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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:49 Di 14.10.2008 | | Autor: | uniklu |
| Aufgabe | Gegeben sei U = < (1,2,3,-1,2), (2,4,7,2,-1) >, [mm] u_1, u_2 \in \IR^5
[/mm]
a) 2 direkte Komplemente von U berechnen
b) orthogonales Komplement [mm] U^\perp [/mm] von U
c) ON-Basen von U bzw. [mm] U^\perp
[/mm]
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Hallo!
Ich habe wieder drei Fragen bezüglich der obigen Aufgabe :)
ad a) Ich habe eine lineare Hülle U gegeben. Damit ist es mir möglich jeden Vektor in dem Teilraum durch eine Linearkombination zu erzeugen
Nun könnte ich also eine Vektor [mm] \overrightarrow{v} [/mm] = (v1,v2,v3,v4,v5) folgend erzeugen:
v = [mm] \lambda_1 (1,2,3,-1,2)^T [/mm] + [mm] \lambda_1 (2,4,7,2,-1)^T
[/mm]
V = U [mm] \oplus\ [/mm] W <=> [mm] \begin{cases} \mbox{(i)} & V = U + W,\\ \mbox{(ii)} & U \cap W \not= {0}\end{cases}
[/mm]
dabei handelt es sich bei W um den komplementären Teilraum.
Meine Frage hier ist also, wie komme ich auf W? Berechnung von W?
ad b)
hier kann ich mir nur vorstellen was gemeint ist.
[mm] \forall [/mm] u [mm] \in U^\perp [/mm] | u [mm] \perp [/mm] s [mm] \forall [/mm] s [mm] \in [/mm] U
die Frage ist, wie berechnet man das?
ad c)
hier wende ich einfach Gram-Schmidt an?
ich hoffe jemand kann mir helfen!
lg
(Beispiel auch hier gepostet: http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=109987)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:28 Di 14.10.2008 | | Autor: | fred97 |
Zu a): Addiere das (-2) - fache des ersten Vektors in U auf den zweiten. Dann siehst Du
U = < (1,2,3,-1,2), (0,0,1,4,-5) >
Nun schau Dir mal Folgendes an:
(1,2,3,-1,2)
(0,0,1,4,-5)
(0,1,0,0,0)
(0,0,0,1,0)
(0,0,0,0,1)
Kannst Du hieraus einen Komplementärraum zu U ablesen ?
Zu b): Hier ist ein Komplementärraum W von U gesucht mit:
u [mm] \perp [/mm] w für jedes u in U und jedes w in W
Zu c)
Wende Gram - Schmidt auf eine Basis von U an, dann erhälst Du eine ONB von U. Mache es ebenso für [mm] U^\perp
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 Di 14.10.2008 | | Autor: | uniklu |
Hallo Fred!
Danke für die Antwort!
Tut mir leid, ich weiß nicht wie man hier den komplementärraum ablesen kann.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:43 Di 14.10.2008 | | Autor: | fred97 |
Z.B.: <(0,1,0,0,0), (0,0,0,1,0), (0,0,0,0,1) >
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:18 Di 14.10.2008 | | Autor: | uniklu |
Danke!
Nur zum Verständnis:
U besteht aus [mm] u_1 [/mm] und [mm] u_2 [/mm] - beide sind natürlich l.u.
V muss aber aus 5 Elementen bestehen.
W muss nun aus 3 Elementen bestehen, weil 5 = 2 + 3. Diese 3 Elemente müssen auch l.u. sein. Damit man nun auf 5 Elemente kommt, müssen alle Vektoren aus W und U l.u. sein.
im Prinzip wäre dann <(0,2,0,0,0), (0,0,0,2,0), (0,0,0,0,2)> auch ein Komplement?
Ich habe mir aus dem "erweiterten" System:
(1,2,3,-1,2)
(0,0,1,4,-5)
(0,1,0,0,0)
(0,0,0,1,0)
(0,0,0,0,1)
ein LGS erstellt.
[mm] x_2 [/mm] = [mm] \lambda_1
[/mm]
[mm] x_3 [/mm] = [mm] \lambda_2
[/mm]
[mm] x_4 [/mm] = [mm] \lambda_3
[/mm]
[mm] x_5 [/mm] = [mm] \lambda_4
[/mm]
=> [mm] x_1 [/mm] = - 2 [mm] \lambda_2 [/mm] - 3 [mm] \lambda_2 [/mm] + [mm] \lambda_3 [/mm] - 2 [mm] \lambda_4
[/mm]
=> [mm] x_3 [/mm] = - 4 [mm] \lambda_3 [/mm] - 5 [mm] \lambda_4
[/mm]
[mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5} [/mm] = [mm] \lambda_1 \vektor{-2 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0} \lambda_2 \vektor{-3 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda_3 \vektor{1 \\ 0 \\ -4 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda_4 \vektor{-2 \\ 0 \\ -5 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
sofern ich mich nicht verrechnet habe solle dann
[mm] \vektor{(-2,0,0,0,0) \\ (-3,0,0,0,0) \\ (1,0,-4,0,0) \\ (-2,0,-5,0,0)} [/mm] * [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5} [/mm] = 0 ergeben, wobei der Variablenvektor aus U stammt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:29 Di 14.10.2008 | | Autor: | fred97 |
> Danke!
>
> Nur zum Verständnis:
>
> U besteht aus [mm]u_1[/mm] und [mm]u_2[/mm] - beide sind natürlich l.u.
Besser: U hat die Basus [mm] {u_1, u_2}
[/mm]
>
> V muss aber aus 5 Elementen bestehen.
Besser: eine Basis von V muss aber aus 5 Elementen bestehen.
>
> W muss nun aus 3 Elementen bestehen,
Besser: eine Basis von W muss nun aus 3 Elementen bestehen
weil 5 = 2 + 3. Diese
> 3 Elemente müssen auch l.u. sein. Damit man nun auf 5
> Elemente kommt, müssen alle Vektoren aus W und U l.u.
> sein.
>
> im Prinzip wäre dann <(0,2,0,0,0), (0,0,0,2,0),
> (0,0,0,0,2)> auch ein Komplement?
Ja, aber das gleiche, denn
<(0,2,0,0,0), (0,0,0,2,0), (0,0,0,0,2)> = <(0,1,0,0,0), (0,0,0,1,0), (0,0,0,0,1)>
>
>
> Ich habe mir aus dem "erweiterten" System:
> (1,2,3,-1,2)
> (0,0,1,4,-5)
> (0,1,0,0,0)
> (0,0,0,1,0)
> (0,0,0,0,1)
>
> ein LGS erstellt.
>
Was Du ab hier treibst ist mir nicht klar
FRED
> [mm]x_2[/mm] = [mm]\lambda_1[/mm]
> [mm]x_3[/mm] = [mm]\lambda_2[/mm]
> [mm]x_4[/mm] = [mm]\lambda_3[/mm]
> [mm]x_5[/mm] = [mm]\lambda_4[/mm]
>
> => [mm]x_1[/mm] = - 2 [mm]\lambda_2[/mm] - 3 [mm]\lambda_2[/mm] + [mm]\lambda_3[/mm] - 2
> [mm]\lambda_4[/mm]
> => [mm]x_3[/mm] = - 4 [mm]\lambda_3[/mm] - 5 [mm]\lambda_4[/mm]
>
> [mm]\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5}[/mm] = [mm]\lambda_1 \vektor{-2 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0} \lambda_2 \vektor{-3 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> + [mm]\lambda_3 \vektor{1 \\ 0 \\ -4 \\ 0 \\ 0}[/mm] + [mm]\lambda_4 \vektor{-2 \\ 0 \\ -5 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
>
> sofern ich mich nicht verrechnet habe solle dann
>
> [mm]\vektor{(-2,0,0,0,0) \\ (-3,0,0,0,0) \\ (1,0,-4,0,0) \\ (-2,0,-5,0,0)}[/mm]
> * [mm]\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5}[/mm] = 0 ergeben,
> wobei der Variablenvektor aus U stammt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:22 Di 14.10.2008 | | Autor: | uniklu |
Hallo!
Danke für die Antwort.
Das untere war der Versuch für Teil b) der Aufgabe. Ist natürlich falsch
Hier kommt folgendes heraus:
(1,2,3,-1,2)
(0,0,1,4,-5)
ein LGS erstellt.
[mm] x_2 [/mm] = [mm] \lambda_1
[/mm]
[mm] x_4 [/mm] = [mm] \lambda_2
[/mm]
[mm] x_5 [/mm] = [mm] \lambda_3
[/mm]
=> [mm] x_1 [/mm] = - 2 [mm] \lambda_1 [/mm] - 3 [mm] x_2 [/mm] + [mm] \lambda_2 [/mm] - 2 [mm] \lambda_3
[/mm]
=> [mm] x_3 [/mm] = - 4 [mm] \lambda_2 [/mm] - 5 [mm] \lambda_3
[/mm]
[mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5} [/mm] = [mm] \lambda_1 \vektor{-2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0} \lambda_2 \vektor{-34 \\ 0 \\ -10 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda_3 \vektor{17 \\ 0 \\ 5 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
[mm] \vektor{(-2,1,0,0,0) \\ (-34,0,0,-10,1) \\ (17,0,5,0,1)} [/mm] * [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5} [/mm] = 0 ergeben, wobei der Variablenvektor aus U stammt.
noch mal zu a)
Gibt es hier einen strukturierten Ansatz? Sonst findet sich die Lösung nämlich durch stupides Probieren: [mm] W_2 [/mm] = {(1,3,0,1,2),(2,1,0,2,1),(-1,0,1,2,1)}
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