d) = acCov(X,Y) $ |
Nun, ich setze in die Definition der Varianz ein und erhalte:
$E[(aX+b -E[ax +b ] ) (cY +d- E[cY+d] ) ] =$ $= E [a(X- E(X) ) +(b-E(b) ) ((c(Y-E(Y) +(d-E(d) ) ] = E[(a(x-E(x) +(b-E(b))) (c(Y-E(Y)) +d-E(d)) ] $
So, ich will ja auf [mm] $ac\cdot [/mm] E((X-E(X)) (Y-E(Y))). $ Aber mit dem obigen Ausmultiplizieren komm ich nicht weiter, außerdem scheint es eine völig unnötige Fleißarbeit zu sein. Es sieht wirklich nicht so aus, als würde sich dies geeignet kürzen. Wo liegt mein Fehler? Sieht das jemand?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 12:06 Do 26.04.2012 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | Man zeige, dass gilt:
$Cov(X,Y) = E[XY] [mm] -EX\cdot [/mm] EY $ |
Ist meine Frage echt so schwierig, dass sie keiner beantworten kann? Es geht mir nur darum, zu wissen, warum die Anwendung der regeln auf dieses Beispiel versagt.
Ich musste beispielsweise auch das obige Beispiel lösen.
Ich habe dann in die Definition eingesetzt und erhalten:
$Cov(X,Y) = E((x-E(X))(Y-E(Y)). $So, und jetzt bin ich mir aber im unklaren, wie ich hier die bekannten Rechenregeln für den Erwartungswert anwenden soll. Wenn ich ausmultiplizier, erhalte ich ja etwas unschönes, wo sich die Rechenregeln nicht mehr anwenden lassen:
$E[XY] -E[xEY ] = E[(EX)Y] +E[EXEY] $
Hier komme ich absolut nicht mehr weiter, weil es dafür keine Rechenregeln gibt. Was soll denn bitte auch der Erwartungswert von Produkt der Erwartungswerte zweier verschiedener Zufallsvariablen auch sein??
Ich wäre über Hlfe höchst dankbar!
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:27 Do 26.04.2012 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | | Man zeige, wenn für beide Zufallsvariablen die zweiten Momente existieren: $Cov(X,Y) = Cov(Y,X) $ |
Okay, danke, hat sich erledigt, ich habe herausgefunden, wie es geht!! 
Nun, beschäftigt mich ein weiteres Problem (siehe Angabe):
Ich meine, ist es denn nicht völlig offensichtlich, dass das gilt, wenn ich $Cov(X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y) ) ] = E[(Y-E(Y))(X-E(X) ] = Cov(Y,X) $
Ich verstehe nicht, wozu ich die zweiten Momente benötige, wo ich doch nur die Kommutativität der Multiplikation benutze...
Kann mir dies jemand erläutern?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:31 Do 26.04.2012 | | Autor: | luis52 |
> Ich verstehe nicht, wozu ich die zweiten Momente benötige,
> wo ich doch nur die Kommutativität der Multiplikation
> benutze...
Moin, multipliziere [mm] $(Y-\operatorname{E}(Y))(X-\operatorname{E}(X) [/mm] )$ mal aus ...
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:36 Do 26.04.2012 | | Autor: | clemenum |
Hallo Luis!
Das scheint aber wegen der Kommutativität der Multiplikation nicht nötig zu sein, wenn ich zeigen will, dass die Zufallsvariablen in der Kovarianz vertauschbar sind, also gilt: $Cov(X,Y) = Cov(Y,X) $
Das andere hat sich erledigt, ich habe lediglich vorerst nicht bedacht, dass ja der Erwartungswert einer Konstanten gerade die Konstante ist...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:45 Do 26.04.2012 | | Autor: | clemenum |
Achsooo meinst du das, verzeih bitte für mein dummes Verhalten (ich hatte gerade nicht die Definition der Momente im Sinn):
$Cov(X,Y) = E(XY -XE(Y) -E(X)Y +E(X)E(Y) ) $
So, aber die höheren Momente kann ich doch nur dann anwenden, wenn ich Erwartungswerte von Potenzen EINER Zufallsvariablen betrachte, was hier aber nicht der Fall ist...
Übersehe ich wieder etwas?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:10 Do 26.04.2012 | | Autor: | luis52 |
> Achsooo meinst du das,
Genau.
> verzeih bitte für mein dummes
> Verhalten (ich hatte gerade nicht die Definition der
> Momente im Sinn):
Kein Problem. 
>
> [mm]Cov(X,Y) = E(XY -XE(Y) -E(X)Y +E(X)E(Y) )[/mm]
> So, aber die höheren Momente kann ich doch nur dann
> anwenden, wenn ich Erwartungswerte von Potenzen EINER
> Zufallsvariablen betrachte, was hier aber nicht der Fall
> ist...
>
> Übersehe ich wieder etwas?
Im Fall von zwei Zufallsvariablen ist die Existenz von [mm] $\operatorname{E}[X^\alpha Y^{2-\alpha}]$ [/mm] fuer [mm] $\alpha=0,1,2$ [/mm] gemeint.
vg Luis
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